Phƣơng trình Laplace đối với thế vận tốc

2. CƠ SỞ LÝ THUYẾT TÍNH TỐN SỐ LỰC KHÍ ĐỘNG

2.1.1. Phƣơng trình Laplace đối với thế vận tốc

Trong giả thiết dịng khơng nén, phương trình chuyển động của chất lỏng là hệ các phương trình liên tục và phương trình động lượng.

a. Phương trình liên tục

Phương trình liên tục dạng vi phân của chất lỏng chuyển động được viết như sau [3]:

. . 0

t 

     

 v v (2.1)

trong đó, v là véc tơ vận tốc,  là khối lượng riêng, t là thời gian.

Trong trường hợp dịng dừng và khơng nén, phương trình (2.1) được viết:

. 0

v  (2.2)

b. Phương trình động lượng

Phương trình động lượng dạng vi phân của chuyển động chất lỏng thực được Navier và Stokes viết dưới dạng sau [3]:

2

d 1

p ( . )

d t 3

 v      f v    v (2.3)

trong đó, p là áp suất, f là véc tơ ngoại lực tác dụng, và  là độ nhớt động lực học. Các toán tử vi phân bậc nhất grad và div đối với vận tốc và áp suất được xác định:

u v w . div x y z            v v p p p p grad p x y z          i  j  k

Trong trường hợp dịng khơng nhớt, phương trình (2.3) có dạng là phương trình Euler:

d

p d t

 v    f (2.4)

c. Phương trình Laplace đối với thế vận tốc

Hàm thế vận tốc Φ là hàm được xác định như sau:

Φ   

v (2.5)

Áp dụng phương trình liên tục (2.2) đối với dịng khơng nén và thế biểu thức (2.5), nhận được phương trình Laplace đối với thế vận tốc:

13

2

Φ 0

  (2.6)

Phương trình (2.6) là phương trình vi phân đạo hàm riêng bậc hai đối với thế vận tốc. Nều biết Φ , các thành phần vận tốc u, v, w có thể xác định được nhờ biểu thức (2.5). Phương trình Laplace đối với thế vận tốc (2.6) là cơ sở để thiết lập các biểu thức tính vận tốc trong các phương pháp kì dị.

d. Điều kiện biên và điều kiện xa vô cùng

Điều kiên biên trên mặt cánh là điều kiện biên trượt áp dụng cho bài tốn dịng lý tưởng:

Φ . 0

 n  (2.7)

trong đó, n là vectơ pháp tuyến đơn vị.

Điều kiện biên trượt áp dụng cho bài tốn dịng lý tưởng thành khơng thấm. Tùy từng loại kì dị được sử dụng, có thể áp dụng điều kiện ngoại biên Neumann hoặc điều kiện nội biên Dirichlet.

Điều kiện xa vơ cùng được xác định theo điều kiện dịng không nhiễu động như sau:

( Φ v n). 0 (2.8)

trong đó, v là vận tốc tương đối giữa dịng ở vơ cùng và vật thể hay có thể coi đó là vận tốc tại vô cùng khi xét theo hệ quy chiếu chuyển động cùng với vật thể.

Trong các bài tốn tính tốn cánh có chiều dày, bất đối xứng về hình học và động học, cần thiết phải áp dụng điều kiện Joukowski tại mép ra của cánh, hoặc điều kiện Joukowski – Kelvin đối với bài tốn dịng khơng dừng.