Xét he hén hpp ^ = - A ' ( t ) v , t e T (4) V.(t*) = G'y-c (5) ^^^ ^ i ( x ( t ) ) rf'?(x(t)) A ( t ) = _J:L1Z^ + ^J^^J u(t),tGT ax ax
- agXx(t*)) - ấ(x(t*)) G = , c = — — ax ax Ki hiéu b(t) = f2(x(t)) c(t) = c'F(t*)F-l(t)b(t) G(t) = GF(t*)F-l(t)b(t), t ^
vói F(t), t ^ , là nghiém cùa phuong trình
F(t) = Ăt)F(t), teT, F(0) = E - ma tran don vị Già su rank G = m < n.
Ta chon tàp hpp T = {t^,..., t^ } càc diém tj, e T , k = TX va tàp hpp hùu han Jj., k = TTs , càc phàn tu dang p , p" hoàc p*^ vói càc qui ùoc nhu sau :
- néu p"'"G Jj. (hoàc p' e Jj.), thì dao hàm bac p phài (hoàc trai) cùa hàm G(t) tai diém tj. tham già vào dinh nghia cài tua;
- néu p°G Jj.. thì tai diém tj., hàm G(t) co dao hàm lién tue bac p.
DàtJ ={Jj,...,JJ, I | J J = m.
k= 1
Djnh nghia IỊ2. Càp Sg = { T , J } dupc gpi là cài tua dia phuong cùa càc ràng buóc
theo (u,x) va ma tran
P = ( G ( P ) ( t i ^ ) , p G j j , , k = l , s ) dupc goi là ma tran tua, néu rank P = m.
Cap { u, S }, gòm dièu khién chàp nhàn dupc va cài tua tuong ùng, dupc gpi là dièu khién
tuạ
Néu s = m, JJ, = { 0 }, k = 1, m, thì S dupc gpi là cài tua don. Khi dò, cài tua là tàp hpp hùu han càc thòi diém dupc chpn.
Dièu khién tua dupc gpi là khóng suy bién, néu S là cài tua don va | ( u ( t - 0 ) + u ( t + 0 ) ) / 2 | < l , t G T , p
Duói day, ta chi xét cài tua don va néu khóng càn thiét sé khóng nhàc lai ràng cài tua co tinh dia phuong (theo (u, x)).
Tuong ùng vói mói dièu khién tua, ta co thè xét he lién hpp (4)-(5) vói véc to thè m chièu
y = (P'^) csp (6)
Su dung thuat ngù cùa ly thuyét bién phàn, ta sé gpi dièu khién tói uu u(.) cùa bài toàn (1)
- (3) là chuàn, néu khóng tòn tai so  = 0 va véc to m chièu X^ 0, sao cho
V''(t)b(tju(t) =max I „ j < 1 V''(t) b(t)u , t G T ,
vói V'(t), t G T , là nghiém cùa he (4) va v(t*) = A ^c + G / .
Dàt H(x,V',u) = V''(fi(x) + f2(^)^)- ^^ ^^ ^^^ ^^"^ ^y ^^^
Djnh Jy ILỊ Già su { u, S } là dièu khién tua khóng suy bién, x(.),v(.)^ ^^ nghiém tuong
ùng cùa càc he (2) va (4) - (6). Khi dò. dièu kién
H(x(t),v'(t),u(t)) = max H(x(t), v'(t),u), t e T (7)
| u | < 1
là càn de u(t). t e T, là dièu khién tói uụ
Ta sé chùng minh dinh ly này ò muc 4, sau khi xày dung cóng thùc già so phiém hàm cho bài toàn co ràng buóc.
Djnh \^ IỊ2. Già su u(.) là dièu khién tói uu chuàn. Khi dò tòn tai cài tua S-_ sao cho dièu
sp
kién (7) dupc thòa man vói x(t), V'(t), t G T, là nghiém tuong ùng cùa càc he (2) va (4)- (6). Dinh ly này dupc chùng minh hoàn toàn tuong tu nhu dinh ly tuong ùng trong [56].