VII. ÂP DỤNG CƠNG THỨC MASON VĂO SƠ ĐỒ KHỐI.
KHAI TRIỂN PHĐN BỐ TỪNG PHẦN (Parial Fraction expansion)
Cĩ thể tìm đâp ứng xung lực của một hệ thống bằng câch lấy biến đổi laplace ngược hăm chuyễn của hệ.
Vă để khơng phải dùng đến tích phđn biến đổi laplace ngược.
f(t) = 2πj1 c+∫j∞
c−j∞F(s)estdt
ta cĩ thể dùng phương phâp khai triển phđn số từng phần Xem hăm chuyển G(s) = C(s)/ R(s). (6.1)
Trong đĩ, C(s) vă R(s) lă những đa thức theo s. Giả sữ R(s) cĩ bậc lớn hơn C(s). Đa thức R(s) gọi lă đa thức đặc trưng vă cĩ thể viết:
R(s) = sn + a1sn-1 +....+an-1s +an. (6.2) Trong đĩ, a1,...an lă những hệ số thực.
Những nghiệm của phương trình đặc trưng R(s) = 0 cĩ thể lă thực, hay những cặp phức liín hợp đơn hay đa cấp (cĩ lũy thừa hay khơng).
Ta xem trường hợp những nghiệm năy thực vă đơn cấp, phương trình (6.1) cĩ thể được viết:
G(s) = CR((ss)) = (s+s C(s)
Trong đĩ, -s1, -s2,....-sn lă những nghiệm của phương trình đặc trưng zero của R(s) hay lă những cực của G(s). G(s) = ks1 s+s1 + ks2 s+s2 + ....+ ksn s+sn (6.4)
Những hệ số Ksi (i=1, 2, 3,...n) được xâc định bằng câch nhĩm 2 vế của (6.3) hoặc (6.4) cho (s+si) rồi đặt s = -si.
Thí dụ, để tìm hệ số Ks1, ta nhĩm cả hai vế (6.3) cho (s+s1) vă đặt s = -s1.
KS1=[(s+s1)RC((ss))]S= −S1= (s C( −s1)
2 −s1)(s3 −s1)....(sn−s1) (6.5) * thí dụ 6.2: xem hăm chuyển của một hệ thống.
G(s) = (s+ 1)(5s + 3s+ 2)(s+ 3) (6.6).
Hêy tìm đâp ứng xung lực của hệ.
Trước hết, ta âp dụng kỹ thuật khai triển phđn số từng phần.
G(s) = Ks+ 1− 1 + Ks+ 2− 2 + Ks+ 3− 3 (6.7)
câc hệ số K-1, K-2, K-3 được xâc định như sau:
K− 1=[(s+ 1)G(s)]S= − 1= ( − 1 + 2)( − 1 + 3)5( − 1) + 3 = − 1
K− 2=[(s+ 2)G(s)]S= − 2= ( − 2 + 1)( − 2 + 3)5( − 2) + 3 = 7
K− 3=[(s+ 3)G(s)]S= − 3= ( − 3 + 1)( − 3 + 2)5( − 3) + 3 = − 6 Vậy (6.7) trở thănh:
G(s) = s− 1+ 1 + s+ 27 + s− 6+ 3 (6.8).
Bđy giờ ta cĩ thể dùng bảng biến đổi để tính đâp ứng xung lực của hệ thống. g(t) =L-1[G(s)].
g(t) = -L-1[ 1
s+ 1]+7L-1[ 1
s+ 2]-6L-1 [ 1
s+ 3](6.9) g(t) = -e-t + 7e-2t -6e-3t. (6.10)
* Thí dụ 6.3: băi tôn tương tự như trín, với hăm chuyển như sau:
G(s) = (s+ 1)(s2 + 9s + 19s+ 2)(s+ 4) (6.11) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
G(s) = 3(s11+ 1) − 2(s5+ 2) − 6(s1+ 4) (6.12) g(t) = 113 e-t - 52e-2t - 16e-4t. (6.13) * Thí dụ 6.4: G(s) = 1 (s+ 1)2(s+ 2) Khai triển phđn số từng phần: G(s) = sK+ 111 + K12 (s+ 1)2+ sK+ 221 K11= dsd[(s+ 1)2G(s)]S= − 1= dsd[ 1 s+ 2]S= − 1= − 1 K12=[(s+ 1)2G(s)]S= − 1= 1 K21=[(s+ 2)G(s)]S= − 2= 1 ⇒G(s) = − s+ 11 + 1 (s+ 1)2 + s+ 21
Biến đổi Laplace ngược : g(t) = - e-t + t e-t + e-2t.