J(u) = ^x(t*)) - min (11)
i = fj(x) + f2(x)u , t ^ = [0. t*], x(0) = XQ (12)
g(x(t*) = 0 (13) d(x(t))< 0 , t G T (14)
Dinh nghia IL3. Hàm vó huòng lién tue tùng doan u = u(t), |u(t) | <1, dupc gpi là dièu
khién chàp nhàn dupc, néu thòa man càc ràng buóc (13), (14).
So chièu và tinh trOn cùa càc véc to và hàm cho ò day dupc già thiét nhu ò tiét 1. d(.) là
2. Tinh diéu khién dupc và cài tuạ Trong tiét 1 ta dà dua ra dinh nghia cài tua ràng buóc. ò day ta sé minh hpa ró hon vai trò cùa cài tua trong viéc duy tri càc dièu kién pha, dièu kién bién và mói quan he giùa càu trùc cùa cài tua và càu trùc cùa dièu khién tói uụ
Già su (u,x) là dièu khién và qui dao chàp nhan dupc cùa he (12) - (14). Xét dièu khién co già so ù(t) = u(t) + ^ ( t ) , t G T vói qui dao tuong ùng cùa he (12) là x(t) = x(t) •fAx(t), i G T.
Cap già so Au(t), Ax(t), t G T , dupc gpi là chàp nhan dupc, néu ù(t), x(t), t G T , là chàp nhàn duoc. Ta eó
f Ax(t) = Ăt)Ax(t) + b(t)Au(t) + 77(t) , t ^
IAX(O) = 0 vói vói afi(x(T)) af2(x(r)) ax ax b ( t ) = f2(x(t)) af2(x(T)) rj(i)= ^' Ax(t)Au(t) + 0 ( | | A x | | ) . t 6 T ax g(x(t ) + Ax(t )) = 0 d(x(t) + Ax(t*)) < 0 , t G T |u(t) + Au(t) I < l , t G T
Ta gpi he sau day
z = Ăt)z + b(t)v, z(o) = 0 là he tuyén tinh hòa cùa he (12).
Xét t$p con T c T , gbm càc doan con T| = [T-, T^], T- < T' < T-^J, ÌGN = {l,...,p}
Ki hiéu
n p = ^u^^,T„, = T\TV D(t) = ad(x(t)) D(t) = ad(x(t)) ax , t ^ , ag'(x(t*)) ax Già su rank | G^|= m < n. Dàt?(t) = D(t)z(t), t ^ i , i e N . ; ?(r,) = D(rj)z(Ti), i eN^;? = G(t*)z(t*)
Djnh ngliTa IỊ4. He dóng lue (12) duOc gpi là dièu khién duoc dia phuong dói vói véc to
i, và hàm ^(t) trén T , néu vói mói ho càc hàm lién tue, tron tùng doan /3j(t), t ^ j , i eN, và càc
véc to (Jj, i eNp), g eR™, dèu tòn tai hàm lién tue tùng doan v(t), t eT, sao cho nghiém z(t), t ^ , tuong ùng cùa he tuyén tinh hóa cùa nò, thòa man càc dàng thùc sau
m = fii(x), t ^ i , i e N , ; UT-) = ^,, i eN,, ; ^ = i
Già thiét D(t)b(t)5^ 0, t e T^p. Ki hiéu Ăt) = Ăt),v(t) = v ( t ) . t e T np Ăt) = S(t)Ăt) - b(t)D(t) D(t)b(t) S(t) = E b(t)D(t) D(t)b(t)
Gpi <l>(t,r) là ma tr$n nghiém co bàn cùa he z = Ăt)z. Ta co dinh ly sau [56] :
Djnh ly 113. He (12) dièu khién dupc dia phuong dói vói véc to l và hàm 5(t) trén T khi
và chi khi tbn tai ho t^p = { tj, j G J* }, x- eT^^= T \ u T j , |N | -f m = |J* |, sao cho det P ^
0, vói i G N r G<l<t,t.)b(tj),JGj. Psp = y-K-y D(ri)<I<Ti,tpb(tp,jeJi;0;JGJAJi i e N Jj = {JG J, : t j < Tj}.
Dinh ly này dupc chùng minh bang càch dua bài toàn xàc dinh tinh diéu khién dupc ve bài toàn xàc dinh tinh giài dupc cùa he phuong trình dai sd, su dung cóng thùc Cosị
Djnh nghia IỊ5. Càp S^p = { T^p, t^p } dupc gpi là cài tua (dia phuong) cùa ràng buóc cùa bài toàn (11) - (14), néu det P^p ^«^0 Cap { u, S } gòm dieu khién chàp nhàn dupc và cài tua cùa ràng buóc dupc gpi là dièu khién tuạ
Dièu khién tua { u, S } dupc gpi là khóng suy bién, néu a)|(u(tj. + 0) + u ( t . - 0 ) ) / 2 | < l , j G J»
b) d(x(t)) < 0, t ^ \ T , p
e) Trén T dàng thùc | u(t) | = 1 chi co thè xày ra tai mot so hùu han càc diém co làp. Và néu I U(T-) I = . 1 ( I U(T *) I = 1), thì tòn tai so tu nhién p- > 1 (p^ > 1), sao cho dPi U(T-)/ dtPi^O (dP^Vc^tP^'^O).
3. Dféu kién càn tò'i Uụ Già su { u, S^p } là dièu khién tua, V'(t), t ^ là nghiém cùa he hén hpp
^ - - A X t ) v ( t ) - D ' ( t ) | ( t ) (15) vói dièu kién diém cuoi
V'(t ) = G'y - e, e = (lo) dx m- và càc buóc nhày ^ ( , i ) =V'(T^ + 0 ) - D ' ( T y rp{Ì - 0) = V(T* ) - D'(TÌ)V. , i GN (17)
Nghiém v(t), t GT, cùa he (15) dupc gpi là dói qui dao, hàm Ăt) = v'(Ot>(t), t GT, dupc gpi là dói dféu khién, hàm |(t), t GT, là hàm thè cùa ràng buóc pha, véc to y là véc to thè cùa ràng buòc diém cuoi và càc so v-, v\ i GN, là càc buòc nhày cùa dói qui daọ
Càc tham so trén dupc gpi là lién két cài tua S^p, néu
m - 0 , t G T , p
Ăt) = 0 , t G T i , Ì G N (18) Ătj) = 0 j G J*
Ta eó dinh ly sau
Djnh 15^ IL4. Già su { u, S } là dièu khién tua khóng suy bién, u(t), t G T, là tói uu, x(t),
t GT, là qui dao tuong ùng cùa he (12). Khi dò tòn tai càc hàm f (t), v(t), t G T, véc to y và càc buóc nhày Vj, v', i G N , hén két cài tua S sao cho hàm Haminton H(x, v, u) = vX^iC^) "*" ^2^^)") dat già tri cuc daị
H(x(t),v(t), u(t)) = max H(x(t),v(t), u), t G T (19) I u | < 1
Chufng minh. Ta eó cóng thùc già so phiém hàm (10) vói phuong trình lién hpp dang (15)
và càc dièu kién (16), (17).
Theo già thiét : { u, S } là dièu khién tua khóng suy bién, nén ta eó thè chpn
(y,-Vj,ieN) = (c'*(t*,t.)bO),jeJÓP-'sp (20) Giài he phuong trình
V v = - ^ ( t ) ¥ ^ , v%(t*) = G ' y - c (21) V.(vO) = v.(Tj)-D'(Ti)v,.ieN
Ta eó mói quan he giùa v'(t),V'*(t) duoc the hién bòi cóng thùc
v(t) = v^(t). t e ]T',TJ + ,[ V.'(t) = v'.(t) S(t), t e [Tj.T^JieDTp (22) vói V.=Vj-v.'(ri + 0)b(rj)/D(ri)b(Ti) v' = V^'(T' +0)b(T')/D(T')b(T'),ieN Chpn -V-'(t)(Ăt)b(t)-b(t)) ^^ D(t)b(t) |(t) = 0 , t e T „ p ta co càc dàng thuc (18).
•
Tu càc cóng thùc trong chùng minh trén, ta phàt biéu dinh ly ò dang manh hon:
Dinh ly 11,5. Già su { ụ S^p} là dièu khién tua khóng suy bién, u(t). t GT. là tói uu, x(t). t
G T, là qui dao tuong ùng cùa he (12), v'(t) dupc tinh qua (21) (22), khi dò dièu kién (19) dupc thòa man.
§3. Bài toàn tàc dóng nhanh