dưỡng cho học sinh năng lực huy động kiến thức, khả năng quy lạ về quen khi dạy học các phép biến hình, từ đó hướng cho học sinh vào các hoạt động toán học khai thác sâu các kiến thức SGK.
Có thể thực hiện theo nhiều hướng phát triển các bài toán từ bài tập SGK thành chuỗi các bài toán nâng dần mức độ khó: chẳng hạn tổng quát hoá thành bài toán mới từ bài tập SGK; sử dung tương tự hoá; thay đổi, bổ sung các giả thuyết, chuyển các tính chất nghiên cứu sang đối tương khácv.v…
Xét bài toánSGK Hình học 11 Nâng cao: “Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm khác phía với đường thẳng d. Tìm trên d điểm M sao cho AM + MB có giá trị nhỏ nhất”.
+) Tri thức sự vật: Đường thẳng d
Hai điểm A, B nằm về hai phía của đường thẳng d.
+) Yêu cầu: Tìm trên đường thẳng d điểm M sao cho AM + MB nhỏ nhất +) Phương pháp: Tìm đoán
Do AM và MB có điểm chung M nên để AM + MB nhỏ nhất khi A, M, B thẳng hàng;
Ta có, với mọi điểm M thuộc d:
AB ≤ AM + MB vậy AM + MB nhỏ nhất khi xảy ra dấu “ =” ; nghĩa là khi điểm M trùng với điểm M0 là giao điểm của đường thẳng AB và đường thẳng d
d Mo
B
A
M
** Thay đổi giả thiết ta có bài toán mới: “Hai điểm A, B nằm về cùng một phía đối với đường thẳng d, tìm điểm M trên đường thẳng d sao cho MA + MB có giá trị nhỏ nhất”
Khi A, B nằm cùng phía với đường thẳng d thì “ý tưởng” ba điểm A, B, M thẳng hàng là không xảy ra.
Ta thay AM bởi A’M; Trong đó A’ là ảnh của A qua phép đối xứng trục có trục là đường thẳng d.
Khi đó AM + MB = A’M + MB ≥ A’B và A”M + MB nhỏ nhất khi M thuộc đoạn A’B; Khi giải bài toán này ta đã sử dụng tư tưởng bài toán đã xét ở trên, nghĩa là chuyển về xét hai điểm khác phía của đường thẳng d.
Như vậy, muốn tìm điểm M, việc trước tiên là tìm điểm A’ đối xứng với A qua d. Nối A’ với B được điểm M cần tìm như phương pháp đã tìm ở trên.
Qua sự chuyển tiếp bài toán trên học sinh có thể “kiến tạo kiến thức” cho mình thông qua “tri thức đã biết”.
Nếu xem hai bài toán vừa xét là các bài toán gốc có thể phát triển thành hai bài toán khác nhau bằng cách biến đổi giả thiết sau đây:
Bài toán 1.
Cho đường thẳng d và hai điểm A, B thuộc nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d. Tìm trên d hai điểm M, N sao cho vectơ MN =v cho trước và AM + MN + NB nhỏ nhất.
Giải:
Tri thức phương pháp:
- Từ hai dạng bài toán đã xét có dạng tìm điểm để tổng các đoạn thẳng nhỏ nhất - Tìm hai điểm tạo thành vectơ bằng vectơ cho trước v
Việc tìm hai điểm M, N thoả mãn điều kiện bài toán quy về tìm điểm N; Vì nếu tìm được điểm N thì M là ảnh của N qua phép tịnh tiến vectơ -v.
Ta có: AM + MN + NB nhỏ nhất khi và chỉ khi AM + BN nhỏ nhất ( vì MN = v ). Thực hiện phép tịnh tiến Tv: A A1; d A A' B M