O: H→ H’ HÌNH VẼ O → O’
2.2.1. Những tri thức phương pháp thường gặp
* Những tri thức về phương pháp thực hiện những hoạt động tương ứng với nội dung toán học cụ thể nhu cộng, trừ, nhân, chia các số hữu tỷ, giải phương trình trung phương, dựng tam giác biết độ dài ba cạnh của tam giác đó,…
* Những tri thức về phương pháp thực hiện những hoạt động toán học phức hợp như định nghĩa, chứng minh, giải toán bằng cách lập phương trình, giải toán dựng hình, giải toán quỹ tích,…Cho học sinh tập luyện những hoạt động này sẽ làm cho họ nắm vững những nội dung toán học và phát triển những kỹ năng và năng lực toán học tương ứng.
* Những tri thức về phương pháp thực hiện những hoạt động toán học như hoạt động tư duy
hàm, phân chia trường hợp, lật ngược vấn đề,…
* Những tri thức phương pháp thực hiện những hoạt động chung như so sánh, khái quát hoá, trừu tượng hoá, xét tương tự,…
* Những tri thức phương pháp thực hiện những hoạt động ngôn ngữ lôgic như thiết lập mệnh đề đảo của mệnh đề cho trước, liên kết hai mệnh đề thành một hội hay tuyển của chúng.v.v…
Nhìn chung liên quan đến tri thức phương pháp có nhiều vấn đề cần cân nhắc, giải quyết, chẳng hạn như:
- Xác định tối thiểu những tri thức cần dạy.
- Xác định yêu cầu về mức độ hoàn chỉnh của những tri thức phương pháp cần dạy, đặc biệt đối với những phương pháp có tính chất tìm đoán. Những tri thức quá chung chung sẽ ít có tác dụng chỉ dẫn, điều khiển hoạt động. Mặt khác những tri thức phương pháp rậm rạp lại có thể làm cho học sinh rơi vào tình trạng rối ren.
-Xác định yâu cầu về mức độ tường minh của những tri thức phương pháp cần dạy: Dạy một cách tường minh hay thông báo trong quá trình tiến hành hoạt động, hay chỉ thực hành ăn khớp với tri thức phương pháp nào đó, hay là một hình thức trung gian với hình thức kể trên.
- Xác định yêu cầu về mức độ chặt chẽ của quá trình hình thành tri thức phương pháp, lập luận lôgic hay dựa vào trực giác hoặc thừa nhận không chứng minh. Đứng trước một nội dung dạy học, người thầy giáo cần nắm tất cả các tri thức phương pháp có thể có trong nội dung đó. Nắm được như vậy không phải để dạy tất cả cho học sinh một cách tường minh mà còn phải căn cứ vào mục tiêu và tình hình cụ thể để lựa chọn cách thức, cấp độ làm việc thích hợp, từ cấp độ dạy học tường minh tri thức phương pháp được phát biểu tổng quát, tới cấp độ thực hành ăn khớp với tri thức phương pháp.
Sau đây chúng ta xét những kỹ năng cơ bản cần rèn luyện cho học sinh:
a, Rèn luyện cho học sinh kỹ năng dựng ảnh của các hình qua các phép dời cụ thể, phép vị tự.
Trước hết cần quan tâm dựng ảnh của đường, tia,đoạn thẳng, góc, đường tròn, các hình đơn giản thường gặp khi giải toán.
Ví dụ 3: Học sinh cần biết các cách dựng dựng ảnh của đường thẳng a qua phép
đối xứng trục, có trục là d trong các trường hợp a cắt d ; a vuông góc với d ; a song song với d.
Cách tổng quát dựa vào bất biến thẳng hàng suy ra dựng ảnh của đường thẳng quy về dựng ảnh của hai điểm M, N thuộc đường thẳng đó; đường thẳng ảnh sẽ đi qua hai điểm M’, N’ .
Có thể rèn luyện cho học sinh những kỹ năng khác dựng ảnh của đường thẳng ứng với những trường hợp cụ thể a, b, c như sau:
a' d a d a d a a' H I M M M' M'
Chẳng hạn có thể lập luận đối với trường hợp a, dẫn tới a’ là đường thẳng qua I tạo với d một góc bằng góc giữa d và a.
Vì Đd : d→ d’
a→ a’ nên (d, a ) = ( d, a’)
Trường hợp c, lập luận quy về dựng ảnh của M là M’, dựng a’ qua M’ và a’ // d. Lập luận đó dựa vào tính chất bảo tồn góc của phép đối xứng trục, góc giữa d và a bằng góc giữa d và a’.
Trường hợp b, dựa vào tính chất bảo toàn góc và điểm H biến thành chính nó dẫn tới ảnh của a là a.
Thông qua việc xét các cách dựng ảnh, học sinh không chỉ được rèn luyện kỹ năng mà còn là cơ hội khắc sâu các bất biến và các tính chất khác.
Cụ thể đối với phép vị tự, định nghĩa không có gì phức tạp nhưng GV phải có bảng phụ tốt để học sinh hình dung phép vị tự biến một hình H thành hình H’ như thế nào, và có thể vẽ các trường hợp tương ứng với k > 0; k < 0; k = -1. Ngoài các tính chất của phép vị tự, ta chú trọng nói kỹ tới ảnh của đường tròn qua phép vị tự và cách xác định tâm vị tự của hai đường tròn. V
Ví dụ 4: Xét bài toán “Cho góc ∠xOy và một điểm A nằm trong góc đó. Dựng đường tròn đi qua A và tiếp xúc với hai cạnh của góc”
x y A I' I O A'
Chúng ta có thể phân tích việc truyền thụ tri thức phương pháp thông qua việc tìm kiếm lời giải của bài toán:
+ Làm rõ tri thức sự vật xuất hiện trong bài toán: Góc ∠xOy và điểm A. Yêu cầu dựng đường tròn đi qua điểm A và tiếp xúc với hai cạnh của góc; có nghĩa là đường tròn cần dựng phải thoả mãn đồng thời cả hai điều kiện.
Giáo viên kiến tạo kiến thức: Dùng phép vị tự vì có điểm A, O cố định, chỉ cần lập tỷ số vị tự.
Đặt vấn đề ngược lại là tại sao có điểm cố định mà không dùng phép đối xứng tâm? hay là có tia Ox, tia Oy và OA cố định thì có thể dùng phép đối xúng tâm, đối xứng trục, phép tịnh tiến?
-Ở đây tạm bỏ qua dữ kiện đi qua điểm A, luôn dựng đựơc đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của góc xOy có tâm nằm trên tia phân giác của góc. Và có thể khẳng định rằng tâm đường tròn cần dựng cũng nằm trên tia phân giác đó
+ Đề xuất phép biến hình để giải bài toán dựng hình. + Xây dựng hệ thống các bước dựng hình:
Bước 1. Phân tích:
Giả sử ta dựng được đường tròn tâm I đi qua điểm A và tiếp xúc với hai tia Ox, Oy.
Tâm I của đường tròn này phải nằm trên đường phân giác của góc ∠xOy.
Ta hãy dựng thêm đường tròn tâm I’ cũng tiếp xúc với Ox, Oy. Như vậy O là tâm vị tự ngoài của đường tròn tâm I và I’.
Bước 2. Cách dựng:
- Dựng một đường tròn tâm I’ sao cho tiếp xúc với Ox và Oy.
- Gọi A’ là một trong hai giao điểm của tia OA với đường tròn tâm I’. - Thực hiện phép vị tự tâm O với tỷ số vị tự k =
'
OAOA OA
thì đường tròn tâm I’ sẽ biến thành đường tròn tâm I cần dựng thoả mãn các điều kiện bài toán.
Bước 3. Chứng minh:
Dễ dàng chứng minh được đường tròn tâm I tiếp xúc với hai tia Ox và Oy vì tâm I nằm trên đường phân giác của góc ∠xOy.
Qua phép vị tự tâm O tỷ số k =
'
OAOA OA
nên A’ thuộc đường tròn tâm I’ còn A thuộc đường tròn tâm I.
Bước 4. Biện luận nghiệm hình:
Vì tia OA luôn luôn cắt đường tròn tâm I tại hai điểm phân biệt nên bài toán luôn có hai nghiệm hình.
Cho góc xOy và đường tròn ( O ). Hãy dựng đường tròn ( O’ ) tiếp xúc với hai cạnh Ox, Oy và tiếp xúc với đường tròn ( O ).
Theo quan điểm kiến tạo học sinh dựa vào kinh nghiệm của bản thân,huy động chúng vào quá trình tương tác với các tình huống, tiêu hoá chúng và rút ra được điều cần hình thành.
Xuất phát từ bài toán đơn giản ở ví dụ 4 trên chúng ta phân tích để đi đến lời giải cho bài toán tổng quát
Bài toán trở thành tìm điểm tiếp xúc S của ( O2) với ( O1). Thực hiện phép vị tự: V 2 1 O O R R S − : ( O2) → ( O1)
( S , O , O’ thẳng hàng) suy ra ( O’) là ảnh của ( O ) nên S là giao điểm của OO’ với đường tròn ( O )
Cách dựng:
Dựng hai tiếp tuyến (Ox)’; (Oy)’ lần lượt song song với Ox và Oy. Khi đó (Ox)’ cắt (Oy)’ tại O’
Hoặc là đưa bài toán trên về bài toán: “Dựng đường tròn tiếp xúc với hai cạnh của một góc qua một điểm”.
Nhờ dựng đường tròn qua tâm của ( O ), bán kính R và tiếp xúc với hai cạnh O’x 1 và O’y 1 . x1 y1 x y (Oy)' (Ox)' S O1 O' O O2 O’x1// Ox cách Ox một khoảng bằng R - R1 O’y1// Oy cách Oy một khoảng bằng R - R1.
Như vậy, ở trên chúng ta đã xét loại loại kỹ năng giải bài toán thuận sau đây: Cho biết phép biến hình cụ thể F và hình H, hãy xác định hình H’ là ảnh của hình H qua phép biến hình F.
Ta lại xét một loại kỹ năng khác không kém phần quan trọng đó là:
b, Kỹ năng xác định phép biến hình cụ thể F khi cho biết hình này là ảnh của hình kia.
Trong SGK Hình học 11 hiện hành đã quan tâm đến kỹ năng trên thông qua yêu cầu học sinh giải các bài tập hoặc trình bày trong phần lý thuyết như xác định phép vị tự khi cho biết hai đường tròn; các bài tập trong SGK Hình học 11 chẳng hạn: Bài tập 2 trang 9 yêu cầu tìm tất cả các phép tịnh tiến biến đường thẳng a thành đường thẳng a’ khi cho a// a’. Bài tập 7 trang 13 yêu cầu tìm phép đối xứng trục Đa biến d thành d’ nếu: ( a ): d // d’ ( b ): d≡ d’ ( c ): d cắt d’ ( d ): d ⊥d’ d d' d ; d' d' d d d' d) b) a)
Giáo viên cần quan tâm bổ sung các trường hợp khác phong phú hơn và đồng thời cho thêm hệ thống các bài tập ứng dụng khác để rèn luyện tốt hơn các kỹ năng. Từ đó giúp học sinh nhạy cảm hơn trong việc lựa chọn các phép biến hình khi giải các bài toán cụ thể.
Ví dụ :
Cho hai đường tròn có tâm lần lượt là O và O’; các bán kính tương ứng R và R’ tiếp xúc với nhau. Hãy xác định các phép vị tự biến đường tròn ( O ) thành đường tròn ( O’ ).
-Qua phép vị tự đường thẳng a biến thành đường thẳng a’ thì a // a’ hoặc a trùng a’ ( phương bất biến).
c) b) a) M' O I O O' O O' O' I' M M' M'' I M M'' I' M' M
Xét trường hợp a: Hai đường tròn ( O ) và ( O’) tiếp xúc ngoài. Ta vẽ qua O và O’ hai đường thẳng song song bất kỳ cắt ( O ) tại M và ( O’) tại M’ và M’’; các véc tơ OM và O'M' cùng hướng, còn OM và O'M ''ngược hướng. Khi đó tâm I của phép vị tự biến ( O ) thành ( O’) là giao của đường thẳng MM’ và OO’;
Đó là phép vị tự V R R I
'
. Gọi I’ là điểm tiếp xúc của ( O ) và ( O’). Khi đó hai tam giác MOI’ và M’’O’I’ là những tam giác cân có hai góc O∧ và O∧' bằng nhau, do chúng là các góc so le trong. Từ đó các góc ở đáy ∠ MI'O và ∠M’’I’O’ bằng nhau nên M, I’, M’’ thẳng hàng.
Suy ra I’ làtâm vị tự trong của phép vị tự V R R I
'
− biến ( O ) thành ( O’).
Vận dụng cách xác định phép vị tự biến ( O ) thành ( O’) ở trường hợp a) cho trường hợp b), với ( O ) và ( O’) tiếp xúc trong, ta có điểm tiếp xúc I của hai đường tròn ( O ) và ( O’) là tâm vị tự ngoài của phép vị tự V R
RI I
'
( O’); tâm vị tự trong của phép vị tự biến ( O ) thành ( O’) là I’, giao của MM’’ với đường thẳng OO’, đó là phép vị tự VR
RI I
'' . ' .
Trong trường hợp c) khi ( O ) và ( O’) có các bán kính R = R’ tiếp xúc ngoài thì điểm tiếp xúc I’ là tâm vị tự trong của phép vị tự V 1
'
−
I biến ( O ) thành ( O’); đó chính là phép đối xứng tâm I’.
Để rèn luyện các kỹ năng xác định phép vị tự nói trên chúng ta cho học sinh luyện tập các dạng toán cần xác định phép vị tự và tổng quát xác định phép biến hình nói chung.
2.2.2.Các tri thức phương pháp theo hướng vận dụng lý thuyết kiến tạo thông qua dạy học các kiến thức về phép biến hình cần chú trọng: