Nội dung luận văn này chỉ nói về các phép biến hình trong mặt phẳng, nhằm phục vụ cho việc học tập và giảng dạy hình học theo chương trình Toán CCGD và chương trình Toán phân ban mới của Bộ Giáo Dục và Đào tạo. Việc đưa nội dung các phép biến hình vào chương trình Toán ở bậc THCS và THPT không những chỉ nhằm cung cấp cho học sinh những công cụmới để giải toán mà còn tập cho học sinh làm quen với các phương pháp tư duy và suy luận mới, biết nhìn nhận sự việc và các hiện tượng xung quanh trong cuộc sống với sự vận động và biến đổi của chúng đề nghiên cứu, tìm tòi, khám phá, tạo cơ sở cho sự ra đời của sự phát minh và sáng tạo trong tương lai. Thí dụ như trước đây, khi cần chứng minh hai tam giác nào đó bằng nhau, học sinh thường phải chứng minh các cạnh và góc của hai tam giác đó thoả mãn các điều kiện đã được nêu ra trong các định lý nói về hai tam giác bằng nhau. Sau khi học các phép biến hình trong mặt phẳng người ta có thể định nghỉa sự bằng nhau của hai tam giác và tổng quát hơn của hai hình phẳng bất kỳ như sau: “Hình H được gọi là bằng hình H’ nếu có một phép dời hình trong mặt phẳng biến hình H thành hình H’ ”.
Như vậy khái niệm “bằng nhau” của hai hình phẳng được xây dựng dựa trên khái niện về phép dời hình là một phép biến hình, Nhiều khái niệm tương tự khác của hình học như hai hình đồng dạng với nhau hoặc tương đương afin với nhau.v.v… cũng được xây dựng trên cơ sở của các phép biến hình tương ứng của chúng là phép đồng dạng hoặc phép afin.v.v…
Nghiên cứu lịch sử của môn hình học, ta thấy Ơclit- nhà Toán học kiêm triết học của HiLạp sống vào thế ký thứ ba trước Công nguyên đã đặt nền móng đầu tiên cho sự ra đời của phương pháp tiên đề. Tác phẩm “Cơ bản” nổi tiếng của Ơclit là một đóng góp xuất sắc trong việc phát triển và xây dựng hình học. Sau đó gần 20 thế kỷ Rơnê Đềcác một nhà Triết học kiêm Vật lý học và Toán học nổi tiếng của Pháp đã phát minh ra phương pháp toạ độ, đánh dấu cho sự mở đầu của một cuộc cách mạng trong Toán học nói chung và hình học nói riêng. Với phương pháp toạ độ, mỗi thứ hình học gắn một cấu trúc đại số như trường số thực, trường số phức… ,và như vậy chúng ta sẽ có nhiều thứ hình học khác nhau.
Việc làm này đã giúp cho hình học thoát ra khỏi lối tư duy cụ thể và trực quan của không gian vật lý ba chiều thông thường, nhằm đạt tới đỉnh cao của sự khái quát và trừu tượng của Toán học trong nhiều lĩnh vực. Theo xu hướng này, dựa vào sự phát triển của lý thuyết nhóm trong Đại số, nhà Toán học Đức Felix Klein(1849-1925) đã nghiên cứu hình học theo quan điểm nhóm các phép biến hình, ông đã trình bày mỗi nhóm biến hình trong hình học gắn liền với hình học của nhóm đó. Dựa vào các bất biến của mỗi nhóm với các nhóm con của nó, Klein đã xác lập được mối quan hệ giữa hình học của một nhóm biến hình nào đó với hình học của các nhóm con của nó để hệ thống hoá các thứ hình học.
Dựa trên mối quan hệ và các bất biến của các thứ hình học khác nhau đó người ta có thể tìm ra các phương pháp và công cụ khác nhau để giải một bài toán. Ngoài ra, có thể dựa vào một bài toán hình học cụ thể nào đó với phép biến hình chúng ta còn có khả năng tạo ra các bài toán mới khác nhau và đây là một việc làm mang lại nhiều hứng thú trong việc tìm tòi, nghiên cứu hình học. Hơn nữa việc lựa chọn các công cụ thích hợp cho mỗi loại toán hình học khác nhau là một việc làm cần thiết, giúp chúng ta tiết kiệm được thời gian và công sức để giải các bài toán đó một cách có hiệu quả nhất.