3.2.1. Hỡnh chiếu của điểm
3.2.1.1. Trờn hai mặt phẳng hỡnh chiếu
Trong khụng gian, lấy hai mặt phẳng P1 và P2 vuụng gúc với nhau (mặt phẳng P1 đặt thẳng đứng, mặt phẳng P2 đặt nằm ngang). Từ một điểm A bất
kỳ trong khụng gian, dựng đường vuụng gúc với P1 và P2. Ta cú A1 trờn P1 và A2 trờn P2.
Điểm A1 được gọi là hỡnh chiếu đứng và điểm A2 là hỡnh chiếu bằng của điểm A (hỡnh 3.5).
Để vẽ hai hỡnh chiếu của điểm A trờn cựng một mặt phẳng, ta xoay P2
quanh trục x một gúc 90°(theo chiều qui ước) về trựng mặt phẳng P1. Cặp điểm (A1,A2) nằm trờn đường vuụng gúc với trục x cũn gọi là đồ thức của điểm A. Để đơn giản chỉ vẽ trục x và cặp hỡnh chiếu A1,A2.
Hỡnh 3.5. Hỡnh chiếu của 1 điểm lờn 2 mặt phẳng hỡnh chiếu
Ngược lại, cú cặp điểm (A1,A2) ta cú thể xỏc định được điểm A trong khụng gian bằng cỏch xoay P2 trở lại vị trớ nằm ngang, dựng cỏc đường vuụng gúc từ A2 lờn và từ A1 ra, hai đường này sẽ cắt nhau tại A.
3.2.1.2. Trờn ba mặt phẳng hỡnh chiếu
Lần lượt chiếu điểm A lờn 3 mặt phẳng hỡnh chiếu, tương tự ta cú A3 là hỡnh chiếu cạnh của điểm A. Sau khi xoay P2 như trờn, ta xoay P3 quanh trục z về phớa bờn phải của P1. Ta cú 3 hỡnh chiếu A1, A2, A3 cựng nằm trờn một mặt phẳng bản vẽ P1 P2 P3(hỡnh 3.6a). Chỳng mang tớnh chất sau:
A1A2 Ox A1A3 Oz
A2Ax = A3Az Nhờ tớnh chất này, bao giờ ta cũng vẽ được hỡnh chiếu thứ ba khi biết được hai hỡnh chiếu vuụng gúc của điểm (hỡnh 3.6b).
Hỡnh 3.6a. Hỡnh chiếu của 1điểm lờn 3 mặt phẳng hỡnh chiếu
Hỡnh 3.6b. Hỡnh chiếu của 1điểm lờn 3 mặt phẳng hỡnh chiếu
3.2.2. Hỡnh chiếu của một đường thẳng
Một đường thẳng được xỏc định khi ta biết hai điểm khụng trựng nhau. Do đú, muốn vẽ hỡnh chiếu vuụng gúc của đường thẳng hay đoạn thẳng, ta chỉ cần vẽ hỡnh chiếu vuụng gúc của hai điểm đú rồi nối chỳng lại.
Thực tế, đường thẳng thường thể hiện dưới dạng đoạn thẳng nờn chủ yếu ta chỉ xột hỡnh chiếu của đoạn thẳng.
3.2.2.1. Hỡnh chiếu của đoạn thẳng trờn một mặt phẳng hỡnh chiếu
Tựy theo vị trớ của đoạn thẳng so với mặt phẳng hỡnh chiếu, ta cú 3 trường hợp:
- Đoạn thẳng xiờn với mặt phẳng hỡnh chiếu: hỡnh chiếu của nú là đoạn thẳng khụng song song và cú độ dài khụng bằng nú(A'B'< AB) (hỡnh 3.7a).
- Đoạn thẳng song song với mặt phẳng hỡnh chiếu: hỡnh chiếu của nú là đoạn thẳng song song và cú độ dài bằng nú (A'B'= AB) (hỡnh 3.7b).
- Đoạn thẳng vuụng gúc với mặt phẳng hỡnh chiếu: hỡnh chiếu của nú là một điểm (A' B') (hỡnh 3.7c).
Hỡnh 3.7. Vị trớ của đoạn thẳng so với mặt phẳng hỡnh chiếu
3.2.2.2. Hỡnh chiếu của đoạn thẳng trờn ba mặt phẳng hỡnh chiếu
mặt phẳng hỡnh chiếu đú. Sau đú, xoay cỏc mặt phẳng hỡnh chiếu theo qui ước về trựng một mặt phẳng bản vẽ, ta cú 3 hỡnh chiếu của đoạn thẳng trờn một mặt phẳng bản vẽ như cỏc trường hợp trong hỡnh 3.8.
a. Trường hợp AB// P1và P3, AB ┴ P2
b. Trường hợp AB// P1, AB xiờn với P2 và P3
c. Trường hợp AB xiờn với P1, P2 và P3
Hỡnh 3.8. Hỡnh chiếu của đoạn thẳng lờn 3 mặt phẳng hỡnh chiếu
3.2.3. Hỡnh chiếu của một mặt phẳng (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Qua ba điểm khụng thẳng hàng ta xỏc định được một mặt phẳng. Vỡ vậy, muốn biểu diễn một mặt phẳng ta chỉ cần biểu diễn ba điểm khụng thẳng hàng của mặt phẳng đú.
Thực tế, mặt phẳng thường được thể hiện dưới dạng hỡnh phẳng (hỡnh đa giỏc, hỡnh trũn...) nờn chủ yếu ta chỉ xột hỡnh chiếu của hỡnh phẳng.
Tựy theo vi trớ của hỡnh phẳng so với mặt phẳng hỡnh chiếu, ta cú 3 trường hợp:
- Hỡnh phẳng xiờn so với mphc: hỡnh chiếu của nú là hỡnh phẳng khụng song song và nhỏ hơn nú (hỡnh 3.9a).
- Hỡnh phẳng song song với mphc: hỡnh chiếu của nú là hỡnh phẳng song song và bằng nú (hỡnh 3.9b).
- Hỡnh phẳng vuụng gúc với mphc: hỡnh chiếu của nú là 1 đoạn thẳng (hỡnh 3.9c)
Hỡnh 3.9. Vị trớ của mặt phẳng so với mặt phẳng hỡnh chiếu
3.2.3.2. Hỡnh chiếu của hỡnh phẳng lờn 3 mặt phẳng hỡnh chiếu
Muốn tỡm hỡnh chiếu của hỡnh phẳng trờn 3 mặt phẳng hỡnh chiếu, ta xem vị trớ hỡnh phẳng so với từng mặt phẳng hỡnh chiếu rồi lần lượt chiếu nú lờn cỏc mặt phẳng hỡnh chiếu đú. Sau đú xoay cỏc mặt phẳng hỡnh chiếu theo qui ước về trựng một mặt phẳng bản vẽ, ta cú 3 hỡnh chiếu của hỡnh phẳng trờn mặt phẳng bản vẽ như cỏc trường hợp sau:
Trường hợp ABCD ┴ P1, ABCD xiờn với P2 và P3
Trường hợp ABC xiờn với P1, P2 và P3
Hỡnh 3.10. Hỡnh chiếu của hỡnh phẳng lờn 3 mặt phẳng hỡnh chiếu
3.3. HèNH CHIẾU CỦA CÁC KHỐI HèNH HỌC
Cỏc khối hỡnh học cơ bản thường gặp gồm cú khối đa diện như hỡnh lăng trụ, hỡnh chúp, hỡnh chúp cụt và khối trũn như hỡnh trụ, hỡnh nún, hỡnh cầu...
3.3.1. Khối đa diện
Khối đa diện là khối hỡnh học được giới hạn bằng cỏc đa giỏc phẳng là cỏc mặt của khối đa diện. Cỏc đỉnh và cỏc cạnh của đa giỏc cũng chớnh là cỏc đỉnh và cỏc cạnh của khối đa diện.
Muốn vẽ hỡnh chiếu của khối đa diện phải vẽ hỡnh chiếu của cỏc đỉnh, cỏc cạnh và cỏc mặt của đa diện. Khi chiếu lờn mặt phẳng hỡnh chiếu, nếu cạnh khụng bị cỏc mặt của vật thể che khuất thỡ cạnh đú được vẽ bằng nột liền đậm, cũn cạnh nào bị che khuất thỡ cạnh đú vẽ bằng nột đứt (hỡnh 3.11).
Hỡnh 3.11 Hỡnh chiếu của khối đa diện
3.3.1.1. Hỡnh lăng trụ
a. Hỡnh chiếu của hỡnh hộp chữ nhật
Để đơn giản, ta đặt cỏc mặt của khối hỡnh hộp song song hoặc vuụng gúc với cỏc mặt phẳng hỡnh chiếu. Do đú, hỡnh chiếu của chỳng là cỏc hỡnh chữ nhật. Muốn xỏc định một điểm nằm trờn mặt của khối hỡnh hộp, vẽ qua K đường thẳng nằm trờn mặt của khối hỡnh hộp
Hỡnh 3.12 Hỡnh chiếu của hỡnh hộp
b. Hỡnh chiếu của hỡnh lăng trụ đỏy tam giỏc đều
Tương tự như trường hợp hỡnh hộp chữ nhật. Hỡnh 3.13 là hỡnh chiếu của khối lăng trụ đỏy tam giỏc đều.
z y y x K1 K2 K3 K
Hỡnh 3.13 Hỡnh chiếu của khối lăng trụ đỏy tam giỏc
3.3.1.2. Hỡnh chúp và chúp cụt đều
a. Hỡnh chiếu của hỡnh chúp đỏy hỡnh vuụng
Đặt đỏy hỡnh chúp đều song song với mặt phẳng hỡnh chiếu bằng P2 và đường chộo song song với P1, sẽ được cỏc hỡnh chiếu như hỡnh 3.14a.
Để tỡm hỡnh chiếu của điểm nằm trờn mặt hỡnh chúp, ta cú thể dựng một trong hai cỏch sau: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
- Cỏch 1: kẻ qua K đường thẳng SK nằm trờn mặt bờn của hỡnh chúp. - Cỏch 2: Dựng mặt phẳng qua K song song với đỏy sẽ cắt hỡnh chúp theo giao tuyến là một hỡnh đồng dạng với đỏy như hỡnh 3.14b.
b
Hỡnh 3.14. Hỡnh chiếu của khối hỡnh chúp
b. Hỡnh chiếu của hỡnh chúp cụt đỏy hỡnh vuụng 3.3.2. Khối trũn
Khối trũn là khối hỡnh học giới hạn bởi mặt trũn xoay hay một phần mặt trũn xoay và cỏc mặt phẳng. Mặt trũn xoay là mặt tạo bởi một đường bất kỳ quay một vũng quanh một đường thẳng cố định. Đường bất kỳ gọi là đường sinh của mặt trũn xoay, đường thẳng cố định gọi là trục quay của mặt trũn xoay. Mỗi điểm của đường sinh khi quay sẽ tạo thành một đường trũn cú tõm nằm trờn trục quay và bỏn kớnh bằng khoảng cỏch từ điểm đú đến trục quay (hỡnh 3.15).
- Nếu đường sinh là đường thẳng song song trục quay sẽ tạo thành mặt trụ trũn xoay.
- Nếu đường sinh là đường thẳng cắt trục quay sẽ tạo thành mặt nún trũn xoay
- Nếu đường sinh là nửa đường trũn quay quanh trục quay là đường kớnh của nú sẽ tạo thành mặt cầu trũn xoay.
Hỡnh 3.15. Khối trũn
Khi vẽ hỡnh chiếu, để đơn giản, nờn đặt đỏy của hỡnh trụ song song với mặt phẳng hỡnh chiếu P2. Hỡnh chiếu bằng là hỡnh trũn cú đường kớnh bằng đường kớnh đỏy của hỡnh trụ. Hỡnh chiếu đứng và h ỡnh chiếu cạnh là hai hỡnh chữ nhật bằng nhau cú cỏc cạnh song song với trục x cú độ dài bằng đường kớnh đỏy. Hai cạnh song song với trục z là hinh chiếu của đường sinh hai bờn của mặt trụ, cú chiều cao bằng chiều cao hỡnh trụ (hỡnh 3.16).
Hỡnh 3.16. Hỡnh chiếu của khối trụ
Muốn xỏc định một điểm nằm trờn mặt trụ thỡ vẽ qua điểm đú đường sinh hay đường trũn của mặt trụ.
3.3.2.2. Hỡnh nún
Nếu đặt đỏy của hỡnh nún song song với mặt phẳng hỡnh chiếu bằng P2
thỡ hỡnh chiếu bằng là hỡnh trũn cú đường kớnh bằng đường kớnh đỏy. Hỡnh chiếu bằng của đỉnh hỡnh nún trựng với tõm hỡnh trũn. Hỡnh chiếu đứng và hỡnh chiếu cạnh của hỡnh nún là hai hỡnh tam giỏc cõn bằng nhau và cú cạnh đỏy bằng đường kớnh đỏy của hỡnh nún (hỡnh 3.17).Điểm nằm trờn mặt nún được xỏc định tương tự như hỡnh chúp.Hỡnh 3.18 là hỡnh chiếu của hỡnh nún cụt.
Hỡnh 3.18. Hỡnh chiếu của hỡnh nún cụt
3.3.2.3. Hỡnh cầu
Hỡnh cầu là khối hỡnh học giới hạn bởi mặt cầu. Hỡnh chiếu của hỡnh cầu là hỡnh trũn cú đường kớnh bằng đường kớnh của hỡnh cầu, đồng thời cũng là hỡnh trũn lớn song song với mặt phẳng hỡnh chiếu. Hỡnh trũn ở hỡnh chiếu đứng là hỡnh chiếu của hỡnh trũn lớn song song với mặt phẳng P1. Hỡnh trũn ở hỡnh chiếu bằng là hỡnh chiếu của hỡnh trũn lớn song song với mặt phẳng P2. Hỡnh trũn ở hỡnh chiếu cạnh là hỡnh chiếu của hỡnh trũn lớn song song với mặt phẳng P3 (hỡnh 3.19).
Muốn xỏc định một điểm nằm trờn mặt cầu, ta dựng qua điểm đú đường trũn nằm trờn mặt cầu, đồng thời mặt phẳng chứa đường trũn đú song song với mặt phẳng hỡnh chiếu.
Hỡnh 3.19. Hỡnh chiếu của hỡnh cầu
3.4. CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP Cõu hỏi Cõu hỏi
1.Vị trớ của đường thẳng, mặt phẳng so với mặt phẳng hỡnh chiếu cú mấy trường hợp? Hóy nờu ra?
2. Để vẽ hỡnh chiếu vuụng gúc của một khối đa diện, ta phải làm gỡ? Cho vớ dụ.
3. Mặt trũn xoay được hỡnh thành như thế nào? Để xỏc định một điểm nằm trờn mặt trũn xoay ta phải làm thế nào?
1. Cho hai hỡnh chiếu của một điểm,đoạn thẳng, hỡnh phẳng. Hóy tỡm hỡnh chiếu thứ ba của chỳng: A1 A2 B1 B3 C2 C3 d1 d2 d3 d1 d3 d2 A1 B1 C2 a) b) c) d) e) f) A1 A2 B1 B3 C2 C3 d1 d2 d3 d1 d3 d2 A1 B1 C2 a) b) c) d) e) f) i) g) h) M1 C1 B1 A1 A2 B2 C2 M3 D3 C3 B3 A3 A1 B1 C1 D1 D1 C1 B1 A1 D2 M1 C2 B2 A2
2. Vẽ hỡnh chiếu thứ ba của khối hỡnh học sau:
b)
a) c)
K1
K1 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
K1
3. Cho hai hỡnh chiếu của cỏc khối hỡnh học. Hóy tỡm hỡnh chiếu thứ ba của chỳng:
a) b)
c) d)
e) f)
4. Cho hỡnh khụng gian và hỡnh chiếu vuụng gúc của vật thể. Trờn hỡnh chiếu cũn thiếu một số nột, hóy bổ sung cho đủ:
a) b)
c) d)
e) f)
g) h)
i) j)
5. Vẽ ba hỡnh chiếu vuụng gúc của cỏc vật thể đơn giản sau:
a) b) d) c) e) f) a) b) d) c) e) f)
g) h) i)
BÀI 4. GIAO TUYẾN Mó bài: VKT4
Giới thiệu
Trong thực tế, ta thường gặp một số vật thể (hay chi tiết mỏy) được cấu tạo bởi cỏc khối hỡnh học khụng hoàn toàn, nghĩa là cỏc khối hỡnh học bị cỏc mặt phẳng cắt đi một phần như lưỡi đục là hỡnh lăng trụ bị vỏt phẳng (hỡnh 4.1a), đầu vớt hỡnh chỏm cầu bị cỏc mặt phẳng cắt thành rónh (hỡnh 4.1b)…ngoài ra, ta cũng thường thấy cỏc khối hỡnh học tạo thành vật thể cú vị trớ tương đối khỏc nhau làm thành cỏc giao tuyến khỏc nhau giữa cỏc bề mặt của vật thể như ống nối (hỡnh 4.1c), nắp mỏy (hỡnh 4.1d) cú giao tuyến của hỡnh trụ và hỡnh nún.
Mục tiờu thực hiện
Học xong bài này, học viờn cú khả năng: - Mụ tả được đặc điểm của giao tuyến.
- Mụ tả được giao tuyến của mặt phẳng đối với cỏc khối hỡnh học cơ bản.
- Vẽ được giao tuyến của mặt phẳng đối với cỏc khối hỡnh học cơ bản.
Nội dung chớnh
4.1.GIAO TUYẾN CỦA MẶT PHẲNG VỚI KHỐI HèNH HỌC
Mặt phẳng cắt khối hỡnh học tạo thành mặt cắt, đường bao mặt cắt đú gọi là giao tuyến của mặt phẳng với khối hỡnh học. Vẽ phần bị cắt của vật thể, chớnh là vẽ giao tuyến của mặt phẳng với khối hỡnh học của vật thể đú.
Hỡnh 4.1. Lưỡi đục, đầu vớt, ống nối và nắp mỏy
4.1.1. Giao tuyến của mặt phẳng với khối đa diện
Khối đa diện giới hạn bởi cỏc đa giỏc phẳng, nờn giao tuyến của mặt phẳng với khối đa diện là một đa giỏc phẳng.
Vớ dụ: Vẽ giao tuyến của mặt phẳng Q vuụng gúc với P1, cắt khối lăng trụ đỏy lục giỏc đều tạo giao tuyến là một hỡnh đa giỏc (hỡnh 4.2).
- Vỡ mặt phẳng Q P1, nờn hỡnh chiếu đứng của giao tuyến trựng với hỡnh chiếu đứng của mặt phẳng Q, đú là đoạn thẳng A1D1. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
- Cỏc mặt bờn của khối lăng trụ vuụng gúc với P2, nờn hỡnh chiếu bằng của giao tuyến trựng với hỡnh chiếu bằng của cỏc mặt bờn. Nờn hỡnh chiếu bằng của giao tuyến trựng với hỡnh chiếu bằng của khối lăng trụ là hỡnh lục giỏc A2B2C2D2E2F2.
- Để vẽ hỡnh chiếu cạnh của đa giỏc giao tuyến, ta tỡm hỡnh chiếu cạnh của từng điểm đỉnh của giao tuyến rồi nối chỳng lại.
E D C F B A C3 D3 E3 F3 B3 A3 E1 F1 E2 F2 D2 C2 B2 A2 D1 C1 B1 A1
Hỡnh 4.2.Giao tuyến của mặt phẳng với khối đa diện
4.1.2. Giao tuyến của mặt phẳng với khối trũn 4.1.2.1. Giao tuyến của mặt phẳng với hỡnh trụ 4.1.2.1. Giao tuyến của mặt phẳng với hỡnh trụ
Tựy theo vị trớ của mặt phẳng đối với trục của hỡnh trụ ta cú cỏc giao tuyến sau:
- Nếu mặt phẳng vuụng gúc với trục của hỡnh trụ thỡ giao tuyến là một đường trũn (hỡnh 4.3a).
- Nếu mặt phẳng nghiờng với trục của hỡnh trụ thỡ giao tuyến là một đường elip (hỡnh 4.3b).
- Nếu mặt phẳng song song với trục của hỡnh trụ thỡ giao tuyến là một hỡnh chữ nhật (hỡnh 4.3c).
Hỡnh 4.3 Giao tuyến của mặt phẳng với hỡnh trụ
Vớ dụ, đầu trục vỏt phẳng (hỡnh 4.4). Phần vỏt phẳng do giao tuyến của mặt phẳng song song với trục của hỡnh trụ và giao tuyến của mặt phẳng vuụng gúc với trục của hỡnh trụ tạo thành.
A1 B A B1 B2 A2 B3 A3 Hỡnh 4.4 Đầu trục vỏt phẳng
Trước tiờn, ta vẽ hỡnh chiếu bằng. Sau đú, bằng cỏch xỏc định điểm nằm trờn mặt trụ, ta vẽ hỡnh chiếu đứng và hỡnh chiếu cạnh của giao tuyến.
4.1.2.2. Giao tuyến của mặt phẳng với hỡnh nún trũn xoay
Tựy vị trớ của mặt phẳng cắt đối với trục quay của hỡnh nún, cú cỏc dạng giao tuyến sau (hỡnh 4.5):
- Là hỡnh trũn, nếu mặt phẳng cắt vuụng gúc với trục quay.
- Là tam giỏc cõn cú hai cạnh là hai đường sinh của hỡnh nún, nếu mặt phẳng cắt chứa đỉnh hỡnh nún.
- Là hỡnh parabụn, nếu mặt phẳng cắt song song với 1 đường sinh của hỡnh nún.
- Là hỡnh elip, nếu mặt phẳng cắt nghiờng với trục hỡnh nún và cắt tất cả cỏc đường sinh của hỡnh nún.
- Là hỡnh hyperbụn, nếu mặt phẳng cắt song song với 2 đường sinh của hỡnh nún.
Hỡnh 4.5 Giao tuyến của mặt phẳng và hỡnh nún trũn xoay
4.1.2.3. Giao tuyến của mặt phẳng với hỡnh cầu
Giao tuyến của mặt phẳng với hỡnh cầu là một đường trũn. Tựy theo vị trớ của mặt phẳng cắt so với cỏc mặt phẳng hỡnh chiếu mà ta cú cỏc hỡnh chiếu