3.1.1. Cỏc phộp chiếu
Trong khụng gian, lấy một mặt phẳng P và một điểm S cố định ngoài mặt phẳng P. Từ một điểm A bất kỳ trong khụng gian, ta dựng đường thẳng SA, đường này cắt mặt phẳng P tại A'. Như vậy ta đó thực hiện được một phộp chiếu: chiếu điểm A lờn mặt phẳng P. Ta gọi:
- S: tõm chiếu - SA: tia chiếu
- P: mặt phẳng hỡnh chiếu
- A': hỡnh chiếu của điểm A lờn mặt phẳng hỡnh chiếu P
Cú hai loại phộp chiếu: phộp chiếu xuyờn tõm và phộp chiếu song song.
3.1.1.1. Phộp chiếu xuyờn tõm
Phộp chiếu xuyờn tõm là phộp chiếu mà cỏc tia chiếu đều đi qua một điểm cố định S. Lỳc đú A' gọi là hỡnh chiếu xuyờn tõm của A lờn mặt phẳng hỡnh chiếu P qua tõm chiếu S (hỡnh 3.1).
Hỡnh 3.1. Phộp chiếu xuyờn tõm
3.1.1.2. Phộp chiếu song song
Phộp chiếu song song là phộp chiếu mà cỏc tia chiếu luụn song song với một đường thẳng cố định l gọi là phương chiếu. Qua A dựng đường thẳng song song với phương chiếu l, đường thẳng này cắt mp P tại A'. A' gọi là hỡnh chiếu song song của A lờn mặt phẳng hỡnh chiếu P, theo phương chiếu l.
Tựy theo vị trớ của phương chiếu l đối với mặt phẳng P, phộp chiếu song song chia làm hai loại: phộp chiếu xiờn và phộp chiếu vuụng gúc.
- Phộp chiếu xiờn: nếu phương chiếu l xiờn khụng vuụng gúc) với mặt phẳng hỡnh chiếu P. Lỳc đú A' gọi là hỡnh chiếu xiờn của A lờn mặt phẳng hỡnh chiếu P (hỡnh 3.2a).
- Phộp chiếu vuụng gúc: nếu phương chiếu l vuụng gúc với mặt phẳng hỡnh chiếu P. Lỳc đú A' gọi là hỡnh chiếu vuụng gúc của A lờn mặt phẳng hỡnh chiếu P (hỡnh 3.2b).
Hỡnh 3.2. Phộp chiếu xiờn Phộp chiếu vuụng gúc
3.1.2. Phương phỏp vẽ cỏc hỡnh chiếu vuụng gúc
Một điểm trong khụng gian thỡ cú một hỡnh chiếu duy nhất trờn một mặt phẳng hỡnh chiếu. Nhưng một điểm trờn mặt phẳng hỡnh chiếu khụng chỉ là hỡnh chiếu duy nhất cuả một điểm trong khụng gian mà cũn là hỡnh chiếu của vụ số điểm khỏc nhau cựng nằm trờn một tia chiếu vuụng gúc với mặt phẳng hỡnh chiếu (hỡnh 3.3a). Từ đú suy ra: biết một hỡnh chiếu của vật thể trờn một
mặt phẳng hỡnh chiếu thỡ chưa thể hỡnh dung chớnh xỏc hỡnh dạng vật thể đú trong khụng gian. Vớ dụ ở hỡnh 3.33, hai vật thể cú hỡnh dạng khỏc nhau song hỡnh chiếu của chỳng lờn một mặt phẳng hỡnh chiếu lại giống nhau (hỡnh 3.3b).
Hỡnh 3.3a. Hỡnh chiếu cỏc điểm cựng
nằm trờn một tia chiếu Hỡnh 3.3b. Hỡnh chiếu giống nhau của 2 vật thể khỏc nhau
Do đú, muốn diễn tả chớnh xỏc hỡnh dạng vật thể, người ta dựng phộp chiếu vuụng gúc. Chiếu vật thể lờn cỏc mặt phẳng hỡnh chiếu vuụng gúc với nhau từng đụi một. Sau đú, xoay cỏc mặt phẳng hỡnh chiếu về cựng một mặt phẳng bản vẽ (xoay theo chiều qui ước). Lỳc này, trờn mặt phẳng bản vẽ cú cỏc hỡnh chiếu vuụng gúc của vật thể. Từ cỏc hỡnh chiếu này, người đọc sẽ hỡnh dung được hỡnh dạng của vật thể trong khụng gian (hỡnh 3.4).
Hỡnh 3.4. Hỡnh chiếu của vật thể lờn cỏc mặt phẳng hỡnh chiếu khỏc nhau
3.2. HèNH CHIẾU VUễNG GểC CỦA CÁC YẾU TỐ HèNH HỌC 3.2.1. Hỡnh chiếu của điểm 3.2.1. Hỡnh chiếu của điểm
3.2.1.1. Trờn hai mặt phẳng hỡnh chiếu
Trong khụng gian, lấy hai mặt phẳng P1 và P2 vuụng gúc với nhau (mặt phẳng P1 đặt thẳng đứng, mặt phẳng P2 đặt nằm ngang). Từ một điểm A bất
kỳ trong khụng gian, dựng đường vuụng gúc với P1 và P2. Ta cú A1 trờn P1 và A2 trờn P2.
Điểm A1 được gọi là hỡnh chiếu đứng và điểm A2 là hỡnh chiếu bằng của điểm A (hỡnh 3.5).
Để vẽ hai hỡnh chiếu của điểm A trờn cựng một mặt phẳng, ta xoay P2
quanh trục x một gúc 90°(theo chiều qui ước) về trựng mặt phẳng P1. Cặp điểm (A1,A2) nằm trờn đường vuụng gúc với trục x cũn gọi là đồ thức của điểm A. Để đơn giản chỉ vẽ trục x và cặp hỡnh chiếu A1,A2.
Hỡnh 3.5. Hỡnh chiếu của 1 điểm lờn 2 mặt phẳng hỡnh chiếu
Ngược lại, cú cặp điểm (A1,A2) ta cú thể xỏc định được điểm A trong
khụng gian bằng cỏch xoay P2 trở lại vị trớ nằm ngang, dựng cỏc đường vuụng
gúc từ A2 lờn và từ A1 ra, hai đường này sẽ cắt nhau tại A.
3.2.1.2. Trờn ba mặt phẳng hỡnh chiếu
Lần lượt chiếu điểm A lờn 3 mặt phẳng hỡnh chiếu, tương tự ta cú A3 là hỡnh chiếu cạnh của điểm A. Sau khi xoay P2 như trờn, ta xoay P3 quanh trục z về phớa bờn phải của P1. Ta cú 3 hỡnh chiếu A1, A2, A3 cựng nằm trờn một mặt phẳng bản vẽ P1 P2 P3(hỡnh 3.6a). Chỳng mang tớnh chất sau:
A1A2 Ox A1A3 Oz
A2Ax = A3Az Nhờ tớnh chất này, bao giờ ta cũng vẽ được hỡnh chiếu thứ ba khi biết được hai hỡnh chiếu vuụng gúc của điểm (hỡnh 3.6b).
Hỡnh 3.6a. Hỡnh chiếu của 1điểm lờn 3 mặt phẳng hỡnh chiếu
Hỡnh 3.6b. Hỡnh chiếu của 1điểm lờn 3 mặt phẳng hỡnh chiếu
3.2.2. Hỡnh chiếu của một đường thẳng
Một đường thẳng được xỏc định khi ta biết hai điểm khụng trựng nhau. Do đú, muốn vẽ hỡnh chiếu vuụng gúc của đường thẳng hay đoạn thẳng, ta chỉ cần vẽ hỡnh chiếu vuụng gúc của hai điểm đú rồi nối chỳng lại.
Thực tế, đường thẳng thường thể hiện dưới dạng đoạn thẳng nờn chủ yếu ta chỉ xột hỡnh chiếu của đoạn thẳng.
3.2.2.1. Hỡnh chiếu của đoạn thẳng trờn một mặt phẳng hỡnh chiếu
Tựy theo vị trớ của đoạn thẳng so với mặt phẳng hỡnh chiếu, ta cú 3 trường hợp:
- Đoạn thẳng xiờn với mặt phẳng hỡnh chiếu: hỡnh chiếu của nú là đoạn thẳng khụng song song và cú độ dài khụng bằng nú(A'B'< AB) (hỡnh 3.7a).
- Đoạn thẳng song song với mặt phẳng hỡnh chiếu: hỡnh chiếu của nú là đoạn thẳng song song và cú độ dài bằng nú (A'B'= AB) (hỡnh 3.7b).
- Đoạn thẳng vuụng gúc với mặt phẳng hỡnh chiếu: hỡnh chiếu của nú là một điểm (A' B') (hỡnh 3.7c).
Hỡnh 3.7. Vị trớ của đoạn thẳng so với mặt phẳng hỡnh chiếu
3.2.2.2. Hỡnh chiếu của đoạn thẳng trờn ba mặt phẳng hỡnh chiếu
mặt phẳng hỡnh chiếu đú. Sau đú, xoay cỏc mặt phẳng hỡnh chiếu theo qui ước về trựng một mặt phẳng bản vẽ, ta cú 3 hỡnh chiếu của đoạn thẳng trờn một mặt phẳng bản vẽ như cỏc trường hợp trong hỡnh 3.8.
a. Trường hợp AB// P1và P3, AB ┴ P2
b. Trường hợp AB// P1, AB xiờn với P2 và P3
c. Trường hợp AB xiờn với P1, P2 và P3
Hỡnh 3.8. Hỡnh chiếu của đoạn thẳng lờn 3 mặt phẳng hỡnh chiếu
3.2.3. Hỡnh chiếu của một mặt phẳng
Qua ba điểm khụng thẳng hàng ta xỏc định được một mặt phẳng. Vỡ vậy, muốn biểu diễn một mặt phẳng ta chỉ cần biểu diễn ba điểm khụng thẳng hàng của mặt phẳng đú.
Thực tế, mặt phẳng thường được thể hiện dưới dạng hỡnh phẳng (hỡnh đa giỏc, hỡnh trũn...) nờn chủ yếu ta chỉ xột hỡnh chiếu của hỡnh phẳng.
Tựy theo vi trớ của hỡnh phẳng so với mặt phẳng hỡnh chiếu, ta cú 3 trường hợp:
- Hỡnh phẳng xiờn so với mphc: hỡnh chiếu của nú là hỡnh phẳng khụng song song và nhỏ hơn nú (hỡnh 3.9a).
- Hỡnh phẳng song song với mphc: hỡnh chiếu của nú là hỡnh phẳng song song và bằng nú (hỡnh 3.9b).
- Hỡnh phẳng vuụng gúc với mphc: hỡnh chiếu của nú là 1 đoạn thẳng (hỡnh 3.9c)
Hỡnh 3.9. Vị trớ của mặt phẳng so với mặt phẳng hỡnh chiếu
3.2.3.2. Hỡnh chiếu của hỡnh phẳng lờn 3 mặt phẳng hỡnh chiếu
Muốn tỡm hỡnh chiếu của hỡnh phẳng trờn 3 mặt phẳng hỡnh chiếu, ta xem vị trớ hỡnh phẳng so với từng mặt phẳng hỡnh chiếu rồi lần lượt chiếu nú lờn cỏc mặt phẳng hỡnh chiếu đú. Sau đú xoay cỏc mặt phẳng hỡnh chiếu theo qui ước về trựng một mặt phẳng bản vẽ, ta cú 3 hỡnh chiếu của hỡnh phẳng trờn mặt phẳng bản vẽ như cỏc trường hợp sau:
Trường hợp ABCD ┴ P1, ABCD xiờn với P2 và P3
Trường hợp ABC xiờn với P1, P2 và P3
Hỡnh 3.10. Hỡnh chiếu của hỡnh phẳng lờn 3 mặt phẳng hỡnh chiếu
3.3. HèNH CHIẾU CỦA CÁC KHỐI HèNH HỌC
Cỏc khối hỡnh học cơ bản thường gặp gồm cú khối đa diện như hỡnh lăng trụ, hỡnh chúp, hỡnh chúp cụt và khối trũn như hỡnh trụ, hỡnh nún, hỡnh cầu...
3.3.1. Khối đa diện
Khối đa diện là khối hỡnh học được giới hạn bằng cỏc đa giỏc phẳng là cỏc mặt của khối đa diện. Cỏc đỉnh và cỏc cạnh của đa giỏc cũng chớnh là cỏc đỉnh và cỏc cạnh của khối đa diện.
Muốn vẽ hỡnh chiếu của khối đa diện phải vẽ hỡnh chiếu của cỏc đỉnh, cỏc cạnh và cỏc mặt của đa diện. Khi chiếu lờn mặt phẳng hỡnh chiếu, nếu cạnh khụng bị cỏc mặt của vật thể che khuất thỡ cạnh đú được vẽ bằng nột liền đậm, cũn cạnh nào bị che khuất thỡ cạnh đú vẽ bằng nột đứt (hỡnh 3.11).
Hỡnh 3.11 Hỡnh chiếu của khối đa diện
3.3.1.1. Hỡnh lăng trụ
a. Hỡnh chiếu của hỡnh hộp chữ nhật
Để đơn giản, ta đặt cỏc mặt của khối hỡnh hộp song song hoặc vuụng gúc với cỏc mặt phẳng hỡnh chiếu. Do đú, hỡnh chiếu của chỳng là cỏc hỡnh chữ nhật. Muốn xỏc định một điểm nằm trờn mặt của khối hỡnh hộp, vẽ qua K đường thẳng nằm trờn mặt của khối hỡnh hộp
Hỡnh 3.12 Hỡnh chiếu của hỡnh hộp
b. Hỡnh chiếu của hỡnh lăng trụ đỏy tam giỏc đều
Tương tự như trường hợp hỡnh hộp chữ nhật. Hỡnh 3.13 là hỡnh chiếu của khối lăng trụ đỏy tam giỏc đều.
z y y x K1 K2 K3 K
Hỡnh 3.13 Hỡnh chiếu của khối lăng trụ đỏy tam giỏc
3.3.1.2. Hỡnh chúp và chúp cụt đều
a. Hỡnh chiếu của hỡnh chúp đỏy hỡnh vuụng
Đặt đỏy hỡnh chúp đều song song với mặt phẳng hỡnh chiếu bằng P2 và đường chộo song song với P1, sẽ được cỏc hỡnh chiếu như hỡnh 3.14a.
Để tỡm hỡnh chiếu của điểm nằm trờn mặt hỡnh chúp, ta cú thể dựng một trong hai cỏch sau:
- Cỏch 1: kẻ qua K đường thẳng SK nằm trờn mặt bờn của hỡnh chúp. - Cỏch 2: Dựng mặt phẳng qua K song song với đỏy sẽ cắt hỡnh chúp theo giao tuyến là một hỡnh đồng dạng với đỏy như hỡnh 3.14b.
b
Hỡnh 3.14. Hỡnh chiếu của khối hỡnh chúp
b. Hỡnh chiếu của hỡnh chúp cụt đỏy hỡnh vuụng 3.3.2. Khối trũn
Khối trũn là khối hỡnh học giới hạn bởi mặt trũn xoay hay một phần mặt trũn xoay và cỏc mặt phẳng. Mặt trũn xoay là mặt tạo bởi một đường bất kỳ quay một vũng quanh một đường thẳng cố định. Đường bất kỳ gọi là đường sinh của mặt trũn xoay, đường thẳng cố định gọi là trục quay của mặt trũn xoay. Mỗi điểm của đường sinh khi quay sẽ tạo thành một đường trũn cú tõm nằm trờn trục quay và bỏn kớnh bằng khoảng cỏch từ điểm đú đến trục quay (hỡnh 3.15).
- Nếu đường sinh là đường thẳng song song trục quay sẽ tạo thành mặt trụ trũn xoay.
- Nếu đường sinh là đường thẳng cắt trục quay sẽ tạo thành mặt nún trũn xoay
- Nếu đường sinh là nửa đường trũn quay quanh trục quay là đường
kớnh của nú sẽ tạo thành mặt cầu trũn xoay.
Hỡnh 3.15. Khối trũn
Khi vẽ hỡnh chiếu, để đơn giản, nờn đặt đỏy của hỡnh trụ song song với mặt phẳng hỡnh chiếu P2. Hỡnh chiếu bằng là hỡnh trũn cú đường kớnh bằng đường kớnh đỏy của hỡnh trụ. Hỡnh chiếu đứng và h ỡnh chiếu cạnh là hai hỡnh chữ nhật bằng nhau cú cỏc cạnh song song với trục x cú độ dài bằng đường kớnh đỏy. Hai cạnh song song với trục z là hinh chiếu của đường sinh hai bờn của mặt trụ, cú chiều cao bằng chiều cao hỡnh trụ (hỡnh 3.16).
Hỡnh 3.16. Hỡnh chiếu của khối trụ
Muốn xỏc định một điểm nằm trờn mặt trụ thỡ vẽ qua điểm đú đường sinh hay đường trũn của mặt trụ.
3.3.2.2. Hỡnh nún
Nếu đặt đỏy của hỡnh nún song song với mặt phẳng hỡnh chiếu bằng P2
thỡ hỡnh chiếu bằng là hỡnh trũn cú đường kớnh bằng đường kớnh đỏy. Hỡnh chiếu bằng của đỉnh hỡnh nún trựng với tõm hỡnh trũn. Hỡnh chiếu đứng và hỡnh chiếu cạnh của hỡnh nún là hai hỡnh tam giỏc cõn bằng nhau và cú cạnh đỏy bằng đường kớnh đỏy của hỡnh nún (hỡnh 3.17).Điểm nằm trờn mặt nún được xỏc định tương tự như hỡnh chúp.Hỡnh 3.18 là hỡnh chiếu của hỡnh nún cụt.
Hỡnh 3.18. Hỡnh chiếu của hỡnh nún cụt
3.3.2.3. Hỡnh cầu
Hỡnh cầu là khối hỡnh học giới hạn bởi mặt cầu. Hỡnh chiếu của hỡnh cầu là hỡnh trũn cú đường kớnh bằng đường kớnh của hỡnh cầu, đồng thời cũng là hỡnh trũn lớn song song với mặt phẳng hỡnh chiếu. Hỡnh trũn ở hỡnh chiếu đứng là hỡnh chiếu của hỡnh trũn lớn song song với mặt phẳng P1. Hỡnh trũn ở hỡnh chiếu bằng là hỡnh chiếu của hỡnh trũn lớn song song với mặt phẳng P2. Hỡnh trũn ở hỡnh chiếu cạnh là hỡnh chiếu của hỡnh trũn lớn song song với mặt phẳng P3 (hỡnh 3.19).
Muốn xỏc định một điểm nằm trờn mặt cầu, ta dựng qua điểm đú đường trũn nằm trờn mặt cầu, đồng thời mặt phẳng chứa đường trũn đú song song với mặt phẳng hỡnh chiếu.
Hỡnh 3.19. Hỡnh chiếu của hỡnh cầu
3.4. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP Cõu hỏi Cõu hỏi
1.Vị trớ của đường thẳng, mặt phẳng so với mặt phẳng hỡnh chiếu cú mấy trường hợp? Hóy nờu ra?
2. Để vẽ hỡnh chiếu vuụng gúc của một khối đa diện, ta phải làm gỡ? Cho vớ dụ.
3. Mặt trũn xoay được hỡnh thành như thế nào? Để xỏc định một điểm nằm trờn mặt trũn xoay ta phải làm thế nào?
1. Cho hai hỡnh chiếu của một điểm,đoạn thẳng, hỡnh phẳng. Hóy tỡm hỡnh chiếu thứ ba của chỳng: A1 A2 B1 B3 C2 C3 d1 d2 d3 d1 d3 d2 A1 B1 C2 a) b) c) d) e) f) A1 A2 B1 B3 C2 C3 d1 d2 d3 d1 d3 d2 A1 B1 C2 a) b) c) d) e) f) i) g) h) M1 C1 B1 A1 A2 B2 C2 M3 D3 C3 B3 A3 A1 B1 C1 D1 D1 C1 B1 A1 D2 M1 C2 B2 A2
2. Vẽ hỡnh chiếu thứ ba của khối hỡnh học sau:
b)
a) c)
K1
K1
K1
3. Cho hai hỡnh chiếu của cỏc khối hỡnh học. Hóy tỡm hỡnh chiếu thứ ba của chỳng:
a) b)
c) d)
e) f)
4. Cho hỡnh khụng gian và hỡnh chiếu vuụng gúc của vật thể. Trờn hỡnh chiếu cũn thiếu một số nột, hóy bổ sung cho đủ:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
i) j)
5. Vẽ ba hỡnh chiếu vuụng gúc của cỏc vật thể đơn giản sau:
a) b) d) c) e) f) a) b) d) c) e) f)
g) h) i)
BÀI 4. GIAO TUYẾN
Mó bài: VKT4
Giới thiệu
Trong thực tế, ta thường gặp một số vật thể (hay chi tiết mỏy) được cấu tạo bởi cỏc khối hỡnh học khụng hoàn toàn, nghĩa là cỏc khối hỡnh học bị cỏc mặt phẳng cắt đi một phần như lưỡi đục là hỡnh lăng trụ bị vỏt phẳng (hỡnh 4.1a), đầu vớt hỡnh chỏm cầu bị cỏc mặt phẳng cắt thành rónh (hỡnh 4.1b)…ngoài ra, ta cũng thường thấy cỏc khối hỡnh học tạo thành vật thể cú vị trớ tương đối khỏc nhau làm thành cỏc giao tuyến khỏc nhau giữa cỏc bề mặt của vật thể như ống nối (hỡnh 4.1c), nắp mỏy (hỡnh 4.1d) cú giao tuyến của hỡnh trụ và hỡnh nún.
Mục tiờu thực hiện
Học xong bài này, học viờn cú khả năng: - Mụ tả được đặc điểm của giao tuyến.
- Mụ tả được giao tuyến của mặt phẳng đối với cỏc khối hỡnh học cơ bản.
- Vẽ được giao tuyến của mặt phẳng đối với cỏc khối hỡnh học cơ bản.
Nội dung chớnh
4.1.GIAO TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG VỚI KHỐI HèNH HỌC
Mặt phẳng cắt khối hỡnh học tạo thành mặt cắt, đường bao mặt cắt đú gọi là giao tuyến của mặt phẳng với khối hỡnh học. Vẽ phần bị cắt của vật thể, chớnh là vẽ giao tuyến của mặt phẳng với khối hỡnh học của vật thể đú.
