VII. ÂP DỤNG CƠNG THỨC MASON VĂO SƠ ĐỒ KHỐI.
TIÍU CHẨN ỔN ĐỊNH ROUTH
Tiíu chuẩn Routh cĩ thể xâc định tính ổn định của hệ mă phương trình đặc trưng đến bậc n.
ansn + an-1sn-1 + ….. + a1s + a0 = 0
Tiíu chuẩn năy được âp dụng bằng câch dùng bảng Routh định nghĩa như sau : sn anan-2an-4 … …
. b1b2b3 … … . c1c2c3 … … . . . . … …
Trong đĩ an , an-1 , …… , a0 lă câc hệ số của phương trình đặc trưng, vă :
b1≡ an− 1anan− 2 −anan− 3
− 1 b2≡ an− 1anan− 4 −anan− 5
− 1 ....v...v
c1≡ b1an− 3b−1an− 1b2c2≡ b1an− 5b−1an− 1b3...v...v
Bảng được tiếp tục theo chiều ngang chiều dọc cho đến khi được toăn zero.
Tấc cả nghiệm của phương trĩnh đặc trưng cĩ phần thực đm nếu vă chỉ nếu câc phần tử ở cột thứ nhất của bảng Routh cĩ cùng dấu (khơng đổi dấu). Nĩi câch khâc số nghiệm cĩ phần thực dương bằng với số lần đổi dấu.
* Thí dụ 6 -6 : Hệ thống cĩ phương trình đặc trưng s3 + 6s2 + 12s + 8 = 0 Xĩt tính ổn định Bảng Routh : s3 1 12 0 s2 6 8 0 s1 646 0 s0 8
vì khơng cĩ đổi dấu ở cột thứ nhất, nín tất cả câc nghiệm của phương trình đặc trưng đều cĩ phần thực đm. Vậy hệ ổn định.
* Thí dụ 6 -7 : Phương trình đặc trưng của một hệ thống lă : s3 + 3s2 + 3s + 1 + k = 0
Bảng Routh : s3 1 3 0 s2 3 1+k 0 s1 8 −3k 0 s0 1+k
Để hệ ổn định, cần cĩ sự khơng đổi dấu ở cột 1. Vậy câc điều kiện lă : 8-k > 0 vă 1+k > 0
vậy phương trình đặc trưng cĩ câc nghiệm với phần thực đm nếu : -1 < k < 8
* Thí dụ 6 -8 : Lập bảng Routh vă xâc định số nghiệm cĩ phần thực dương của phương trình đặc trưng
2s3 + 4s2 + 4s + 12 = 0 Bảng Routh :
s3 24 0 Hăng s2 được chia 4 trước khi s2 1 3 0 tính hăng s1. Hăng s1 được chia s1-1 0 2 trước khi tính hăng s0
s0 3
Vì cĩ hai lần đổi dấu ở cột 1, nín phương trình trín cĩ hai nghiệm cĩ phần thực dương. * Thí dụ 6 -9 : Xĩt tính ổn định của hệ thống cĩ phương trình đặc trưng :
s4 + s3 - s - 1 = 0 Bảng Routh : s4 1 0 -1 0 s3 1 -1 0 0
s2 1 -1 0 s1 0 0 s0 -1
Hệ số ở hăng s0 được tính bằng câch thay 0 ở hăng s1 bằng ?, rồi tính hệ số của hăng s0 như sau :
ε( − 1) − 0
ε = − 1
Cần phương câch năy khi cĩ một zero ở cột một. Vì cĩ một lần đổi dấu ở cột một, nín phương trình đặc trưng cĩ một nghiệm cĩ phần thực dương. Do đĩ, hệ thống khơng ổn định.