- (Ì+ 1)G NAN*R
4. Sd dò thuat toàn giài bài toàn phi tuyén, vó han chféụ Thuàt toàn giài bài toàn ph
tuyén, vó han chièu duoc mó tà qua so dò sau : Bài toàn phi
tuyén, vó han
! Hoàn thién nghiém * bài toàn ban dàu
Cài tua Làm "tòt hon" cài tua
Xày dung bài Giài bài toàn
toàn tua mùc 1 ;~1 tua mùc 1
Hoàn thién nghiém bài toàn tua mùc 1 ; Cài ti
I Xày dung bài toàn tua mùc 2
lei p
"+X+ K r t « " r.A; * , v ^ i
i-Xillì i\ji iiwii y^ai l u a '
T Giài
t u a n
'
bài toàn Hoàn thié lue 2 j bài toàn ti
•
n nghiém la mùc 2
mùc cao hon
Trong càc muc 1- 4 ta dà xét càc giai doan eó hén quan truc tiép dén bài toàn tua mùc 1 (giai doan chinh, phàn tich nghiém và hoàn thién nghiém). Càc bài toàn ò mùc cao hon dà duce nghién cùu ò [54].
§2. Cài tua cuc trị
Gabasov, Kirillova và càc dòng su dà chùng minh : su tòn tai cài tua cuc tri và xàp xi ban dàu "dù tòt" là dièu kién de phuong phàp Niuton giài he phuong trình hoàn thién hói tu [56]. Cùng tuong tu nhu mói lién he giùa cài tua và tinh dièu khfén duOc dói vói càc ràng buóc. ò day eó mói hén he giùa cài tua cuc tri và tinh dièu khién duoc cuc trị Trong ly thuyét dinh tinh (xem chuong I) ; tinh dièu khién duOc dia phuong cùa he phi tuyén thuc chat là tinh dièu khién duoc cùa he tuyén tinh (xàp xi cùa he ban dàu). Vi vay, duòng nhu khóng co su khàc nhau ve phuong phàp nghién cùu cho càc he phi tuyén khàc nhaụ Trong ly thuyét kién thiét : de xàc dinh duoc tinh dièu khién duOc cùa mot he, ta càn eó cóng thùc tuòng minh tinh dièu khién tai càc doan tuạ Cóng thùc này là khàc nhau cho càc he phi tuyén khàc nhaụ Day cùng chinh là han che cùa phuong phàp sù dung trong luan àn này : ta chi giài quyét duoc càc bài toàn tuyén tinh theo hàm dièu khién.
l.Diéu khién dupc cuc trị
Xét bài toàn
J(u) = c'x(t ) -*min
x = f,(x) + f2(x)u,x(0) = x^ (10) g(x(t*)) = 0. |u(t)|<l.tGT = [0.t^]
vói càc già thiét nhu ò chuong IỊ
Cho truóc dièu khién chàp nhàn duoc u{t). tGT. Néu co dièu khién tua { ụ S^p }. thì véc
to m chièu y duOc tinh theo cóng thùc (IỊ6). Néu khóng, eó thè chpn y bàt kỵ Xem x(t), tGT,
nhu qui dao tuong ùng cùa he (10). v(t), t ^ , là nghiém cùa he lién hOp V ' = - A ' ( t ) v ' , t ^
V(t*) = G ' y - c (11)
A•Art^ ^ i W ) ) ^ ^2(x(t)) VOl Ăt) = • + u(t), tG 1
^ dx dx
G = ag'(x(t*)) ax
z = ( _ + _ u)z + f2(x)v , z(0) = 0
ÒK ax
ag'(x(t ))
'1}_}_^' z(t) = 0
(12)
a2g(x(t*)) a2^x(t*)) ' ag'(x(t*)) -
K t ) = [ - ^ y - ^ ^ ^ ] z(t') ^ ^ _ . (13)
Phàn tuyén tinh cùa Ăt) = V'T-, sé là
v ( t ) = , p ' f T + V ' — Z dx. Ta chon ho T,p« = { T-, i e N ), T, = [ TJ, T> ] cT, Tj < 7^' < T,+j, i e N = { 1,..., p }, T° = 0, Tp ^ j = t* Ki hiéu N . = { Ì G N : T J < T ' } . Np = N \ N . | = (^,.ieK) = ( T , . i e N : T ' . i e N , ) K = {1.2...., | N | + |N, |} • Dinh nghìa IIỊl. Cho véc to geR"". càc hàm lién tue tùng doan Vj^(t). teTj^ = T \{ u Tj,
i e N , } càc hàm Vj(t) e C~, te Tj, i e N, và càc so v ^. ie N^ bàt kỵ Néu tòn tai hàm lién tue tùng doan v (t), te Tj, i e N , . càc sd Vj, ie K và véc to pe R"' sao cho càc qui dao z(t), <p (t)
cùa càc he (12) (13) ùng vói hàm
V(t) = 2 Vj <5(t - f j) + { "n^*^ ' ^ ^ "^n i G K v^p (t), t e Tj, i e N, thòa man càc dàng thùc sau :
ag'(x(t*)) * z(t ) = g (14) ax ^t)f2(x(t)) + v-Xt) " ^ ^ z(t) = Vj(t),teTi,ieN. (15) ax
af,(x(T))
,J(r5)f2(x(r,)) + v'(Ti) ^ ' ' z(rj) = v j(^), teN„ (16)
thì he (10) duoc gpi là dièu khién duOc cuc tri (dia phuong theo u(t), x(t), v<t). tGT và y). Lay dao hàm (15) hai làn trén T-, ÌG N*, ta eó
. vK^i)f2(x(ri)) + V'(Ti) " ^ ^ f Z ( z , ) = v . ( r . ) ax(T-) ax(T-) v K r % ( x ( T » ) ) + v ' ( r Ó ~ ' ' z ( r Ì ) = v . ( T - ) ax(r') V- = V'A z -f B ỷ + v'Cv + V'Cv, teT-, i e N * (17) vói
d^f2 &\ âf2 afj âfj ^f^ A = (fj + f, u) ( - 3 fj - — r ^2 +
B =
dxr ^ ÓK- ^ dx^ dx dx- dx
af2 afj â, e% ^ ^ax ^ dK '' ^ dir ax^ ^
^f, 52f, ,i2f, âf, ^ - f.fl ] + [ - ^ f,f2 ] U - [ - ^ f.f] ] - [ - ^ f^fj ] " <Á" * ( " cK^ clX^ ^ ' ] ^ 2 , . ^ 2 ^ f l • . - ( — + — u ) ( ^ f 1 - f O • ^ d X dx "^ ^ dx ^ dx " ^ [ -^ ¥ 2 ] - [ — ¥ 2 ] - — — f l + — — f2 ax*^ ax"- dx dx dx d>ị
(Càc ki hiéu duoc sù dung theo nghia xàc dinh ò phàn mò dàu).
Già thiét v ' C ;*0, tu (17) suy ra V'Az + B^ - Vj
^sp(t) = ' t^Tj, i e N* (18) V'C
Thay (18) vào (12) (13), ta duoc
Ut) = A2i(t)z(t) + A22(t)y(t) + b2(t)v(t). t e T (19) z(o) = 0, Gz(t*) = 0, <fH*) = Gp+ Hz(t*)
^^j)f2(x(|j)) + v'(^) " ^ J ^ ^ z(^.) = ; j , j e K , vói
Aii(t) = Ăt), Ai2(t) = 0, bi(t) = b(t)
A2i(t) = -V' — , A22(t) = - Ăt), b2(t) = - V'-^ , t e T„
Aij(t) = Ăt) + - ^ . . . t)B b A l 2 ( » = ^ •",(•) = - ^ . aX 6X V'C af^ B A22(t) = -Ăt) - v' - ^ . b2(t) = -v' 2 . y: ^ t e T j , i e N , ax ax i/'C Dàt /v(t) = ( z ( t ) . ^ ( t ) ) - Aii(t),Ai2(t) bj(t) ^^^) = ( A2,(t),A22(t) ) ' ^(^) = ( b 2 ( t ) ) ' - ^ ^2 b = ( V ' - , f2 ) H -E nxn / lIAll \ Hi = ( E ^ , 0 ^ ) , M = ( - ) ^ nxn '^' - C ) nxm
Ta co : tinh dféu khién duOc cuc tri cùa he (10) tuong duong vói tinh giài duoc cùa bài toàn bién
{i = D ( t ) ; . + g ( t ) v , t ^ (20)
F'ỵ(|.) = Vj , j e K
Ki hiéu *( t, T ) là ma tran nghiém co bàn phàn thuàn nhàt cùa phuong trình (20). <I>(t. T )
s O , t < T . D à t
p , ^ : M'H^\0) il) M<I>(t*,|j)(J), j e K . b'<I>(li,0) ( ° ) b'<J>(|„^.) il).ieK . b'<I>(li,0) ( ° ) b'<J>(|„^.) il).ieK
I i e K ! •
Sù dung phép bién dói [56]. ta co dinh ly sau :
Djnh \f IILl. Già thiét ràng v'C ^ 0, tGT^. i G N* . Dièu kién càn và dù de he (10) dféu khién duoc cuc tri (theo u(t), x(t), v'(t). t e T, y) là det P^^ ^ 0.
2.Cai tua cuc trị
Djnh nghia IIỊ2. Néu v'C > 0. teT,. i e N. và det P^^^ ^ 0. vói
p ^ = sp = p ^ + Onxn 0 0 0 0 0 0 mxm . D^ = d i a g ( 7 . . j G K ) Vi j = O v ò i ^ = T- V T ^ , i G N: y = . I _ (bV) 1. ^. / 2,vói^ = r-,ÌGN^
thì ho Tg^ = { T-, i G N } duoc goi là cài tua cuc tri cùa bài toàn (10) (theo u(t), x(t), V'(t), t G T , y ) .
Nhu ò trén dà nhàn xét : khài niém cài tua cuc tri duoc dua vào de chùng minh su hói tu cùa phuong phàp Niuton giài he phuong tri nh hoàn thién.