Mô phỏng thiết bị quang tích hợp dẫn tới yêu cầu giải phương trình Maxwell bằng số. Có hai phương pháp tiếp cận cơ bản để tiếp cận giải phương trình Maxwell: tiếp cận giải trực tiếp trong miền thời gian và tiếp cận giải trong miền tấn số dùng biến đổi Fourier [20]. Trong đó, BPM (Beam propagation method) là một trong những phương pháp mạnh, được ứng dụng rộng rãi và hiệu quả nhất để giải phương trình Maxwell bằng số cho mô phỏng đặc tính truyền dẫn sóng trong các thiết bị quang tích hợp.
Trong phần này sẽ mô tả vắn tắt một số nội dung cơ bản nhất của phương pháp. Cụ thể hơn về phương pháp BPM và các kỹ thuật tiên tiến khác áp dụng cho BPM xin xem thêm tài liệu tham khảo [16].
Giả sử một tín hiệu đơn tần phụ thuộc thời gian t, truyền dẫn trong môi trường chiết suất phân bố đều theo hướng truyền dẫn, có dạngejωt. Phương trình Maxwell viết cho tín hiệu này là [20]:
∇x~E = jωn2ε0H~ (1.1)
∇xH~ = jωn2ε0~E (1.2) trong đó,→−E và−→H là vectơ trường điện và từ,ε0là hằng số điện môi của môi trường truyền sóng.
Từ đó, phương trình truyền sóng được viết lại như sau:
∇x∇~E =n2k2~E (1.3) Hay có thể viết dưới dạng:
∇(∇·~E)−∇2~E =n2k2~E (1.4) Với ∇·~E =− 1 n2(Ex∂n2 ∂x +Ey∂n2 ∂y ) (1.5)
Từ đó ta rút ra các phương trình đạo hàm riêng mô tả đặc tính truyền sóng của các thành phần trường điện ngang dưới đây:
∂2Ex ∂x2 +∂2Ex ∂y2 +∂2Ex ∂z2 +n2k2Ex+ ∂ ∂x{ 1 n2(Ex∂n2 ∂x +Ey∂n2 ∂y )}=0 (1.6) ∂2Ey ∂x2 +∂2Ey ∂y2 +∂2Ey ∂z2 +n2k2Ey+ ∂ ∂y{ 1 n2(Ex∂n2 ∂x +Ey∂n2 ∂y )}=0 (1.7) Hai phương trình mô tả chính xác đặc tính truyền sóng trong môi trường chiết suất n. Trong thực tế, hầu hết cấu trúc thiết bị thường biến đổi chậm so với hướng truyền sóng nên sự thay đổi nhanh của trường là do thay đổi pha của trường dọc theo hướng truyền. Do đó vectơ sóng có thể được viết dưới dạng sau:
Eu(x,y,z) =Fu(x,y,z)e−j ¯nkz (1.8) Ở đâynlà hằng số được chọn bất kỳ, thể hiện sự thay đổi pha trung bình của trường trong môi trường truyền sóng và u ký hiệu thay cho x hoặc y.
Ý tưởng cơ bản của BPM là giả sử rằng trường biến đổi chậm, tức là bỏ qua thành phần vi phân bậc hai của theo hướng truyền và ta có:
|∂2Fu
∂z2 | ≪2 ¯nk|∂Fu
∂z | (1.9)
Từ đó rút ra các phương trình truyền sóng BPM trong môi trường đơn giản hơn. Giải các phương trình trên bằng số, đặc tính truyền của trường trong môi trường chiết suất n được tính toán và mô tả. Hình 1.13 là kết quả mô phỏng BPM cho cấu trúc bộ điều chế MZI trong hai trạng thái bật (ON) và tắt (OFF).
Hình 1.13: Ví dụ mô phỏng MZI dùng phương pháp BPM