cho bài toàn khóng co ràng buóc. ò day ta sé xem ràng buòc pha va ràng buóc diém cuòi dupc dua vào cóng thùc già so phiém hàm nhu thè nàọ
Xét phuong trình già so qui dao
Ax'= Ăt)Ax H- b(t)Au + ;?j , t G T = [0, t*] (g) va già so phiém hàm
Già so dièu khién Au(t), t G T, thuòng dupc chpn sao cho J/J , 1}-^ trong càc cóng thùc (8) (9)làcàedailupngvócùngbébàccaohon 1 dói vói ||Ax || (Dói vói he tuyén tinh: rj-^ = ?^ =0)
Vi vay, de don giàn càc phép bién dói, ta sé bò chùng dị Dàt Az(t) = d'Ax(t).
Vói càc thòi diém // j , i = T7s bàt kì, càc buóc nhày v-, va hàm thè ^(t), t G T , tùy y, ta co
*
s t AJ(U) = c*Ax(t*) + 2 (d'Ax(A-)- Az(/v.))v.+/ (Az(t)-d'Ax(t))f(t)dt
1 = 1 0
I
Gpi F(t), t G T, là nghiém cùa phuong trình F = A F . F(0) = E - ma tran don vi càp n).
Ta thuòng su dung F(t,r) = F(t)F"^(T), F(t,T) = 0, t < T,và gpi nò là ma tran nghiém zo bàn
phàn thuàn nhàt cùa (8).
Su dung cóng thùc Cosi, ta co '
*
t S S /£{
Aj(u) = c7F(t*,T)b(r)Au(T)dT.lAz(/^:)v. + I d W F ( ;V:.T)b(T)Au(T)dTV. 0 1=1 » » 1 = 1 Q J * * t t t - / d7F(t.T)b(r)Au(T)dT.?(t)dt + fA z(t)f(t)dt 0 0 ò . t s ^ = c 7 F ( t ' . 7 ) b ( T ) A u ( T ) d T : 2 : A z ( / . - ) v , + / I d ^ F ( ^•,T)b(T)Au(T)d^V- 0 . * '=^ . O Ì G Q ( t ) t t t - / d7F(t,T)^(t)dtb(T)Au(r)dr + ; A Z(t)|(t)dt . 0 T 0 Trong dò Q(t) = {i =T7s:/Vj >t }. t * DatvXt) = -cT(t*,t)- 2 d'F( //i,t)v.+/ dT(T,t)|(r)dr i G fì(t) t t* S t*
Ta eó AJ(U) = -5xiJ{i)h{i) Au(t) dt - 2Az(//-) v- + / Az(t) f (t) dt (10)
0 i = 1 0
Suy rav'(t*) - " ^'
t *
vX/^,) = - c T ( t * , / . . ) - I d'Vi-/dT(r,/.i)|(T)dr
«''(«iì-vXci + Ol-dVi t * , - d ' ^ ( t ) + / d T ( r j ''F-l(t)Hr)dT , dt = -c'F(t*)F-l(t)Ăt) + S dT(/.i)Fl(t)Ăt)Vi t* - d ' l ( t ) >/dT(r)F-l(t)Ăt))|(T)dT
Phuong trình cho hàm hén hpp co dang V'Xt) = - V ' X t ) A ( t ) - d ' H t )
Cóng thùc (10) dupc su dung trong càc bài toàn co ràng buóc phạ De tinh tòi ràng buóc diém cuoi GAx(t ) = 0 , ta bién dói già so phiém hàm bàt dàu tu cóng thùc
AJ(u) = (c'.ýG)Ax(t*),
trongdóy là véc to thè ràng buòc diém cuòị Khi dó(lO) vàn khóng thay dói, nhung trong cóng thùc cùa v'(t) thay cho e* sé xuàt hién é - ýG.
Vói càc ràng buóc diém cuòi dang GAx(t ) = g, dupc xàp xi tu ràng buóc phi tuyén g(x(t )) = 0 . ta thuòng già thiét g là xàp xi vó cùng bé bac cao hon 1 dói vói Ax(t* ). Khi dò, cóng thùc già so pniém hàm vàn khóng thay dóị