Vẽ cung trũn bỏn kớnh R nối tiếp hai đường trũn tõm O1, O2 cú bỏn kớnh R1, R2. Ta cú ba trường hợp:
2.3.4.1. Tiếp xỳc ngoài
Tỡm tõm O: vẽ đường trũn tõm O1 bỏn kớnh R+R1 và đường trũn đường trũn tõm O2 bỏn kớnh R+R2. Hai đường trũn này cắt nhau tại O. O chớnh là tõm cung trũn nối tiếp.
Xỏc định tiếp điểm: nối OO1, OO2 ta cú T1, T2 chớnh là hai tiếp điểm. Vẽ cung trũn tõm O bỏn kớnh R, từ T1 đến T2 (hỡnh 2.18).
Hỡnh 2.18 Cung tiếp xỳc ngoài 2 cung trũn khỏc
2.3.4.2. Tiếp xỳc trong
Tỡm tõm O: vẽ đường trũn tõm O1 bỏn kớnh R – R1 và đường trũn đường trũn tõm O2 bỏn kớnh R-R2. Hai đường trũn này cắt nhau tại O. O chớnh là tõm cung trũn nối tiếp.
Xỏc định tiếp điểm: nối OO1, OO2 ta cú T1, T2 chớnh là hai tiếp điểm. Vẽ cung trũn tõm O bỏn kớnh R, từ T1 đến T2 (hỡnh 2.19).
Hỡnh 2.19 Cung tiếp xỳc trong 2 cung trũn khỏc
2.3.4.3. Vừa tiếp xỳc ngoài, vừa tiếp xỳc trong
Tỡm tõm O: vẽ đường trũn tõm O1 bỏn kớnh R+R1 và đường trũn tõm O2
bỏn kớnh R-R1. Hai đường trũn này cắt nhau tại O. O chớnh là tõm cung trũn nối tiếp.
Xỏc định tiếp điểm: nối OO1, OO2 ta cú T1,T2 chớnh là hai tiếp điểm. Vẽ cung trũn tõm O bỏn kớnh R, từ T1 đến T2 (hỡnh 2.20).
Hỡnh 2.20 Cung tiếp xỳc vừa trong vừa ngoài với 2 cung trũn
2.3.5. Ứng dụng
Khi vẽ cỏc hỡnh phẳng cú đường nối tiếp, trước hết ta phải dựa vào cỏc kớch thước đó cho để xỏc định cỏc đường đó biết và cỏc đường cần vẽ nối tiếp.
- Đường đó biết: là đường cú kớch thước xỏc định. Vớ dụ cung trũn cho trước tõm và bỏn kớnh.
- Đường nối tiếp là đường chưa cú đủ kớch thước xỏc định, phải phõn tớch hỡnh vẽ xem phải ứng dụng trường hợp nối tiếp nào, từ đú suy ra cỏc điều kiện cũn thiếu, Vớ dụ cung nối tiếp chỉ mới biết bỏn kớnh thỡ phải xỏc định tõm và cỏc tiếp điểm thỡ mới vẽ được.
Căn cứ vào kớch thước đó cho trờn hỡnh ta thực hiện như sau:
- Xỏc định cỏc tõm O1, O2, O3 của cỏc lỗ. Tại cỏc tõm này ta vẽ cỏc đường trũn và cung trũn cú bỏn kớnh đó cho và vẽ cỏc đường thẳng cho trước (hỡnh 2.22a)
- Ta phõn tớch được năm chỗ nối tiếp, lần lượt vẽ như sau: (hỡnh 2.22b)
+ Đường thẳng tiếp xỳc với đường trũn: từ điểm A đó biết (được xỏc định theo kớch thước 95 và 50) vẽ đường thẳng tiếp xỳc với đường trũn tõm O1 bỏn kớnh R24.
+ Cung trũn tiếp xỳc với hai đường thẳng cắt nhau tại A, bỏn kớnh là R12.
+ Cung trũn nối tiếp với hai đường thẳng vuụng gúc nhau cú bỏn kớnh R10.
Hỡnh 2.21 Tấm giằng
+ Cung trũn nối tiếp với một đường thẳng và một cung trũn cú tõm là O2, O3 và bỏn kớnh R15. Bỏn kớnh cung nối tiếp là R8.
+ Cung trũn tiếp xỳc ngoài với hai cung trũn cú tõm là O2, O3 và bỏn kớnh là R15. Bỏn kớnh cung nối tiếp là R18.
o1 o2 o3 A R18 R8 R15 R10 R12 R24 28 30 ỉ15 R15 Hỡnh 2.22a Hỡnh 2.22b 2.4. VẼ MỘT SỐ ĐƯỜNG CONG HèNH HỌC 2.4.1. Đường elip Đường elip
Đường elip là quỹ tớch của những điểm cú tổng khoảng cỏch đền hai điểm cố định F1, F2 bằng một hằng số lớn hơn khoảng cỏch giữa hai điểm F1, F2.
MF1+MF2 = 2a > F1F2
2.4.1.1. Vẽ đường elip theo hai trục AB và CD
Vẽ hai đường trũn đường kớnh AB và CD.
thẳng song song với CD và AB, hai đường thẳng này cắt nhau tại một điểm nằm trờn elip (hỡnh 2.23).
Hỡnh 2.23 Cỏch vẽ elip
2.4.1.2. Vẽ đường ovan theo hai trục AB và CD
Hỡnh 2.24 Cỏch vẽ đường ụvan
Trong trường hợp khụng cần vẽ chớnh xỏc đường elip, ta cú thể thay đường elip bằng đường ovan. Cỏch vẽ đường ovan như sau:
- Nối AC.
- Vẽ cung trũn tõm O bỏn kớnh OA, cung trũn này cắt CD kộo dài tại E. - Vẽ cung trũn tõm C bỏn kớnh CE, cung trũn này cắt AC tại F.
- Vẽ đường trung trực của đoạn thẳng AF, đường trung trực này cắt AB tại O1 và CD tại O3.Lấy đối xứng O1, O3 qua O ta được O2, O4. O1, O2, O3, O4 là tõm của bốn cung trũn để vẽ đường ovan. Để biết giới hạn
2.4.2. Parabol
Parabol là quỹ tớch của những điểm cỏch đều điểm cố định F (tiờu điểm) và đường thẳng cố định đường (đường chuẩn).
MF = MH
Vẽ parabol theo định nghĩa: cho trước tiờu điểm F và đường chuẩn, cỏch vẽ parabol như sau:
- Vẽ FO vuụng gúc đường chuẩn d, đú là trục của parabol. - Tỡm trung điểm OF, đú là đỉnh của parabol.
- Dựng đường thẳng song song với đường chuẩn d, vẽ cung trũn tõm F bỏn kớnh bằng khoảng cỏch giữa đường thẳng vừa dựng và đường chuẩn d. Giao điểm của cung trũn với đường thẳng song song với đường là điểm thuộc parabol.
- Thực hiện tương tự như trờn ta được một số điểm thuộc parabol rồi dựng thước cong nối cỏc điểm đú lại (hỡnh 2.25)
Hỡnh 2.25 Đường parabol và cỏch vẽ đường parabol
2.4.3. Đường xoỏy ốc Acsimet
Đường xoắn ốc Arsimet là quỹ đạo của một điểm chuyển động đều trờn một bỏn kớnh quay khi bỏn kớnh này quay đều quanh tõm O.
Độ dời của điểm trờn bỏn kớnh quay khi bỏn kớnh này quay được một vũng gọi là bước xoắn.
Vẽ đường xoắy ốc Arsimet biết bước xoắn a như sau:
- Chia bước xoắn a cũng ra làm n phần bằng nhau.
- Đặt lờn cỏc đường chia tại cỏc điểm 1, 2, … cỏc đoạn thẳng 01, 02, … được cỏc điểm M1, M2 … thuộc đường xoắn ốc Acsimet (hỡnh 2.26).
Hỡnh 2.26 Cỏch vẽ đường xoắn ốc Archimet
2.4.4. Đường thõn khai của đường trũn
Đường thõn khai của đường trũn là quỹ đạo của một điểm thuộc đường thẳng khi đường thẳng này lăn khụng trượt trờn một đường trũn cố định(đường trũn cơsở).
Vẽ đường thõn khai khi biết đường trũn cơ sở bỏn kớnh R:
- Chia đường trũn cơ sở ra làm n phần đều nhau. Vớ dụ n = 12 (hỡnh 2.27).
- Vẽ tiếp tuyến với đường trũn tại cỏc điểm chia đều đường trũn - Lần lượt đặt cỏc tiếp tuyến tai cỏc điểm 1, 2, 3 … cỏc đoạn thẳng
bằng 1, 2, 3 … lần đoạn 2 R/12 ta được cỏc điểm M1, M2, M3 … thuộc đường thõn khai.
Hỡnh 2.27 Cỏch vẽ đường thõn khai của đường trũn
Cõu hỏi
1. Cỏch chia đoạn thẳng làm nhiều phần bằng nhau. 2. Cỏch chia đường trũn làm 3 và 6 phần bằng nhau. 3. Cỏch chia đường trũn làm 5 và 10 phần bằng nhau.
4. Cỏch vẽ cung trũn nối tiếp hai đường thẳng (cú mấy trường hợp?) 5. Cỏch vẽ cung trũn nối tiếp hai cung trũn (cú mấy trường hợp?) 6. Khi vẽ cỏc hỡnh phẳng cú đường nối tiếp ta phải làm gỡ?
Bài tập
1. . Áp dụng cỏch chia đều đường trũn để vẽ cỏc hỡnh sau theo tỉ lệ 1:1
3 loó R90 4 loó ỉ104 R10 ỉ88 ỉ10 38 ỉ15 ỉ120 R15 R30 45° a) b)
2. Áp dụng cỏch vẽ nối tiếp để vẽ cỏc hỡnh sau theo tỉ lệ 1:1
a) b) R24 77 R84 ỉ16 R24 ỉ38 115 R27 ỉ22 R25 ỉ11 R63 R50 18 72 88 2 loó 2 loó R38 R14
c) d) 100 ỉ16 ỉ40 R20 R20 R110 ỉ60 R10 24 R8 R7 14 R20 R7 R59 60° R39 R5 ỉ26 64 R26 R20 40 49 R15 e) R114 R25 R23 R33 ỉ20 ỉ42 ỉ83 R53 90
BÀI 3. HèNH CHIẾU VUễNG GểC Mó bài: VKT3
Giới thiệu
Hỡnh chiếu vuụng gúc là một nội dung rất quan trọng của mụn học vẽ kỹ thuật, là cơ sở lý luận để xõy dựng cỏc hỡnh biểu diễn của vật thể. Phương phỏp hỡnh chiếu vuụng gúc cho ta cỏc hỡnh biểu diễn chớnh xỏc về hỡnh dạng và kớch thước, nờn được dựng nhiều trong cỏc loại bản vẽ kỹ thuật.
Mục tiờu thực hiện
Học xong bài này, học viờn cú khả năng: - Mụ tả được cỏc phộp chiếu vật thể.
- Mụ tả và xỏc định được hỡnh chiếu thứ ba của điểm, đoạn thẳng, hỡnh phẳng khi biết trước hai hỡnh chiếu của chỳng.
- Vẽ được hỡnh chiếu của cỏc khối hỡnh học và một số vật thể đơn giản.
Nội dung chớnh
3.1. KHÁI NIỆM VỀ CÁC PHẫP CHIẾU 3.1.1. Cỏc phộp chiếu 3.1.1. Cỏc phộp chiếu
Trong khụng gian, lấy một mặt phẳng P và một điểm S cố định ngoài mặt phẳng P. Từ một điểm A bất kỳ trong khụng gian, ta dựng đường thẳng SA, đường này cắt mặt phẳng P tại A'. Như vậy ta đó thực hiện được một phộp chiếu: chiếu điểm A lờn mặt phẳng P. Ta gọi:
- S: tõm chiếu - SA: tia chiếu
- P: mặt phẳng hỡnh chiếu
- A': hỡnh chiếu của điểm A lờn mặt phẳng hỡnh chiếu P
Cú hai loại phộp chiếu: phộp chiếu xuyờn tõm và phộp chiếu song song.
3.1.1.1. Phộp chiếu xuyờn tõm
Phộp chiếu xuyờn tõm là phộp chiếu mà cỏc tia chiếu đều đi qua một điểm cố định S. Lỳc đú A' gọi là hỡnh chiếu xuyờn tõm của A lờn mặt phẳng hỡnh chiếu P qua tõm chiếu S (hỡnh 3.1).
Hỡnh 3.1. Phộp chiếu xuyờn tõm
3.1.1.2. Phộp chiếu song song
Phộp chiếu song song là phộp chiếu mà cỏc tia chiếu luụn song song với một đường thẳng cố định l gọi là phương chiếu. Qua A dựng đường thẳng song song với phương chiếu l, đường thẳng này cắt mp P tại A'. A' gọi là hỡnh chiếu song song của A lờn mặt phẳng hỡnh chiếu P, theo phương chiếu l.
Tựy theo vị trớ của phương chiếu l đối với mặt phẳng P, phộp chiếu song song chia làm hai loại: phộp chiếu xiờn và phộp chiếu vuụng gúc.
- Phộp chiếu xiờn: nếu phương chiếu l xiờn khụng vuụng gúc) với mặt phẳng hỡnh chiếu P. Lỳc đú A' gọi là hỡnh chiếu xiờn của A lờn mặt phẳng hỡnh chiếu P (hỡnh 3.2a).
- Phộp chiếu vuụng gúc: nếu phương chiếu l vuụng gúc với mặt phẳng hỡnh chiếu P. Lỳc đú A' gọi là hỡnh chiếu vuụng gúc của A lờn mặt phẳng hỡnh chiếu P (hỡnh 3.2b).
Hỡnh 3.2. Phộp chiếu xiờn Phộp chiếu vuụng gúc
3.1.2. Phương phỏp vẽ cỏc hỡnh chiếu vuụng gúc
Một điểm trong khụng gian thỡ cú một hỡnh chiếu duy nhất trờn một mặt phẳng hỡnh chiếu. Nhưng một điểm trờn mặt phẳng hỡnh chiếu khụng chỉ là hỡnh chiếu duy nhất cuả một điểm trong khụng gian mà cũn là hỡnh chiếu của vụ số điểm khỏc nhau cựng nằm trờn một tia chiếu vuụng gúc với mặt phẳng hỡnh chiếu (hỡnh 3.3a). Từ đú suy ra: biết một hỡnh chiếu của vật thể trờn một
mặt phẳng hỡnh chiếu thỡ chưa thể hỡnh dung chớnh xỏc hỡnh dạng vật thể đú trong khụng gian. Vớ dụ ở hỡnh 3.33, hai vật thể cú hỡnh dạng khỏc nhau song hỡnh chiếu của chỳng lờn một mặt phẳng hỡnh chiếu lại giống nhau (hỡnh 3.3b).
Hỡnh 3.3a. Hỡnh chiếu cỏc điểm cựng
nằm trờn một tia chiếu Hỡnh 3.3b. Hỡnh chiếu giống nhau của 2 vật thể khỏc nhau
Do đú, muốn diễn tả chớnh xỏc hỡnh dạng vật thể, người ta dựng phộp chiếu vuụng gúc. Chiếu vật thể lờn cỏc mặt phẳng hỡnh chiếu vuụng gúc với nhau từng đụi một. Sau đú, xoay cỏc mặt phẳng hỡnh chiếu về cựng một mặt phẳng bản vẽ (xoay theo chiều qui ước). Lỳc này, trờn mặt phẳng bản vẽ cú cỏc hỡnh chiếu vuụng gúc của vật thể. Từ cỏc hỡnh chiếu này, người đọc sẽ hỡnh dung được hỡnh dạng của vật thể trong khụng gian (hỡnh 3.4).
Hỡnh 3.4. Hỡnh chiếu của vật thể lờn cỏc mặt phẳng hỡnh chiếu khỏc nhau
3.2. HèNH CHIẾU VUễNG GểC CỦA CÁC YẾU TỐ HèNH HỌC 3.2.1. Hỡnh chiếu của điểm 3.2.1. Hỡnh chiếu của điểm
3.2.1.1. Trờn hai mặt phẳng hỡnh chiếu
Trong khụng gian, lấy hai mặt phẳng P1 và P2 vuụng gúc với nhau (mặt phẳng P1 đặt thẳng đứng, mặt phẳng P2 đặt nằm ngang). Từ một điểm A bất
kỳ trong khụng gian, dựng đường vuụng gúc với P1 và P2. Ta cú A1 trờn P1 và A2 trờn P2.
Điểm A1 được gọi là hỡnh chiếu đứng và điểm A2 là hỡnh chiếu bằng của điểm A (hỡnh 3.5).
Để vẽ hai hỡnh chiếu của điểm A trờn cựng một mặt phẳng, ta xoay P2
quanh trục x một gúc 90°(theo chiều qui ước) về trựng mặt phẳng P1. Cặp điểm (A1,A2) nằm trờn đường vuụng gúc với trục x cũn gọi là đồ thức của điểm A. Để đơn giản chỉ vẽ trục x và cặp hỡnh chiếu A1,A2.
Hỡnh 3.5. Hỡnh chiếu của 1 điểm lờn 2 mặt phẳng hỡnh chiếu
Ngược lại, cú cặp điểm (A1,A2) ta cú thể xỏc định được điểm A trong khụng gian bằng cỏch xoay P2 trở lại vị trớ nằm ngang, dựng cỏc đường vuụng gúc từ A2 lờn và từ A1 ra, hai đường này sẽ cắt nhau tại A.
3.2.1.2. Trờn ba mặt phẳng hỡnh chiếu
Lần lượt chiếu điểm A lờn 3 mặt phẳng hỡnh chiếu, tương tự ta cú A3 là hỡnh chiếu cạnh của điểm A. Sau khi xoay P2 như trờn, ta xoay P3 quanh trục z về phớa bờn phải của P1. Ta cú 3 hỡnh chiếu A1, A2, A3 cựng nằm trờn một mặt phẳng bản vẽ P1 P2 P3(hỡnh 3.6a). Chỳng mang tớnh chất sau:
A1A2 Ox A1A3 Oz
A2Ax = A3Az Nhờ tớnh chất này, bao giờ ta cũng vẽ được hỡnh chiếu thứ ba khi biết được hai hỡnh chiếu vuụng gúc của điểm (hỡnh 3.6b).
Hỡnh 3.6a. Hỡnh chiếu của 1điểm lờn 3 mặt phẳng hỡnh chiếu
Hỡnh 3.6b. Hỡnh chiếu của 1điểm lờn 3 mặt phẳng hỡnh chiếu
3.2.2. Hỡnh chiếu của một đường thẳng
Một đường thẳng được xỏc định khi ta biết hai điểm khụng trựng nhau. Do đú, muốn vẽ hỡnh chiếu vuụng gúc của đường thẳng hay đoạn thẳng, ta chỉ cần vẽ hỡnh chiếu vuụng gúc của hai điểm đú rồi nối chỳng lại.
Thực tế, đường thẳng thường thể hiện dưới dạng đoạn thẳng nờn chủ yếu ta chỉ xột hỡnh chiếu của đoạn thẳng.
3.2.2.1. Hỡnh chiếu của đoạn thẳng trờn một mặt phẳng hỡnh chiếu
Tựy theo vị trớ của đoạn thẳng so với mặt phẳng hỡnh chiếu, ta cú 3 trường hợp:
- Đoạn thẳng xiờn với mặt phẳng hỡnh chiếu: hỡnh chiếu của nú là đoạn thẳng khụng song song và cú độ dài khụng bằng nú(A'B'< AB) (hỡnh 3.7a).
- Đoạn thẳng song song với mặt phẳng hỡnh chiếu: hỡnh chiếu của nú là đoạn thẳng song song và cú độ dài bằng nú (A'B'= AB) (hỡnh 3.7b).
- Đoạn thẳng vuụng gúc với mặt phẳng hỡnh chiếu: hỡnh chiếu của nú là một điểm (A' B') (hỡnh 3.7c).
Hỡnh 3.7. Vị trớ của đoạn thẳng so với mặt phẳng hỡnh chiếu
3.2.2.2. Hỡnh chiếu của đoạn thẳng trờn ba mặt phẳng hỡnh chiếu
mặt phẳng hỡnh chiếu đú. Sau đú, xoay cỏc mặt phẳng hỡnh chiếu theo qui ước về trựng một mặt phẳng bản vẽ, ta cú 3 hỡnh chiếu của đoạn thẳng trờn một mặt phẳng bản vẽ như cỏc trường hợp trong hỡnh 3.8.
a. Trường hợp AB// P1và P3, AB ┴ P2
b. Trường hợp AB// P1, AB xiờn với P2 và P3
c. Trường hợp AB xiờn với P1, P2 và P3
Hỡnh 3.8. Hỡnh chiếu của đoạn thẳng lờn 3 mặt phẳng hỡnh chiếu
3.2.3. Hỡnh chiếu của một mặt phẳng
Qua ba điểm khụng thẳng hàng ta xỏc định được một mặt phẳng. Vỡ vậy, muốn biểu diễn một mặt phẳng ta chỉ cần biểu diễn ba điểm khụng thẳng hàng của mặt phẳng đú.
Thực tế, mặt phẳng thường được thể hiện dưới dạng hỡnh phẳng (hỡnh đa giỏc, hỡnh trũn...) nờn chủ yếu ta chỉ xột hỡnh chiếu của hỡnh phẳng.
Tựy theo vi trớ của hỡnh phẳng so với mặt phẳng hỡnh chiếu, ta cú 3 trường hợp:
- Hỡnh phẳng xiờn so với mphc: hỡnh chiếu của nú là hỡnh phẳng khụng song song và nhỏ hơn nú (hỡnh 3.9a).
- Hỡnh phẳng song song với mphc: hỡnh chiếu của nú là hỡnh phẳng song song và bằng nú (hỡnh 3.9b).
- Hỡnh phẳng vuụng gúc với mphc: hỡnh chiếu của nú là 1 đoạn thẳng (hỡnh 3.9c)
Hỡnh 3.9. Vị trớ của mặt phẳng so với mặt phẳng hỡnh chiếu
3.2.3.2. Hỡnh chiếu của hỡnh phẳng lờn 3 mặt phẳng hỡnh chiếu