là xàc dinh dièu khién thòa man nguyén ly tói uụ Vi nhung ly do vat ly, ky thuat. nguòi ta eó thè su dung càc dièu khién xàp xi ràng buòc diém cuòi dang | g(x(t*}) | < e, nhung vàn phài
thòa man càc ràng buòc phạ Ta gpi dò là càc dièu khién e - xàp xị Càc dièu khién e - xàp xi
thòa man nguyén ly tói uu vói sai so £ :
H(x(t),v(t),u(t),t) = max H(x(t),V'(t),v,t) -e - '
V G U
dupc gpi là nghiém e - xàp xị
Phuong phàp tua giài bài toàn tói uu he dóng lue phi tuyén gòra ba giai doan :
a) Giai doan 1 (Giai doan bàt dàu) : Xày dung bài toàn tua dua vào cài tua dà co (hoàc xày dung cài tua bang thuat toàn phu). Bài toàn phi tuyén ban dàu dupc xàp xi bang bài toàn tuyén tinh. Chù y ràng bài toàn xàp xi phài dupc xày dung sao cho mói dièu khién chàp nhan
dupc cùa nò cho ta dièu khién e - xàp xi cùa bài toàn ban dàụ
b) Giai doan 2 (Giai doan chinh) : Giài bài toàn tua dà dupc xày dung và phàn tich nghiém cùa nò. Ta eó thè chi ra :
- hoàc nghiém cùa bài toàn tua cho ta nghiém i - xàp xi cùa bài toàn ban dàu vói e cho
truóc;
- hoàc bài toàn tua vó nghiém. khi dò bài toàn ban dàu khóng co lòi giài:
- hoàc bài toàn tua co nghiém. nhung chua phài là nghiém e - xàp xi cùa bài toàn ban dàụ
ta phai chuyén qua giai doan 3 de hoàn thién nghiém, hoac quay ve giai doan 1 de xày dung bài toàn tua móị
e) Giai doan 3 (Giai doan hoàn thién nghiém) : Dua vào dièu khién tua xàp xi (tói uu), ta xày dung he phuong trình hoàn thién. Giài he phuong trình này ta sé dupc nghiém tói uu cùa bài toàn ban dàụ
Giai doan hoàn thién nghiém là net dac trung hùu ich cùa phuong phàp tua giài bài toàn phi tuyén. Ta sé viét he phuong trình hoàn thién nghiém cho bài toàn (1) - (3) và dàn ra mot vi du so de minh hpạ
X é t h p
T3P^ = { T . , Ì G N } C T , T Ì = [ T ^ 4 T - < T ^ < T . ^ 1 , Ì G N = { 1 , . . . , P } , T ^ = 0, rp^l = t*
Ki hiéu
| = (li,ÌGK) = (Ti,ÌG N ; ^ i GNO, K = { 1 , 2 , . . . , | N | + | N . | },
Già sùx(0, t), v(^, t), t GT, là nghiém cùa càc he (2), (4) vói v(0) = tpQ, ùng vói dièu khién u(t) = cu (0,t), t G T, lién két vói e, nghia là
co (0,t) = 1 V - 1 , t G T = T \ U T: (v là ky hiéu phép tuyén logie)
"" ' ^ isU w(e,x) = v''(t) R(x(t)) /v '(t) S(x(t)), t G UTj i e N . Cóng thùc trén nhàn duoc tu càc dòng nhàt thùc 4 [V'(t)b(t)] - 0, ^ [v''(t)b(t)]-0,tGUTi dt dt^ jgN_^ vói già thiét V''S(x) > 0 (xem nhàn xét ILI ò duói),
R(x) = S(x) = • Dàt 5o (^'Y) ax =V'(ẹi ax hhì - : * ) - ax^ af] ctf-) ax ax og'(x(e, ; * Y fifi] - ' ^2 + ^)) y + [ - , ax^ af2 ax fifi] - af-) af(x(0, T)) : » Y af2 ax + [ 1 ' ^ 1 ax 6? f i ¥ i : 5*(0,y) = g(x(^,t)), 5-(^,y) =v'(^,lj)b(|-),JGK He phuong trình
5^ (e,y) = 0; Ue,y) = 0; Sj(e,y) = 0, j G K
dupc gpi là he phuong trình hoàn thién nghiém.
Nhan xét ILỊ Dièu kién Kelley (chuong I) dupc chùng minh cho he khóng co ràng buòc diém cuoị Néu già thiét càc doan dièu khién kì di khóng chùa diém cuoi, thì dièu kién Kelley vàn dùng cho bài toàn dang xét. Vi vay dièu kién v'S(x) > 0 là khà róng.
Vidu ILI : Xét bài toàn J(u) = X2(3) -»min x^=XiU;x2 = (x2-l)2,tGT = [0,3] Xi(o)=Xj(3) = 2,X2(o) = 0 Hién nhién - l , t G [ 0 , l n 2 [ u(t) = r ỌtG [ I n 2 , 3 - l n 2 [ '- l , t G [ 3 - l n 2 , 3 ] là nghiém tói uụ
Néu tu nhùng ly do thuc té, ta dà biét diéu khién tói uu là 3 pha :
- 1 , t G [ 0 . 7 ] [
U(t) = r 0 , t G [r,.T^[ L 1 , t G [r\^] .
vói H(X, V'.U) = V'i XjU + V'7(X]-1)^
V'i = - V ] U - 2 v ' 2 ( X i - 1);V'2 = - l . t G T. •
de dàng thày ràng càn chpn doan tua Ty= [TJ. T ^]. OJ (t) = 0. t G T J .
Giài he dà cho và he hén hpp cùa nò vói dièu kién Xj(0) = 2, X2(0) = 0, V'i(o) = - V'io * ^a eó he phuong trình hoàn thién nghiém
e*(^) = 2 e x p ( 3 - T i - T Ì ) - 2
k(^) = no ^^ (h) - 2 exp (-Ti) + 2
?2(^) = Vm^xp (TJ) - (2exp(-ri) -1)(1 + 2TJ - 2 T Ì ) + 1 Nghiém cùa he trén là
V'io = -1/2 , TJ = In 2 , T^ = 3 - ln2
0 -2exp(3-Ty T^) -2exp(3-T j - T ^j
^xp(T i) v'ioexp(7i)-^2exp(-Tj) 0 ,
^Wi^l) v'ioexp(Ti)-2exp(-Ti)+2 4exp(-Tj)-2 j
Dinh thùc cùa ma tr$n trén khàc 0. Néu ta chpn r ^ dù gàn In 2, thì phuong phàp Niuton
hói tụ
Nhàn xét IL2. Nói dung cùa buòc hoàn thién nghiém là giài he phuong trình phi tuyén.
Thè nhung diém khàc nhau co bàn cùa bài toàn phi tuyén 0 giai doan này vói bài toàn xuàt
phàt ban dàu là : nò co thè giài dupc bang phuong phàp Niuton. Phuong phàp này eó toc óó
hói tu rat nhanh néu xàp xi ban dàu dù gàn nghiém càn tìm.
Nhan xét IL3. Y tuòng sau xa cùa phuong phàp tua là co thè bàt dàu thuat toàn tu bàt cu
giai doan nào, tàn dung thóng tin dà biét cùa bài toàn. Vi vay, trong nhièu bài toàn thuc té, eó thè bàt dàu ngay giai doan hoàn thién nghiém. sau khi làm ró càu trùc cùa dièu khién tói uụ
è2. He eó ràng buóc phạ
Trong tiét nàỵ chùng ta nghién cùu bài toàn eó ràng buòc pha - mot trong nhùng bài toàn phùc tap nhàt cùa ly thuyét tói uu càc he dóng luẹ