VII. ÂP DỤNG CƠNG THỨC MASON VĂO SƠ ĐỒ KHỐI.
HÌNH TRẠNG THÂI.
Đồ hình truyền tín hiệu mă ta đê nĩi ở chương 3 chỉ âp dụng cho câc phương trình đại số. Ở đđy, ta sẽ đưa văo câc phương phâp đồ hình trạng thâi, như lă một sự mở rộng cho đồ hình truyền tín hiệu để mơ tả câc phương trình trạng thâi ,vă câc phương trình vi phđn. Ý nghĩa quan trọng của đồ hình trạng thâi lă nĩ tạo được một sự liín hệ kín giữa phương trình trạng thâi, sự mơ phỏng trín mây tính vă hăm chuyển.
Một đồ hình trạng thâi được xđy dựng theo tất cả câc qui tắc của đồ hình truyền tín hiệu. Nhưng đồ hình trạng thâi cĩ thể được dùng để giải câc hệ tuyến tính hoặc bằng giải tích hoặc bằng mây tính.
Trở lại mạch RLC ở ví dụ 4.3. Để diễn tả đồng lúc 3 phương trình (4.44) (4.45), (4.46), ta cĩ thể dùng giện đồ hình trạng thâi như hình H.4_4 sau đđy :
H.4_4
Ở đĩ, 1/s chỉ một sự lấy tích phđn.
Dùng cơng thức Mason về độ lợi tổng quât, ta cĩ hăm chuyển:
V0(S)
R(S) = R/LCS2
1 + (R/LS) + (1 /LCS2) = R/LC
S2 + (R/L)S+ 1 /LC (4.48)
Nhưng rủi thay, hầu hết câc mạch điện, câc hệ thống điện cơ hay những hệ điều khiển đều khơng đơn giản như mạch RLC trín đđy, vă thường khĩ xâc định một tập hợp câc phương trình vi phđn cấp 1 diển tả hệ thống.Vì vậy, để đơn giản hơn ,ta thường chuyển hĩa kiểu mẩu trạng thâi từ hăm chuyển.
Một câch tổng quât một hệ được mơ tả bằng hăm chuyển như sau:
G(S) = CR((SS)) = Sm+bm− 1Sm− 1 + ...+b1S+b0
Sn+an− 1Sn− 1 + ...+a1S+a0 (4.49)
Ởû đĩ n>=m vă mọi hệ số a đều thực dương. Nếu nhđn tử vă mẫu cho S-n ta được:
G(S) = S
− (n−m) +bm− 1S− (n−m+ 1) + ...+b1S− (n− 1) +b0S−n
1 +an− 1S− 1 + ...+a1S− (n− 1) +a0S−n (4.50)
Cơng thức Mason quen thuộc giúp ta thừa nhận dễ dăng rằng tử số lă tổng độ lợi trực tiếp, vă mẫu số lă tổng độ lợi vịng hồi tiếp.
Ta viết lại cơng thức Mason.
T= RC((SS)) = ∑i piΔΔi (4.51)
Nếu tất cả câc vịng hồi tiếp đều chạm nhau vă tất cả câc đường trực tiếp đều chạm vịng hồi tiếp thì (4.51) thu lại
T= 1 − ∑∑i Pi
j Pj1 = 1 −Toơng đoơ lợi các đường trực tiêpToơng đoơ lợi các vòng hoăi tiêp (4.52) Thí dụ 4.4 :
• Trước hết xem hăm chuyển của hệ thống cấp 4:
G(s) = CR((ss)) = b0
s4 +a3s3 +a2s2 +a1s+a0 (4.53)
G(s) = CR((ss)) = b0s
− 4
1 +a3s− 1 +a2s− 2 +a1s− 3 +a0s4
Vì hệ thống cấp 4, ta sẽ định nghĩa 4 biến trạng thâi (x1,x2,x3,x4). Gợi ý từ cơng thức Mason, ta cĩ thể thây rằng mẫu số của (4.53) cĩ thể được xem như lă 1 cộng với độ lợi vịng, vă tử số của hăm chuyển thì bằng với đợ lợi đường trực tiếp của đồ hình. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Đồ hình trạng thâi phải dùng số lần lấy tích phđn bằng với cấp số của hệ thống. Vậy cần lấy tích phđn 4 lần. H.4-5 Ghĩp câc nút lại. Nhớ rằng Ta cĩ đồ hình trạng thâi của (4.53) H.4_6 Thí dụ 4.5 :
• Bđy giờ ta xem hăm chuyển cấp 4 khi tử số lă một đa thức theo S:
G(s) = b3s3 +b2s2 +b1s1 +b0
s4 +a3s3 +a2s2 +a1s+a0 (4.54)
G(s) = b3s− 1 +b2s− 2 +b1s− 3 +b0s
− 4
1 +a3s− 1 +a2s− 2 +a1s− 3 +a0s4 (4.55)
Tử số của G(s) lă tổng độ lợi câc đường trực tiếp trong cơng thức Mason. Đồ hình trạng thâi (ĐHTT) vẽ ở hình H.4_7. Trong đĩ độ lợi câc đường trực tiếp lă b3/s; b2/s2; b1/s3 vă b0/s4.
H.4_7
Từ ĐHTT, ta suy ra một tập hợp phương trình vi phđn cấp 1, diễn tả trạng thâi của hệ:
Ngoăi ra, phương trình output lă
C(t) = b0 x1 + b1 x2 + b2 x3 + b3 x4 (4.57) Từ đo,ù dưới dạng ma trận, ta cĩ: X=AX+Br d dt[ x1 x2 x3 x ]= [ 0 0 0 −a0 1 0 0 − a1 0 1 0 −a2 0 0 1 − a3 ][ x1 x2 x3 x4 ]+[ 0 0 0 1 ]r(t)(4.58) vă output lă:
C(t) =DX+Er(4.59)
C(t) =[ b0 b1 b2 b3 ][ x1 x2
x3
x4 ](4.60)
• Lưu ý: Để diễn tả phương trình (4.54), ĐHTT vẽ ở hìmh H.4_7 khơng phải lă duy nhất. Ta hêy xem hình H.4_8.
H.4_8a
Từ ĐHTT ở hình H.4_8a, ta cĩ một tập hợp phương trình trạng thâi :
C(t) =x1t
Để viết phương trình (4.61a), ta hêy tham khảo hình H.4_8b. Giữa hai nút vă , ta thím một nút mới x2. Câc phương trình khâc cũng lăm tương tự.
Đồ hình H.4_8a trình băy cùng một hăm chuyển như đồ hình H.4_7. Nhưng câc biến trạng thâi của mỗi đồ hình thì khơng giống nhau.
Thí dụ 4.6 :
• Ta hêy xem một hệ thống điều khiển như hình H.4_9 cĩ thể dùng ĐHTT để xâc định trạng thâi của hệ.
H.4_9
Hăm chuyền vịng kín của hệ :
C(s)
R(s) = 2s2 + 8s + 6
s3 + 8s2 + 16s+ 6 (4.64)
Nhđn tử vă mẩu với s-3 : (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
C
R = 2s − 1 + 8s − 2 + 6s − 3
1 + 8s − 1 + 16s− 2 + 6s − 3 (4.47)
Đồ hình ,trạng thâi cho bởi hình H.4_10 H.4_10
Từ đồ hình suy ra câc phương trình trạng thâi. Vă phương trình output :
C(t) = 6x1 + 8x2 + 2x3 (4.67) Dưới dạng ma trận : X=[ 0 0 − 6 1 0 −16 0 1 − 8 ]X+[ 0 0 1 ]r(t)(4.68) Vă C(t) =[ 6 8 2 ]X(4.69) Với X=[ x1 x2 x3 ]X=[ x1 x2 x3 ]