Biện pháp 7: Xây dựng hệ thống bài tập để nâng cao kỹ năng

bài tập của HS.

a) Cơ sở của biện pháp

Theo Nguyễn Bá Kim: "Thông qua giải bài tập, HS phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học, những hoạt động trí tuệ chung và những và những hoạt động ngôn ngữ".

Mặt khác, ở trường phổ thông "dạy toán là dạy hoạt động toán học" và có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học đối với HS. Các bài tập toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp HS nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, hình thành kỹ năng kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn.

Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đích dạy học toán ở trường phổ thông, được thể hiện thông qua các chức năng của bài tập toán là: Chức năng dạy học, chức năng giáo dục, chức năng phát triển và chức năng kiểm tra. Chúng tôi cho rằng khi dạy HS giải bài tập toán GV cần khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của mỗi bài tập trong SGK.

Có thể hiểu chức năng dạy học của bài tập toán như sau: Bài tập toán nhằm củng cố ôn tập hệ thống kiến thức lý thuyết, hoàn thiện các kiến thức cơ bản, nâng cao lý thuyết trong chừng mực có thể, giúp cho HS nhớ và khắc sâu những lý thuyết đã học.

Bài tập toán còn có chức năng phát triển vì thông qua hoạt động giải bài tập toán HS được rèn luyện các thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của tư duy, bồi dưỡng cho HS phương pháp chứng minh toán học.

b) Nội dung biện pháp

Với từng nội dung kiến thức cụ thể, GV nên hướng dẫn HSYK giải một số dạng toán cơ bản có liên quan đến chủ đề đó. Với mỗi dạng toán cơ bản GV cần tập luyện cho HS các thao tác tư duy và kỹ năng cơ bản phù hợp với đối tượng HS và phù hợp với yêu cầu của nội dung kiến thức.

Bên cạnh đó với mỗi chủ đề GV nên đưa ra hệ thống bài tập vừa sức để HS luyện tập, khắc sâu tri thức, tạo được niềm tin và hứng thú học tập

c) Những chú ý khi vận dụng và ví dụ

Khi dạy bài tập về vectơ, chúng tôi cho rằng cần chú ý rèn luyện cho HS một số kỹ năng sau:

- Kỹ năng phân tích vectơ thành một tổ hợp của các vectơ khác, chủ yếu là phân tích một vectơ thành tổng hai vectơ, thành hiệu hai vectơ.

- Kỹ năng chuyển đổi ngôn ngữ toán học thông thường trong bài toán sang ngôn ngữ vectơ.

- Kỹ năng dùng vectơ để chứng minh những tính chất, định lý (mà HS đã được học hoặc chưa biết) trong hình học…

- Rèn luyện cho HS kỹ năng phân tích, tổng hợp, khái quát hoá các bài toán. Những ví dụ sau đây sẽ cụ thể những điều đã nói ở trên.

Ví dụ 1: Dạy giải bài tập.

Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng AB + CD = AD + CB (SGK - tr. 9).

Thực tiễn dạy học cho thấy lần đầu khi gặp bài tập này đa số HS thường vẽ tứ giác ABCD, rồi nối AB, CD, AD, CB và cảm thấy khó tìm cho mình một lời giải bài toán, khi đó GV cần hỗ trợ cho HS kịp thời.

Bài tập này được ra ngay sau khi học xong phép cộng các vectơ, khi đó để củng cố bài học đồng thời giúp HS làm quen với phép chứng minh một đẳng thức vectơ. GV có thể dẫn dắt cho HS như sau:

Hoạt động 1:

- Hãy sử dụng quy tắc ba điểm, biến đổi các vectơ có mặt ở vế trái làm xuất hiện các vectơ có mặt ở vế phải (hoặc ngược lại)

Chẳng hạn: AB = AD + BD.

Hoạt động 2:

Khi HS đã được học phép trừ hai vectơ có thể ra lại cho họ bài tập này, HS được tập luyện quy tắc phân tích một vectơ thành hiệu của hai vectơ có chung điểm đầu, hoặc biến đổi tương đương để dẫn đến một đẳng thức đúng… Qua đó thấy được mối quan hệ giữa phép toán cộng và trừ vectơ, vận dụng linh hoạt các quy tắc vào việc chứng minh các đẳng thức vectơ.

Chẳng hạn, GV có thể gợi động cho HS như sau:

"Các em đã có một cách là dùng quy tắc ba điểm để chứng minh bài toán này, liệu có thể dùng các cách khác để chứng minh được không? "

Hoạt động 3:

- Nếu xem mỗi vectơ trong đẳng thức cần chứng minh là hiệu của hai vectơ có chung điểm đầu, hãy đề xuất một cách chứng minh khác.

Câu trả lời mong đợi: Với điểm O bất kỳ, ta có:

AB + CD = (OB -OC) + (OD - OA) = CB + AD

= AD + CB.

Hoạt động 4: (yêu cầu HS trình bày một cách chứng minh khác)

- Đẳng thức cần chứng minh tương đương với đẳng thức nào ? (AB + CD - AD - CB = O)

Khi đó GV có thể gợi động cơ hướng đích, như sau:

- Có những cách nào để chứng minh một đẳng thức vectơ không? Hãy chứng minh đẳng thức trên.

Trong ví dụ trên HS đã được tập luyện kỹ năng phân tích một vectơ thành tổng (hiệu) của hai vectơ nhờ các quy tắc đã được học như quy tắc ba điểm, quy tắc hiệu hai vectơ có chung điểm đầu. Tri thức cần thiết ở đây chính là tri thức về phép cộng trừ vectơ, tri thức phương pháp đạt được trong ví dụ này là HS nắm được cách chứng minh một đẳng thức vectơ.

Trong quá trình dạy học phần vectơ, GV cần thường xuyên cho HS được tập kỹ năng "phiên dịch" từ ngôn ngữ này sang ngôn ngữ khác như:

- Hai đường thẳng song song: AB // CD  AB = k. CD. - Ba điểm A, B, C thẳng hàng: AB = kAC.

- Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k  0: MA = k.MB. - Hai đường thẳng AB và CD vuông góc với nhau: AB.CD = 0…

Vectơ có nhiều ứng dụng trong vật lý, kỹ thuật, do đó công cụ vectơ một mặt tạo điều kiện thực hiện mối quan hệ liên môn ở trường phổ thông, mặt khác giúp HS thấy được những ứng dụng của nó trong thực tiễn cuộc sống.

Ví dụ 2. (Bài 6 - tr.10, SGK)

Cho hai lực đều có độ lớn là 100N, có điểm đặt tại O và tạo với nhau góc 600. Tìm cường độ lực tổng hợp của hai lực ấy?

GV có thể tổ chức cho HS các hoạt động sau:

GV gợi động cơ mở đầu như sau: "Quy tắc hình bình hành thường được áp dụng trong vật lý, bài tập sau đây cho ta thấy điều đó".

Hoạt động 1:

- Trong bài tập này, có thể xem như hai lực F1, F2 cùng tác động vào một vật tại điểm O nào đấy. Hãy xác định hợp lực của hai lực ấy.

HS dễ dàng xác định được hợp lực của hai lực F1, F2 chính là lực F được xác định theo quy tắc hình bình hành: F = F1 + F2.

Thực tiễn dạy học cho thấy, dù xác định được đúng lực tổng hợp của hai lực F1, F2 xong HS thường mắc phải sai lầm khi tính cường độ lực tổng hợp F, họ thường lập luận như sau:

F = F1 + F2 = 100 + 100 = 200 (N)

Khi đó GV cần làm cho HS thấy được cường độ của lực F chính là độ dài của vectơ OF, cũng chính là độ dài đoạn thẳng OF.

Hoạt động 2:

- Cường độ của lực F là độ dài của vectơ OF, hãy tính OF.

- Từ giả thiết, có nhận xét gì về hình bình hành OF1FF2, từ đó hãy tính OF.

Hoạt động 3: (Hoạt động thể chế hoá của GV).

"Như vậy, trong vật lý, một lực thường được biểu thị bởi một vectơ, độ dài của vectơ biểu thị cho cường độ của lực, hướng của vectơ biểu thị cho

O F

1

F F2

hướng tác động của lực. Điểm đầu của vectơ đặt ở vật chịu tác động của lực, vật đó thường được xem như một điểm".

Tóm lại, trong quá trình dạy học chủ đề vectơ, nên cho HS tập luyện hoạt động tìm lực tổng hợp của các lực và giải thích một số hiện tượng vật lý liên quan đến bài học, chẳng hạn khi dạy bài tập liên quan đến vectơ đối GV có thể cho HS giải thích hiện tượng sau:

Một vật M chịu tác dụng của hai lực F1, F2 như hình vẽ:

- Hãy giải thích tại sao vật vẫn đứng yên. Từ đó hãy tìm điều kiện cân bằng của một chất điểm chịu tác dụng của hai lực.

Từ ví dụ trên, HS dễ dàng giải thích được hiện tượng sau: Cho ba lực có độ lớn bằng nhau đôi một tạo với nhau một góc bằng 1200 cùng đặt tại một điểm của vật rắn và thuộc mặt phẳng. Giải thích tại sao vật đứng yên?

Tóm lại, khi dạy học chủ đề vectơ để góp phần nâng cao hiệu quả dạy học cần đảm bảo sự cân đối trong việc nắm các biểu thức vectơ và ý nghĩa hình học của chúng, quan tâm khai thác các tình huống thực tiễn nhằm vận dụng kiến thức vectơ vào giải các bài toán thực tế, cần chú ý rèn luyện cho HS kĩ năng phân tích một vectơ thành tổng của hai hay nhiều vectơ, kỹ năng

chuyển đổi ngôn ngữ, từ ngôn ngữ vectơ, sang ngôn ngữ hình học thông thường (hoặc ngôn ngữ tọa độ) và ngược lại.

Bài tập tự luyện.

Bài 1: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB,

CD. Chứng minh 2MN    ACBDADBC

Gợi ý: Phân tích các véc tơ AC

, BD

thành tổng các vectơ bằng cách chèn điểm M và N.

M

Bài 2: Cho tứ giác ABCD.

a) Hãy xác định vị trí của điểm G sao cho : GAGBGCGD0

    

b) Chứng minh rằng với mọi điểm O, vectơ OG

là trung bình cộng của bốn véc tơ OA , OB , OC , OD , tức là:   1 OG OA OB OC OD 4         

(Điểm G như thế được gọi là trọng tâm của tứ giác ABCD).

Gợi ý: Gọi I là trung điểm AB; J là trung điểm CD Tính GA GB theo GI ; GC GD theo GJ . Sau đó tính tổng của 4 vectơ GA , GB , GC , GD .

Bài 3: Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý:

a) Hãy xác định vị trí các điểm D, E, F sao cho MD  MCAB ; ME MABC

  

; MF  MBCA .

Chứng minh rằng các điểm D, E, F không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. b) So sánh hai tổng vectơ MA  MBMC và MD  MEMF ? Gợi ý: a) Xác định D: Ta có: MD  MCAB MD MC AB CD AB       

Vậy D là đỉnh thứ tư của hình bình hành vẽ trên hai cạnh AB và AC hay hình bình hành ABDC.

Tương tự với điểm E và điểm F. b) Ta có: MD  MEMF

(MA AD) (MB BE) (MC CF)

         (MA  MBMC) + ( AD  BECF ) Sử dụng kết quả ý a) để chứng minh ( AD  BECF ) = 0. Vậy hai tổng vectơ trên bằng nhau.

Bài 4: Cho điểm O cố định và đường thẳng d đi qua hai điểm A, B cố định. Chứng minh rằng điểm M thuộc đường thẳng d khi và chỉ khi có số 

sao cho OM OA(1 )OB

. Với điều kiện nào của  thì M thuộc đoạn thẳng AB.

Gợi ý: Biến đổi biểu thức trên tương đương với biểu thức BM BA

M d

  . Nếu M thuộc đoạn thẳng AB sẽ có đẳng thức vectơ nào? Từ đó suy ra điều kiện của .

Bài 5: Cho tam giác ABC và điểm O tùy ý.

a) Hãy xác định vị trí điểm M sao cho OM 13OB OC

4

 

  

. b) Với điểm M đã được xác định ở câu a), tính AM

theo AB

và AC

.

Gợi ý: a) Tính BM

theo BC

(căn cứ theo giả thiết). b) Cho OA ta có kết quả.

Bài 6: Cho tam giác ABC, M và N là hai điểm được xác định bởi

MA 3CM NA 2BN 3CN              Chứng minh ba điểm M, N, B thẳng hàng.

Bài 7: Cho tam giác ABC, gọi A’ là điểm đối xứng với B qua A, B’ là điểm đối xứng với C qua B, C’ là điểm đối xứng với A qua C. Chứng minh rằng với một điểm O bất kỳ ta có: OA + OB + OC = OA ' + OB' + OC' . Gợi ý: +) OA  OA ' A 'A và chú ý A 'A =AB . +) Tương tự đối với OB

và OC

. +) AB BC   CA?