phương pháp, xác định các quy tắc thuật giải, tựa thuật giải cho HSYK trong giải toán
a) Cơ sở của biện pháp
HSYK thường rỗng về kiến thức cơ bản, yếu về tri thức phương pháp đặc biệt là các quy tắc thuật giải và tựa thuật giải. Sau khi nghiên cứu khái niệm tư duy thuật giải và một số ví dụ về phát triển tư duy thuật giải trong môn Toán, chúng tôi nhận thấy rằng vấn đề phát triển tư duy thuật giải trong môn Toán là một việc cần thiết. Vai trò của việc phát triển tư duy thuật giải đối với HS trong dạy học môn Toán là quan trọng. Việc phát triển các hoạt động tư duy thuật giải sẽ góp phần phát triển các hoạt động khác của toán học. Trong quá trình dạy học GV cần quan tâm đến việc củng cố kiến thức “nền” cho HS, trang bị tri thức phương pháp và phát triển tư duy thuật giải cho HS.
b) Nội dung của biện pháp
* Củng cố kiến thức cốt lõi của nội dung chương trình môn Toán 10:
Trong quá trình dạy học, GV cần quan tâm phát hiện những “lỗ hổng” về kiến thức cho HS. Có những “lỗ hổng” có thể bổ sung cho HS ngay trên lớp, nhưng cũng có những “lỗ hổng” đối với HSYK mà trên lớp GV chưa đủ thời gian vì vậy cần có kế hoạch giúp đỡ HS. Qua quá trình học lý thuyết và làm bài tập của HS cần làm cho HS có ý thức tự phát hiện những “lỗ hổng” và tự bổ sung, hoặc GV có thể hướng dẫn HS cách tra cứu tài liệu để bổ sung kiến thức.
Để tiếp thu kiến thức mới được tốt đòi hỏi HS phải có một kiến thức “nền” vững chắc và nhiệm vụ của người GV là giúp HS tái hiện những kiến thức đó. Nhưng đối với HSYK GV cần nói rõ kiến thức cần ôn luyện cho việc chuẩn bị nội dung học sắp tới. Việc bổ sung kiến thức “nền” mà HS đã quên sẽ giúp HS bắt kịp với yêu cầu chung.
Tùy theo nội dung chương trình mà GV nên hệ thống hóa các kiến thức “nền” theo từng chương, từng vấn đề và tóm tắt một số dạng toán thường gặp
và phương pháp giải làm cơ sở cho việc lĩnh hội tri thức mới. Trong qua trình hệ thống hóa cần chú ý đến sự liên thông giữa các phần kiến thức như: Giữa phương trình - bất phương trình và tính đơn điệu của hàm số, giữa phương trình - hệ phương trình....
* Trang bị tri thức phương pháp cơ bản cho HSYK:
Theo Nguyễn Bá Kim, tri thức phương pháp luôn gắn liền với hai loại phương pháp khác nhau về bản chất: Phương pháp có tính chất thuật toán và phương pháp tìm đoán, do vậy dạy học tri thức phương pháp vừa là cơ hội tốt để phát triển ở HS một loại hình tư duy quan trọng – tư duy thuật giải, vừa cho phép phát triển ở họ các năng lực và phẩm chất tư duy độc lập và sáng tạo.
Lưu ý rằng, dạy học tri thức phương pháp có tính chất thuật toán không bó hẹp trong việc dạy học vận dụng các thuật toán đã biết mà bao hàm ngay cả dạy học khám phá thuật toán, phân tích đánh giá các thuật toán, tìm thuật toán tối ưu... . Do đó, dạy học tri thức phương pháp có tính chất thuật toán và tri thức phương pháp tìm đoán đều góp phần rèn luyện các thao tác tư duy (phân tích, tổng hợp, so sánh...) và phát triển các phẩm chất tư duy (tính linh hoạt, tính độc lập, tính phê phán...) chứ không phải tạo ra ở HS tính dập khuôn máy móc như một số người lo ngại.
Nói chung việc truyền thụ tri thức phương pháp có thể diễn ra ở ba cấp độ khác nhau:
Thứ nhất: Truyền thụ tường minh tri thức phương pháp được quy định trong chương trình.
Trong trường hợp này, tri thức phương pháp là đối tượng trung tâm của một tình huống dạy học cụ thể và kết quả là tri thức này được trình bày một cách tổng quát và tường minh dưới dạng một quy tắc, một thuật giải, một danh sách các lời khuyên hay chỉ dẫn (tựa thuật giải)...
Ta thường áp dụng cấp độ này đối với các tri thức phương pháp có tính thuật giải được quy định rõ ràng trong SGK như:
- Phương pháp biểu diễn miền nghiệm của một bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Thứ hai: Thông báo tường minh tri thức phương pháp nhân tiến hành hoạt động.
Khác với cấp độ trên, ở đây tri thức phương pháp không phải là đối tượng chủ yếu của một tình huống dạy học cụ thể mà chỉ được thông báo trong quá trình dạy học. Thông báo này có thể được lặp lại trong nhiều cơ hội khác nhau, ở những thời điểm khác nhau. Cần chú ý rằng những tri thức phương pháp này giúp HS dễ dàng thực hiện một số hoạt động quan trọng nào đó được quy định trong chương trình và việc thông báo những tri thức này dễ hiểu và không quá tốn nhiều thời gian.
Cấp độ này thường được áp dụng với các tri thức phương pháp không được quy định rõ ràng trong chương trình, SGK (chủ yếu là tri thức phương pháp tìm đoán).
Chẳng hạn, “Quy lạ về quen” là một tri thức phương pháp thoả mãn cả hai điều kiện trên, tri thức này có thể được thông báo cho HS trong quá trình hoạt hoạt động ở rất nhiều cơ hội khác nhau.
Thứ ba: Tập luyện những hoạt động ăn khớp với tri thức phương pháp
Trong trường hợp này, tri thức phương pháp không được trình bày một cách tổng quát và tường minh dưới dạng một quy tắc, một thuật toán, nó cũng không được thông báo một cách rõ ràng trong quá trình hoạt động. HS lĩnh hội nó một cách ngầm ẩn nhờ vào việc thực hiện nhiều hoạt động tương thích với một chiến lược, một định hướng giải quyết chung. Nói cách khác đó là những hoạt động ăn khớp với tri thức phương pháp này. Như vậy, mức độ hoàn chỉnh của tri thức rất khác nhau ở mỗi HS vì nó hiện diện ở HS như một kinh nghiệm mà tự họ rút ra được từ nhiều trường hợp hoạt động khác nhau. Như vậy, cách thức này có thể áp dụng cho cả tri thức phương pháp được quy định rõ ràng hay ngầm ẩn trong chương trình, SGK.
c) Những chú ý khi vận dụng và ví dụ:
Để HS lĩnh hội được tốt hơn tri thức phương pháp dưới hình thức này GV nên tổ chức các hoạt động theo một mục đích xác định trước chứ không thực hiện một cách tùy tiện.
Ví dụ 1: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có: a = bcosC + ccosB (Bài 3 - tr. 52 (SGK))
GV có thể tổ chức cho HS các hoạt động sau:
Hoạt động 1: (Gợi động cơ và hướng đích mở đầu).
- Đây là bài toán chứng minh đẳng thức, biểu thức ở vế phải chứa cả yếu tố cạnh và góc trong tam giác, ở vế trái là cạnh trong tam giác từ đó hãy tìm hướng chứng minh bài toán này.
Với gợi ý như trên của GV, HS dễ dàng giải quyết được bài toán, khi đó GV có thể tổ chức tiếp các hoạt động sau:
Hoạt động 2: Từ kết quả chứng minh trên, hãy phát biểu một đẳng thức tương tự.
Câu trả lời mà chúng ta mong đợi là: b = acosC + ccos A c = acosB + bcos A
Hoạt động 3:
- Hãy cộng các đẳng thức trên lại và đề xuất một bài toán mới.
Chúng ta mong đợi ở HS câu trả lời: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có:
a + b + c = a (cosC + cosB) + b (cosA + cosC) + c (cosA + cosB). hoặc a + b + c = cosA(b+c) + cosB(a + c) + cosC(a + b).
Hoạt động 4: (Hoạt động củng cố kiến thức của GV).
"Như vậy nhờ định lý hàm số cosin chúng ta có thể tính được các góc của tam giác theo các cạnh của nó, chúng ta đã đề xuất thêm được hai bài toán mới, theo hướng suy nghĩ này các em có thể giải được các bài tập sau:
Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có:
1) a2 + b2 + c2 = 2ab cos C + 2bc cos A + 2 ca cos B 2) 2abc (cos A + cos B) = (a + b) (a + c - b) (b + c - a).
3) abc (cos A + cos B + cos C) = a2 (p - a) + b2 (p - b) + c2 (p- c) 4) bc (b2 + c2) cosA + ac (c2 - a2) cos B + ab (a2 - b2) cos C = 0 ".
Trong ví dụ trên chúng tôi đã tổ chức cho HS các hoạt động để chứng minh một bài toán, sau đó cho HS phát biểu bài toán tương tự rồi đề xuất bài toán mới. Tri thức phương pháp được truyền thụ trong chứng minh trên là tri thức phương pháp thực hiện hoạt động chứng minh một đẳng thức giữa các yếu tố cạnh, góc trong tam giác, tri thức thực hiện hoạt động tương tự hoá cho HS.
* Tập luyện các thuật giải, tự thuật giải cho HSYK:
Trong khi dạy HS xây dựng thuật giải cụ thể người GV cần phải truyền cho HS những kinh nghiệm và nghệ thuật trong phương pháp suy nghĩ, giúp HS tự xây dựng được thuật giải trong những tình huống mới.
Theo Vương Dương Minh “Quá trình xây dựng thuật giải cũng là quá trình giải một bài toán chưa có thuật giải và một bài toán đặc biệt vì nó đưa tới một thuật giải. Vì vậy những tri thức phương pháp về tư duy thuật giải là bộ phận hợp thành tri thức phương pháp giải bài toán nói chung, mặt khác phải phản ánh nét đặc thù, riêng biệt của quá trình này” [12]. Tri thức phương pháp giải một bài toán nói chung không được quy định trong chương trình phổ thông, nhưng mọi người đều thống nhất rằng việc giải một bài toán hay việc giải quyết bất cứ một việc gì thường tiến hành theo quy trình bốn bước của G. Polia.
Tác giả Vương Dương Minh đã đề xuất một hệ thống tri thức phương pháp về tư duy thuật giải cần truyền thụ cho HS, hệ thống đó là:
Thứ nhất: Tìm hiểu bài toán một cách tổng hợp, phát hiện những đặc thù, dấu hiệu riêng biệt của bài toán.
Thứ hai: Phân tích bài toán để thấy rõ giả thiết và kết luận của bài toán. Cố gắng tìm một phương tiện trực quan biểu thị bài toán.
Thứ ba: Phân tích bài toán thành từng bộ phận hoặc thành những bài toán đơn giản hơn.
Thứ tư: Mò mẫm và dự đoán bằng cách phân chia thành các trường hợp. Xem xét các trường hợp (kết hợp với suy luận) bằng cách xét các trường hợp đặc biệt, tương tự, khái quát, ...
Thứ năm: Quy lạ về quen.
Thứ sáu: Kiểm tra lại kết quả. Tìm cách giải hợp lý hơn bằng cách khắc phục điều chưa hợp lý của lời giải cũ hoặc thay đổi cách nhìn đối với bài toán; Sử dụng kết quả hay cách giải hay cho bài toán khác; Đề xuất bài toán mới [12].
Các hoạt động cụ thể để tập luyện cho HS gồm:
- Tìm hiểu bài toán một cách tổng hợp, phát hiện những đặc thù, dấu hiệu riêng biệt của bài toán
- Phân tích bài toán thành từng bộ phận hoặc những bài toán đơn giản hơn
Đối với những phương trình phức tạp (chứa căn thức, chứa chứa dấu giá trị tuyệt đối, chứa nhiều hàm số lượng giác, số mũ lớn, …). Vì vậy trong quá trình dạy học giải phương trình GV cần rèn luyện cho HS cách đơn giản hoá bài toán hoặc phân chia thành các bài toán riêng lẻ để dễ tìm cách giải.
- Mò mẫm và dự đoán cách giải bài toán bằng cách phân chia thành các trường hợp riêng, hoặc xét trường hợp đặc biệt, tương tự, khái quát, …
Để đi đến một cái chung ta có thể phải khảo sát một số trường hợp riêng, lấy kết quả của cái riêng để định hướng giải quyết cái chung.
- Rèn luyện năng lực quy lạ về quen
Phần lớn các bài toán đều không có dạng có thể áp dụng ngay các thuật giải đã biết mà đòi hỏi người giải phải biết phân tích, biến đổi, biết nhận ra một số đặc điểm đặc biệt của bài toán để có thể đưa bài toán về dạng đã biết thuật giải. Đối với những dạng bài toán này, trong quá trình dạy học GV cần rèn luyện cho HS kỹ năng huy động các thuật giải đã biết. Để đạt được mục đích này, phương pháp quen thuộc hay sử dụng là xây dựng hệ thống bài toán gốc cho từng dạng phương trình. Sau đây là một số ví dụ minh hoạ đơn giản:
Ví dụ 2 : Giải phương trình: 2x 1 x23x 1 0. Để giải phương trình này, đặt t 2x 1 (t0)
2 t 1 x 2 . Đưa phương trình đã cho trở thành đơn giản hơn: t44t24t 1 0 (phương trình này chưa hẳn đã quen thuộc đối với một số HS). Điều này tạo tiếp cho HS cơ hội "quy lạ về quen" bằng cách đưa về phương trình tích quen thuộc:
2 2
(t 1) (t 2t 1) 0.
- Kiểm tra kết quả và phát hiện thuật giải tối ưu
Kiểm tra lại kết quả, tìm cách giải hợp lý hơn bằng cách khắc phục chỗ chưa hợp lý của lời giải cũ hoặc thay đổi cách nhìn đối với bài toán. Sử dụng kết quả hay cách giải bài toán này cho bài toán khác đề xuất bài toán mới. Việc nhận ra và khắc phục chỗ chưa hợp lý của một lời giải để tìm ra cách giải hợp lý hơn sẽ góp phần phát triển hoạt động của tư duy thuật giải.
Đề xuất một bài toán mới từ một bài toán đã có thuật giải là một cách để nắm vững thuật giải, biết biến đổi linh hoạt trong khi thực hiện thuật giải. Do đó ngay sau khi dạy một thuật giả nào đó (có thể là một quy tắc, một công thức, …), GV có thể ra cho HS một số bài toán mới được suy ra từ thuật giải đã biết hoặc hướng dẫn HS đề xuất bài toán mới. Việc làm này sẽ là một biện pháp tốt để phát triển tư duy thuật giải và tư duy sáng tạo cho HS.