II. Gúc trong đường trũn:
1.Xột hai tam giỏc ABC và EDB Ta cú ∠BAC =900 (vỡ tam giỏc ABC vuụng tại A);
∠DEB = 900 ( gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn )
=> ∠DEB = ∠BAC = 900 ; lại cú ∠ABC là gúc chung => ∆DEB ∼∆ CAB
2. Theo trờn ∠DEB = 900 => ∠DEC = 900 (vỡ hai gúc kề bự); ∠BAC = 900 ( vỡ ∆ABC vuụng tại A) hay ∠DAC = 900 => ∠DEC + ∠DAC = 1800 mà đõy là hai gúc đối nờn vuụng tại A) hay ∠DAC = 900 => ∠DEC + ∠DAC = 1800 mà đõy là hai gúc đối nờn ADEC là tứ giỏc nội tiếp .
* ∠BAC = 900 ( vỡ tam giỏc ABC vuụng tại A); ∠DFB = 900 (gúc nội tiếp chắn nửa đường trũn) hay ∠BFC = 900 như vậy F và A cựng nhỡn BC dưới một gúc bằng 900
nờn A và F cựng nằm trờn đường trũn đường kớnh BC => AFBC là tứ giỏc nội tiếp.
3. Theo trờn ADEC là tứ giỏc nội tiếp => ∠E1 = ∠C1 lại cú ∠E1 = ∠F1 => ∠F1 = ∠C1 mà đõy là hai gúc so le trong nờn suy ra AC // FG. đõy là hai gúc so le trong nờn suy ra AC // FG.
4. (HD) Dễ thấy CA, DE, BF là ba đường cao của ∆DBC nờn CA, DE, BF đồng quy tại S. S.
Bài 17. Cho tam giỏc đều ABC cú đường cao là AH. Trờn cạnh BC lấy điểm M bất kỡ ( M khụng trựng B. C, H ) ; từ M kẻ MP, MQ vuụng gúc với cỏc cạnh AB. AC.
1. Chứng minh APMQ là tứ giỏc nội tiếp và hóy xỏc định tõm O của đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc đú.
2. Chứng minh rằng MP + MQ = AH. 3. Chứng minh OH ⊥ PQ.
Lời giải:
1. Ta cú MP ⊥ AB (gt) => ∠APM = 900; MQ ⊥ AC (gt)
=> ∠AQM = 900 như vậy P và Q cựng nhỡn BC dưới một gúc bằng 900 nờn P và Q cựng nằm trờn đường trũn đường kớnh AM => APMQ là tứ giỏc nội tiếp.
* Vỡ AM là đường kớnh của đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc APMQ tõm O của đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc APMQ là trung điểm của AM.