4.1.2.1. Giao tuyến của mặt phẳng với hỡnh trụ
Tựy theo vị trớ của mặt phẳng đối với trục của hỡnh trụ ta cú cỏc giao tuyến sau:
- Nếu mặt phẳng vuụng gúc với trục của hỡnh trụ thỡ giao tuyến là một đường trũn (hỡnh 4.3a).
- Nếu mặt phẳng nghiờng với trục của hỡnh trụ thỡ giao tuyến là một đường elip (hỡnh 4.3b).
- Nếu mặt phẳng song song với trục của hỡnh trụ thỡ giao tuyến là một hỡnh chữ nhật (hỡnh 4.3c).
Hỡnh 4.3 Giao tuyến của mặt phẳng với hỡnh trụ
Vớ dụ, đầu trục vỏt phẳng (hỡnh 4.4). Phần vỏt phẳng do giao tuyến của mặt phẳng song song với trục của hỡnh trụ và giao tuyến của mặt phẳng vuụng gúc với trục của hỡnh trụ tạo thành.
A1 B A B1 B2 A2 B3 A3 Hỡnh 4.4 Đầu trục vỏt phẳng
Trước tiờn, ta vẽ hỡnh chiếu bằng. Sau đú, bằng cỏch xỏc định điểm nằm trờn mặt trụ, ta vẽ hỡnh chiếu đứng và hỡnh chiếu cạnh của giao tuyến.
4.1.2.2. Giao tuyến của mặt phẳng với hỡnh nún trũn xoay
Tựy vị trớ của mặt phẳng cắt đối với trục quay của hỡnh nún, cú cỏc dạng giao tuyến sau (hỡnh 4.5):
- Là hỡnh trũn, nếu mặt phẳng cắt vuụng gúc với trục quay.
- Là tam giỏc cõn cú hai cạnh là hai đường sinh của hỡnh nún, nếu mặt phẳng cắt chứa đỉnh hỡnh nún.
- Là hỡnh parabụn, nếu mặt phẳng cắt song song với 1 đường sinh của hỡnh nún.
- Là hỡnh elip, nếu mặt phẳng cắt nghiờng với trục hỡnh nún và cắt tất cả cỏc đường sinh của hỡnh nún.
- Là hỡnh hyperbụn, nếu mặt phẳng cắt song song với 2 đường sinh của hỡnh nún.
Hỡnh 4.5 Giao tuyến của mặt phẳng và hỡnh nún trũn xoay
4.1.2.3. Giao tuyến của mặt phẳng với hỡnh cầu
Giao tuyến của mặt phẳng với hỡnh cầu là một đường trũn. Tựy theo vị trớ của mặt phẳng cắt so với cỏc mặt phẳng hỡnh chiếu mà ta cú cỏc hỡnh chiếu giao tuyến khỏc nhau:
- Là đường trũn, nếu mặt phẳng cắt song song với mặt phẳng hỡnh chiếu (hỡnh 4.6a).
- Là đường elip, nếu mặt phẳng cắt nghiờng với mặt phẳng hỡnh chiếu (hỡnh 4.6b).
a) b) Hỡnh 4.6 Giao tuyến của mặt phẳng với hỡnh cầu
Vớ dụ đầu đinh vớt chỏm cầu xẻ rónh (hỡnh 4.7). Phần xẻ rónh là do giao tuyến của hai mặt phẳng song song với mặt phẳng hỡnh chiếu cạnh và một mặt phẳng song song với mặt phẳng hỡnh chiếu bằng tạo thành.
Khi vẽ hỡnh chiếu của giao tuyến, ta vẽ hỡnh chiếu đứng trước. Đường kớnh của cung trũn ở hỡnh chiếu bằng bằng đường kớnh của đường trũn giao tuyến của mặt phẳng song song với mặt phẳng hỡnh chiếu bằng cắt chỏm cầu. Đường kớnh của cung trũn ở hỡnh chiếu cạnh bằng đường kớnh đường trũn giao tuyến do mặt phẳng song song với mặt phẳng hỡnh chiếu cạnh cắt chỏm cầu.
Hỡnh 4.7 Đầu đinh vớt xẻ rónh
4.2. GIAO TUYẾN CỦA CÁC KHỐI HèNH HỌC
Cỏc khối hỡnh học tạo thành vật thể cú những vị trớ tương đối khỏc nhau.Tập hợp cỏc điểm chung giữa cỏc mặt của cỏc khối hỡnh học gọi là giao tuyến của vật thể.Trong thực tế, cú nhiều giao tuyến cú dạng khỏc nhau trờn
cỏc mặt của vật thể. Ta sẽ xột cỏch vẽ giao tuyến của vật thể trong một số trường hợp đặc biệt thường gặp.
4.2.1 Giao tuyến của hai khối đa diện
Khối đa diện giới hạn bởi cỏc đa giỏc, nờn giao tuyến giữa hai khối đa diện là đường góy khỳc khộp kớn. Để tỡm hỡnh chiếu của đa giỏc giao tuyến ta lần lượt tỡm hỡnh chiếu của cỏc đỉnh, cỏc cạnh của đa giỏc giao tuyến bằng cỏch dựng tớnh chất cỏc mặt của khối đa diện chiếu thành đoạn thẳng.
a b c d e f g 11 71 21 81 31 41 51 61 12 22 3242 62 52 72 82 71 51 1131 2141 61 81
Hỡnh 4.8 và Hỡnh 4.9.Giao tuyến của hai khối đa diện
Vớ dụ, vẽ giao tuyến của hỡnh lăng trụ đỏy hỡnh thang và hỡnh lăng trụ đỏy hỡnh tam giỏc. Cạnh a và b của lăng trụ đỏy hỡnh thang giao nhau với hai mặt bờn ef và eg của lăng trụ đỏy tam giỏc tại cỏc điểm 1,2,3,4. Cạnh f vàg của lăng trụ đỏy tam giỏc giao nhau với hai mặt bờn ad và bc tại cỏc điểm 5,6,7,8 (hỡnh 4.8).
- Hỡnh lăng trụ đỏy hỡnh thang cú cỏc mặt bờn vuụng gúc với mặt phẳng hỡnh chiếu bằng, nờn hỡnh chiếu bằng của giao tuyến trựng với hỡnh chiếu bằng của cỏc mặt bờn đú.
- Hỡnh lăng trụ đỏy hỡnh tam giỏc cú cỏc mặt bờn vuụng gúc với mặt phẳng hỡnh chiếu cạnh, nờn hỡnh chiếu cạnh của giao tuyến trựng với hỡnh chiếu cạnh của cỏc mặt bờn đú.
- Trờn cơ sở đó biết hỡnh chiếu bằng và hỡnh chiếu cạnh của cỏc giao điểm đú, sẽ tỡm được hỡnh chiếu đứng của cỏc giao điểm ấy. Cứ hai điểm nằm trờn giao tuyến chung của cỏc mặt bờn của hai hỡnh lăng trụ thỡ nối lại, ta cú đường gẫy khỳc khộp kớn 1-3-5-6-4-2-8-7-1 (hỡnh 4.9).
Giao tuyến của hai khối trũn là đường cong khụng gian khộp kớn. Để vẽ giao tuyến ta tỡm một số điểm của giao tuyến rồi nối lại. Dựng tớnh chất của cỏc mặt vuụng gúc với mặt phẳng hỡnh chiếu.
4.2.2.1. Giao tuyến của hai hỡnh trụ cú trục vuụng gúc
a. Giao tuyến của hai hỡnh trụ cú đường kớnh đỏy khỏc nhau
Mặt trụ nhỏ vuụng gúc với mặt phẳng hỡnh chiếu bằng, nờn hỡnh chiếu bằng của giao tuyến trựng với hỡnh chiếu bằng của mặt trụ nhỏ.
Mặt trụ lớn vuụng gúc với mặt phẳng hỡnh chiếu cạnh, nờn hỡnh chiếu cạnh của giao tuyến trựng với hỡnh chiếu cạnh của mặt trụ lớn.
Bằng cỏch vẽ hỡnh chiếu thứ ba của điểm, ta tỡm được hỡnh chiếu đứng của cỏc điểm của giao tuyến. Khi vẽ, ta vẽ cỏc điểm đặc biệt 1,2,3,4; sau đú ta vẽ điểm bất kỳ của giao tuyến (hỡnh 4.10).
Hỡnh 4.10 Giao tuyến của hai khối trụ cú đường kớnh đỏy khỏc nhau
b. Giao tuyến của hai hỡnh trụ cú đường kớnh đỏy bằng nhau
Trường hợp hai hỡnh trụ cú đường kớnh bằng nhau đồng thời trục của chỳng cắt nhau thỡ giao tuyến là hai đường elip. Nếu hai trục của hai hỡnh trụ đú song song với mặt phẳng hỡnh chiếu nào thỡ hỡnh chiếu của hai elip giao tuyến trờn mặt phẳng hỡnh chiếu đú là hai đoạn thẳng (hỡnh 4.11).
Hỡnh 4.11 Giao tuyến của hai khối trụ cú đường kớnh đỏy bằng nhau
Trường hợp hai khối trũn cú cựng trục quay thỡ giao tuyến là một đường trũn. Nếu trục quay đú song song với mặt phẳng hỡnh chiếu nào thỡ hỡnh chiếu của giao tuyến trờn mặt phẳng hỡnh chiếu đú là một đoạn thẳng.
Vớ dụ giao tuyến của hỡnh trụ với hỡnh cầu và giao tuyến của hỡnh nún với hỡnh cầu trờn cỏc hỡnh 4.12 và 4.13.
Hỡnh 4.12. Giao tuyến của hỡnh cầu và hỡnh trụ
Hỡnh 4.13. Giao tuyến của hỡnh cầu và hỡnh nún cụt
4.2.2.3. Giao tuyến của khối đa diện với khối trũn
Giao tuyến của khối đa diện với khối trũn là giao tuyến của cỏc mặt của đa diện với mặt của khối trũn. Cú thể dựng tớnh chất của cỏc mặt vuụng gúc với mặt phẳng hỡnh chiếu hay dựng mặt cắt để tỡm điểm thuộc giao tuyến.
Vớ dụ, giao tuyến của hỡnh hộp chữ nhật với hỡnh trụ (hỡnh4.14).
- Hỡnh hộp chữ nhật cú cỏc mặt bờn vuụng gúc với mặt phẳng hỡnh chiếu bằng, nờn hỡnh chiếu bằng của giao tuyến trựng với hỡnh chiếu bằng của hỡnh hộp.
- Hỡnh trụ cú trục vuụng gúc với mặt phẳng hỡnh chiếu cạnh, nờn hỡnh chiếu cạnh của giao tuyến trựng với hỡnh chiếu cạnh của hỡnh trụ.
- Bằng cỏch tỡm hỡnh chiếu thứ ba của điểm, ta tỡm hỡnh chiếu đứng của cỏc điểm thuộc giao tuyến.
Thực tế cũng cú thể gặp giao tuyến này dưới dạng vật thể hỡnh trụ cú lỗ hỡnh hộp (hỡnh 4.15).
33 63 13 23 42 22 32 12 11 21 41 31 43 53 62 52 61 51
Hỡnh 4.15 Giao tuyến của hỡnh hộp và hỡnh trụ
4.3. CÂU HỎI BÀI TẬP Cõu hỏi Cõu hỏi
1. Giao tuyến của mặt phẳng với khối đa diện là hỡnh gỡ? Trỡnh bày cỏch vẽ cỏc hỡnh chiếu vuụng gúc của giao tuyến đú.
2. Nờu cỏc dạng giao tuyến cuả mặt phẳng với khối trụ và khối hỡnhnún. 3. Giao tuyến của hai khối đa diện là hỡnh gỡ?
4. Giao tuyến của hai khối trụ cú trục đối xứng vuụng gúc nhau là hỡnh gỡ?(xột hai trường hợp đỏy cuả hai khối trụ bằng nhau và khụng bằng nhau)
Bài tập
1. Vẽ ba hỡnh chiếu vuụng gúc của cỏc vật thể sau:
a) b) c) d)
e) f) g) h)
2. Vẽ ba hỡnh chiếu vuụng gúc của khối hỡnh học bị cắt bởi một mặt phẳng như sau: ỉ 40 1 P 1 P P1 P 1 P P1 a) b) c) d) f) 50 30 45° 5 60° 45° 50 ỉ50 ỉ40 60° ỉ40 28 50 50 60° 40 50 40 30 45° 20 5 10
3. Vẽ ba hỡnh chiếu vuụng gúc của khối hỡnh học bị cắt một phần như sau:
60 35 ỉ50 60 10 25 20 17 40 32 60 8 25 50 35 50 16 36 45 a) b) c)
10 10 20 60 64 15 40 ỉ50 34 25 60 40 30 64 64 14 60 15 64 d) e) f) 40 60 12 10 15 20 34 12 17 18 30 Caàuỉ ỉ60 Caàuỉ ỉ60 g) h) i) 17 10 Caàuỉ ỉ60
4. Vẽ ba hỡnh chiếu vuụng gúc của vật thể sau:
26 12 20 20 10 12 30 ỉ52 36 20 24 ỉ60 12 12 22 ỉ22 a) b) c)
BÀI 5. HèNH CHIẾU TRỤC ĐO Mó bài: VKT 5
Giới thiệu
Cỏc hỡnh chiếu vuụng gúc thể hiện chớnh xỏc hỡnh dạng và kớch thước của vật thể được biểu diễn. Nhưng mỗi hỡnh chiếu vuụng gúc chỉ thể hiện được hai chiều của vật thể, nờn hỡnh vẽ thiếu tớnh lập thể, làm cho người đọc bản vẽ khú hỡnh dung hỡnh dạng vật thể. Để khắc phục nhược điểm trờn, người ta dựng hỡnh chiếu trục đo để bổ sung cho hỡnh chiếu vuụng gúc. Vỡ hỡnh chiếu trục đo thể hiện cả ba chiều của vật thể trờn cựng một hỡnh biểu diễn, nờn trờn bản vẽ của những vật thể phức tạp, bờn cạnh cỏc hỡnh chiếu vuụng gúc thường vẽ thờm hỡnh chiếu trục đo.
Mục tiờu thực hiện
Học xong bài này, học viờn cú khả năng:
- Nắm được khỏi niệm về hỡnh chiếu trục đo, phõn biệt được hỡnh chiếu trục đo xiờn gúc cõn và hỡnh chiếu trục đo vuụng gúc đều.
- Vẽ được hỡnh chiếu trục đo xiờn gúc cõn và vuụng gúc đều.
Nội dung chớnh
5.1. KHÁI NIỆM VỀ HèNH CHIẾU TRỤC ĐO
5.1.1. Nội dung của phương phỏp hỡnh chiếu trục đo
A B A' C B' z' o' o C' y' x' y z P' l x
Hỡnh 5.1 Phương phỏp hỡnh chiếu trục đo
Trong khụng gian lấy một mặt phẳng P’ làm mặt phẳng hỡnh chiếu và một đường thẳng l làm phương chiếu.
Chiếu vật thể cựng hệ trục tọa độ vuụng gúc Oxyz cú cỏc trục tọa độ đặt theo chiều dài, rộng và cao của vật thể,theo phương chiếu l lờn mặt phẳng
hỡnh chiếu P’ (l khụng song song mpP’ và khụng song song với cỏc trục tọa độ).
Hỡnh thu được gọi là hỡnh chiếu trục đo của vật thể. Hỡnh chiếu của ba trục tọa độ đú là O’x’, O’y’, O’z’ gọi là cỏc trục đo (hỡnh 5.1).
5.1.2.Hệ số biến dạng theo trục đo
Tỉ số giữa độ dài hỡnh chiếu của một đoạn thẳng nằm trờn trục tọa độ với độ dài thật của đoạn thẳng đú gọi là hệ số biến dạng theo trục đo.
- Hệ số biến dạng theo trục đo O'x': p = O'A'/OA - Hệ số biến dạng theo trục đo O'y': q = O'B'/OB - Hệ số biến dạng theo trục đo O'z': r = O'C'/OC
5.1.3. Phõn loại hỡnh chiếu trục đo 5.1.3.1. Theo phương chiếu l 5.1.3.1. Theo phương chiếu l
Hỡnh chiếu trục đo vuụng gúc: nếu phương chiếu l vuụng gúc với mặt phẳng hỡnh chiếu P’.
Hỡnh chiếu trục đo xiờn gúc: nếu phương chiếu l khụng vuụng gúc với mặt phẳng hỡnh chiếu P’.
5.1.3.2. Theo hệ số biến dạng
Hỡnh chiếu trục đo đều: nếu ba hệ số biến dạng bằng nhau (p q r).
Hỡnh chiếu trục đo cõn: nếu hai trong ba hệ số biến dạng bằng nhau (p q r hoặc p q r hoặc p r q).
Hỡnh chiếu trục đo lệch: nếu ba hệ số biến dạng từng đụi một khụng bằng nhau (p q r).
Trong cỏc bản vẽ cơ khớ, thường dựng loại hỡnh chiếu trục đo xiờn gúc cõn và hỡnh chiếu trục đo vuụng gúc đều.
5.2. HèNH CHIẾU TRỤC ĐO VUễNG GểC ĐỀU
Hỡnh chiếu trục đo vuụng gúc đều là hỡnh chiếu trục đo cú phương chiếu l vuụng gúc với mặt phẳng hỡnh chiếu P’ và cú hệ số biến dạng trờn cỏc trục đo đều bằng nhau (hỡnh 5.2)
Gúc giữa cỏc trục toạ độ: x’O’y’= y’O’z’= x’O’z’=120 .
Hệ số biến dạng: p = q = r = 0,82. Để thuận tiện cho việc vẽ, người ta thường dựng hệ số biến dạng qui ước: p = q = r = 1.
x y y' x' o' o z z' l P' 12 0° 120° 120 ° z' x' y' o'
Hỡnh 5.2 Hỡnh chiếu trục đo vuụng gúc đều
O1 O2 B A C D E H F G
Hỡnh 5.3 Cỏch vẽ hỡnh ụvan thay hỡnh elip
Vỡ gúc giữa cỏc trục đo là 120 nờn hỡnh chiếu trục đo của cỏc hỡnh phẳng nằm trong mặt phẳng vuụng gúc với cỏc trục đều bị biến dạng: hỡnh vuụng biến thành hỡnh thoi, hỡnh chữ nhật biến thành hỡnh bỡnh hành, hỡnh trũn biến thành elip…
Trờn cỏc bản vẽ kỹ thuật, cho phộp thay hỡnh elip này bằng hỡnh ụvan. Cỏch vẽ hỡnh ụvan (hỡnh trỏi xoan) như sau:
- Vẽ hỡnh thoi (là hỡnh chiếu trục đo của hỡnh vuụng ngoại tiếp đường trũn) cú cạnh bằng đường kýnh đường trũn: A và C là đỉnh gúc tự, B và D là đỉnh gúc nhọn.
- Xỏc định điểm giữa của cỏc cạnh hỡnh thoi: a, b, c, d.
- Xỏc định giao điểm của cỏc đoạn Ab và Ac với đường chộo dài BD của hỡnh thoi: O1 và O2.
- Vẽ cung trũn cb và ad cú tõm tại A và C, bỏn kýnh lớn Ab = Cd. - Vẽ cung trũn ab và cd ú tõm tại O1 và O2, bỏn kýnh nhỏ O1a = O2c. Hỡnh 5.4 là hỡnh chiếu trục đo vuụng gúc đều của cỏc đường trũn nội tiếp ở cỏc mặt bờn của khối lập phương.
Hỡnh 5.4 Hỡnh chiếu trục đo vuụng
gúc đều của cỏc đường trũn Hỡnh 5.5 Hỡnh chiếu trục đo vuụng gúc đều của tấm đỡ
5.3. HèNH CHIẾU TRỤC ĐO XIấN CÂN
Hỡnh chiếu trục đo xiờn gúc cõn là hỡnh chiếu trục đo cú phương chiếu l xiờn gúc với mặt phẳng hỡnh chiếu P’ và cú hai trong ba hệ số biến dạng trờn cỏc trục đo bằng nhau.
- Gúc giữa cỏc trục toạ độ: x’O’z’= 90 ; y’O’z’= x’O’y’= 135 . - Hệ số biến dạng: p = r = 1; q= 0,5. x P' l z y x' z' y' o' o 90° 45° 90° 45° z' y' o' x' x' y' z' o'
Hỡnh 5.6 Hỡnh chiếu trục đo xiờn gúc cõn
Vỡ gúc x’O’z’= 90 và hệ số biến dạng theo trục đo O’x’ và O’z’ đều bằng 1 nờn hỡnh chiếu trục đo của cỏc hỡnh phẳng song song vớI mặt phẳng x’O’z’ sẽ khụng bị biến dạng. Do đú, khi vẽ hỡnh chiếu trục đo xiờn gúc cõn của vật thể, ta nờn tỡm cỏch đặt cỏc mặt của vật thể cú hỡnh dỏng phức tạp hay cú đường trũn song song với mặt phẳng x’O’z’. Cũn cỏc hỡnh trũn song song với cỏc mặt phẳng x’O’y’ và y’O’z’ là cỏc elip (hỡnh 5.7).
Hỡnh 5.7 Hỡnh chiếu trục đo xiờn gúc cõn của cỏc đường trũn
Hỡnh 5.8 Hỡnh chiếu trục đo xiờn gúc cõn của ống
Nếu lấy hệ số biến dạng qui ước ở trờn, thỡ trục lớn elip bằng 1,06d, trục ngắn bằng 0,35d (d là đường kýnh của đường trũn). Trục lớn của elip tạo với trục O’x’ hay trục O’z’ một gúc 7 . Cỏch vẽ gần đỳng hỡnh elip bằng hỡnh ụvan