II. Gúc trong đường trũn:
3. Tứ giỏc ACDB nội tiếp (O) => ã ABD + ãAC D= 180 0.
ãECD + ãACD = 1800 ( Vỡ là hai gúc kề bự) => ãECD = ãABD (cựng bự với ãACD ).
Theo trờn ãABD = ãDFB => ãECD = ãDFB . Mà ãEFD + ãDFB = 1800 (Vỡ là hai gúc kề bự) nờn suy ra ãECD + ãEFD = 1800, mặt khỏc ãECD và ãEFD là hai gúc đối của tứ giỏc
CDFE do đú tứ giỏc CEFD là tứ giỏc nội tiếp.
Bài 10 Cho đường trũn tõm O đường kớnh AB và điểm M bất kỡ trờn nửa đường trũn sao cho AM < MB. Gọi M’ là điểm đối xứng của M qua AB và S là giao điểm của hai tia BM, M’A. Gọi P là chõn đường vuụng gúc từ S đến AB.
1.Gọi S’ là giao điểm của MA và SP. Chứng minh rằng ∆ PS’M cõn. 2.Chứng minh PM là tiếp tuyến của đường trũn .
Lời giải:
1. Ta cú SP ⊥ AB (gt) =>ãSPA = 900; ãAMB= 900 (nội tiếp chắn nửa đường trũn) =>
ãAMS = 900 Như vậy P và M cựng nhỡn AS dưới một gúc bằng 900 nờn cựng nằm trờn đường trũn đường kớnh AS.
Vậy bốn điểm A, M, S, P cựng nằm trờn một đường trũn.
2. Vỡ M’đối xứng M qua AB mà M nằm trờn đường trũn nờn M’ cũng nằm trờn đường trũn => hai cung AM và AM’ cú số đo bằng nhau
=> ãAMM '= ãAM'M (Hai gúc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) (1)
Cũng vỡ M’đối xứng M qua AB nờn MM’ ⊥ AB tại H => MM’// SS’ (cựng vuụng gúc với AB)
=> ãAMM '= ãAS'S ; ãAM'M = ãASS' (vỡ so le trong) (2).
=> Từ (1) và (2) => ãAS'S = ãASS'.
Theo trờn bốn điểm A, M, S, P cựng nằm trờn một đ/ trũn => ãASP =ãAMP (nội tiếp cựng
chắn AP )ằ
=> ãAS'P = ãAMP => ∆ PMS’ cõn tại P.
3. ∆ SPB vuụng tại P; ∆ SMS’ vuụng tại M => ảB = 1 ảS' (cựng phụ với 1 àS ) (3)
Tam giỏc PMS’ cõn tại P => ảS' = 1 ảM (4)1
Tam giỏc OBM cõn tại O ( vỡ cú OM = OB =R) => ảB = 1 ảM (5).3
Từ (3), (4) và (5) =>ảM =1 ảM =>3 ảM +1 ảM =2 ảM +3 ảM mà 2 ảM +3 ảM =2 ãAMB= 900 nờn suy ra ảM +1 ảM =2 ãPMO = 900 => PM ⊥ OM tại M => PM là tiếp tuyến của đường trũn tại M
Bài 11. Cho tam giỏc ABC (AB = AC). Cạnh AB, BC, CA tiếp xỳc với đường trũn (O) tại cỏc điểm D, E, F . BF cắt (O) tại I , DI cắt BC tại M. Chứng minh :
1. ∆ DEF cú ba gúc nhọn. 2. DF // BC. 3. Tứ giỏc BDFC nội tiếp. 4.
CFBM BM CB BD = Lời giải:
1. (HD) Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau ta cú AD = AF => tam giỏc ADF cõn tại A =>
ãADF = ãAFD < 900 => sđ cung DF < 1800 => ãDEF < 900 ( vỡ gúc DEF nội tiếp chắn cung DE).
Chứng minh tương tự ta cú ãDFE < 900; ãEDF < 900. Như vậy ∆ DEF cú ba gúc nhọn.
2. Ta cú AB = AC (gt); AD = AF (theo trờn) => AD AF
AB= AC => DF // BC.