II. Gúc trong đường trũn:
2.Hai tam giỏc vuụng ABI và ABH cú:
cạnh huyền AB chung, ảB = 1 ảB => 2 ∆ AHB = ∆AIB => AI = AH.
3. AI = AH và BE ⊥ AI tại I => BE là tiếp tuyến của (A; AH) tại I.
4. DE = IE và BI = BH => BE = BI+IE = BH + ED
Bài 7 Cho đường trũn (O; R) đường kớnh AB. Kẻ tiếp tuyến Ax và lấy trờn tiếp tuyến đú một điểm P sao cho AP > R, từ P kẻ tiếp tuyến tiếp xỳc với (O) tại M.
1. Chứng minh rằng tứ giỏc APMO nội tiếp được một đường trũn. 2. Chứng minh BM // OP.
3. Đường thẳng vuụng gúc với AB ở O cắt tia BM tại N. C/m tứ giỏc OBNP là hỡnh bỡnh hành.
4. Biết AN cắt OP tại K, PM cắt ON tại I; PN và OM kộo dài cắt nhau tại J. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.
Lời giải:
1. (HS tự làm).
2.Ta cú ãABM nội tiếp chắn cung AM; ãAOM là gúc ở tõm chắn cung AM
=> ãABM = ãAOM
2 (1)
OP là tia phõn giỏc ãAOM (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau )
=> ãAOP = ãAOM
2 (2) Từ (1) và (2) =>
ãABM = ãAOP (3)
Mà ãABM và ãAOP là hai gúc đồng vị nờn suy ra BM // OP. (4)
3.Xột hai tam giỏc AOP và OBN ta cú : ãPAO =900 (vỡ PA là tiếp tuyến );
ãNOB = 900 (gt NO⊥AB).
=> ãPAO = ãNOB = 900; OA = OB = R; ãAOP = ãOPN (theo (3))
=> ∆AOP = ∆OBN => OP = BN (5)
Từ (4) và (5) => OBNP là hỡnh bỡnh hành ( vỡ cú hai cạnh đối song song và bằng nhau).
4. Tứ giỏc OBNP là hỡnh bỡnh hành => PN // OB hay PJ // AB, mà ON ⊥ AB => ON ⊥
PJ
Ta cũng cú PM ⊥ OJ ( PM là tiếp tuyến ), mà ON và PM cắt nhau tại I nờn I là trực tõm tam giỏc POJ. (6)
Dễ thấy tứ giỏc AONP là hỡnh chữ nhật vỡ cú ãPAO = ãAON = ãONP = 900 => K là trung điểm của PO (t/c đường chộo hỡnh chữ nhật). (6)
AONP là hỡnh chữ nhật => ãAPO = ãNOP ( so le) (7)
Theo t/c hai tiếp tuyến cắt nhau Ta cú PO là tia phõn giỏc ãAPM => ãAPO = ãMPO (8).
Từ (7) và (8) => ∆IPO cõn tại I cú IK là trung tuyến đụng thời là đường cao => IK ⊥ PO. (9)
Bài 8 Cho nửa đường trũn tõm O đường kớnh AB và điểm M bất kỡ trờn nửa đường trũn ( M khỏc A,B). Trờn nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường trũn kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phõn giỏc của gúc IAM cắt nửa đường trũn tại E; cắt tia BM tại F tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K.
1) Chứng minh rằng: EFMK là tứ giỏc nội tiếp. 2) Chứng minh rằng: AI2 = IM . IB. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
3) Chứng minh BAF là tam giỏc cõn.
4) Chứng minh rằng : Tứ giỏc AKFH là hỡnh thoi.
5) Xỏc định vị trớ M để tứ giỏc AKFI nội tiếp được một đường trũn.
Lời giải:
1. Ta cú : ãAMB = 900 ( nội tiếp chắn nửa đường trũn ) => ãKMF = 900 (vỡ là hai gúc kề bự).
ãAEB= 900 ( nội tiếp chắn nửa đường trũn ) => ãKEF = 900 (vỡ là hai gúc kề bự).
=> ãKMF + ãKEF = 1800 .
Mà ãKMF và ãKEF là hai gúc đối của tứ giỏc EFMK do đú EFMK là tứ giỏc nội tiếp.
2. Ta cú ãIAB = 900 ( vỡ AI là tiếp tuyến ) => ∆AIB vuụng tại A cú AM ⊥ IB ( theo trờn).
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao => AI2 = IM . IB.
3. Theo giả thiết AE là tia phõn giỏc gúc IAM => ãIAE = ãMAE => AE = ằ ME (lớ do …)ẳ
=> ãABE =ãMBE (hai gúc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau) => BE là tia phõn giỏc gúc
ABF (1)
Theo trờn ta cú ãAEB= 900 => BE ⊥ AF hay BE là đường cao của ∆ ABF (2). Từ (1) và (2) => BAF là tam giỏc cõn. tại B .