II. Gúc trong đường trũn:
4.Theo giả thiết ADBE là hỡnh thoi => EB //AD (2).
Từ (1) và (2) => I, B, E thẳng hàng (vỡ qua B chỉ cú một đường thẳng song song với AD mà thụi)
5. I, B, E thẳng hàng nờn tam giỏc IDE vuụng tại I => IM là trung tuyến ( vỡ M là trung điểm của DE) =>MI = ME => ∆MIE cõn tại M => ∠I1 = ∠E1 ; ∆O’IC cõn tại O’ ( vỡ O’C điểm của DE) =>MI = ME => ∆MIE cõn tại M => ∠I1 = ∠E1 ; ∆O’IC cõn tại O’ ( vỡ O’C và O’I cựng là bỏn kớnh ) => ∠I3 = ∠C1 mà ∠C1 = ∠E1 ( Cựng phụ với gúc EDC ) => ∠I1 = ∠I3 => ∠I1 + ∠I2 = ∠I3 + ∠I2 . Mà ∠I3 + ∠I2 = ∠BIC = 900 => ∠I1 + ∠I2 = 900 = ∠MIO’ hay MI ⊥ O’I tại I => MI là tiếp tuyến của (O)
Chủ đề 1: Nhận biết hỡnh, tỡm điều kiện của một hỡnh.
Bài 1:Cho tam giỏc đều ABC nội tiếp đường trũn tõm O. D và E lần lượt là điểm chớnh giữa của cỏc cung AB và AC. DE cắt AB ở I và cắt AC ở L.
a) Chứng minh DI = IL = LE.
b) Chứng minh tứ giỏc BCED là hỡnh chữ nhật.
c) Chứng minh tứ giỏc ADOE là hỡnh thoi và tớnh cỏc gúc của hỡnh này.
Bài 2:Cho tứ giỏc ABCD nội tiếp đường trũn cú cỏc đường chộo vuụng gúc với nhau tại I.
a) Chứng minh rằng nếu từ I ta hạ đường vuụng gúc xuống một cạnh của tứ giỏc thỡ đường vuụng gúc này qua trung điểm của cạnh đối diện của cạnh đú.
b) Gọi M, N, R, S là trung điểm của cỏc cạnh của tứ giỏc đó cho. Chứng minh MNRS là hỡnh chữ nhật.
c) Chứng minh đường trũn ngoại tiếp hỡnh chữ nhật này đi qua chõn cỏc đường vuụng gúc hạ từ I xuống cỏc cạnh của tứ giỏc.
Bài 3:Cho ∆ ABC ( ∠A = 1v) cú AH là đường cao. Hai đường trũn đường kớnh AB và AC cú tõm là O1 và O2. Một cỏt tuyến biến đổi đi qua A cắt đường trũn (O1) và (O2) lần lượt tại M và N.
a) Chứng minh tam giỏc MHN là tam giỏc vuụng. b) Tứ giỏc MBCN là hỡnh gỡ?
c) Gọi F, E, G lần lượt là trung điểm của O1O2, MN, BC. Chứng minh F cỏch đều 4 điểm E, G, A, H.
d) Khi cỏt tuyến MAN quay xung quanh điểm A thỡ E vạch một đường như thế nào?
Bài 4:Cho hỡnh vuụng ABCD. Lấy B làm tõm, bỏn kớnh AB, vẽ 1/4 đường trũn phớa trong hỡnh vuụng.Lấy AB làm đường kớnh , vẽ 1/2 đường trũn phớa trong hỡnh vuụng. Gọi P là điểm tuỳ ý trờn cung AC ( khụng trựng với A và C). H và K lần lượt là hỡnh chiếu của P trờn AB và AD, PA và PB cắt nửa đường trũn lần lượt ở I và M.
a) Chứng minh I là trung điểm của AP. b) Chứng minh PH, BI, AM đồng qui. c) Chứng minh PM = PK = AH
d) Chứng minh tứ giỏc APMH là hỡnh thang cõn.
đ) Tỡm vị trớ điểm P trờn cung AC để tam giỏc APB là đều.
Chủ đề 2: Chứng minh tứ giỏc nội tiếp, chứng minh nhiều điểm cựng nằm trờn một đường trũn.
Bài 1:Cho hai đường trũn (O), (O') cắt nhau tại A, B. Cỏc tiếp tuyến tại A của (O), (O') cắt (O'), (O) lần lượt tại cỏc điểm E, F. Gọi I là tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc EAF. a) Chứng minh tứ giỏc OAO'I là hỡnh bỡnh hành và OO'//BI.
b) Chứng minh bốn điểm O, B, I, O' cựng thuộc một đường trũn.
c) Kộo dài AB về phớa B một đoạn CB = AB. Chứng minh tứ giỏc AECF nội tiếp.
Bài 2:Cho tam giỏc ABC. Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H.Gọi D là điểm đối xứng của H qua trung điểm M của BC.
a) Chứng minh tứ giỏc ABDC nội tiếp được trong một đường trũn.Xỏc định tõm O của đường trũn đú.
b) Đường thẳng DH cắt đường trũn (O) tại điểm thứ 2 là I. Chứng minh rằng 5 điểm A, I, F, H, E cựng nằm trờn một đường trũn.
Bài 3:Cho hai đường trũn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Tia OA cắt đường trũn (O') tại C, tia O'A cắt đường trũn (O) tại D. Chứng minh rằng:
a) Tứ giỏc OO'CD nội tiếp.
b) Tứ giỏc OBO'C nội tiếp, từ đú suy ra năm điểm O, O', B, C, D cựng nằm trờn một đường trũn.
Bài 4:Cho tứ giỏc ABCD nội tiếp nửa đường trũn đường kớnh AD. Hai đường chộo AC và BD cắt nhau tại E. Vẽ EF vuụng gúc AD. Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh rằng:
a) Cỏc tứ giỏc ABEF, DCEF nội tiếp được. b) Tia CA là tia phõn giỏc của gúc BCF. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
c)* Tứ giỏc BCMF nội tiếp được.
Bài 5:Từ một điểm M ở bờn ngoài đường trũn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường trũn. Trờn cung nhỏ AB lấy một điểm C. Vẽ CD ⊥ AB, CE ⊥ MA, CF ⊥ MB. Gọi I là giao điểm của AC và DE, K là giao điểm của BC và DF. Chứng minh rằng: a) Cỏc tứ giỏc AECD, BFCD nội tiếp được.
b) CD2 = CE. CF c)* IK // AB
Bài 6:Cho tam giỏc ABC nội tiếp đường trũn (O). Từ A vẽ tiếp tuyến xy với đường trũn. Vẽ hai đường cao BD và CE.
a) Chứng minh rằng bốn điểm B, C, D, E cựng nằm trờn một đường trũn. b) Chứng minh rằng xy// DE, từ đú suy ra OA ⊥ DE.
Bài 7:Cho tam giỏc đều ABC nội tiếp đường trũn (O). Trờn cung nhỏ AB lấy một điểm M. Đường thẳng qua A song song với BM cắt CM tại N.
a) Chứng minh rằng tam giỏc AMN là tam giỏc đều. b) Chứng minh rằng MA + MB = MC.
c)* Gọi D là giao điểm của AB và CM. Chứng minh rằng:
MD1 1 MB 1 AM 1 + =
Bài 8:Cho ba điểm A, B, C cố định với B nằm giữa A và C. Một đường trũn (O) thay đổi đi qua B và C. Vẽ đường kớnh MN vuụng gúc với BC tại D ( M nằm trờn cung nhỏ BC).Tia AN cắt đường trũn (O) Tại một điểm thứ hai là F. Hai dõy BC và MF cắt nhau tại E. Chứng minh rằng:
a) Tứ giỏc DEFN nội tiếp được. b) AD. AE = AF. AN
c) Đường thẳng MF đi qua một điểm cố định.
Bài 9:Từ một điểm A ở bờn ngoài đường trũn ( O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường trũn. Gọi M là trung điểm của AB. Tia CM cắt đường trũn tại điểm N. Tia AN cắt đường trũn tại điểm D.
a) Chứng minh rằng MB2 = MC. MN b) Chứng minh rằng AB// CD
c) Tỡm điều kiện của điểm A để cho tứ giỏc ABDC là hỡnh thoi. Tớnh diện tớch cử hỡnh thoi đú.
Bài 10:Cho đường trũn (O) và một dõy AB. Gọi M là điểm chớnh giữa của cung nhỏ AB. Vẽ đường kớnh MN Cắt AB tại I. Gọi D là một điểm thuộc dõy AB. Tia MD cắt đường trũn (O) tại C.
a) Chứng minh rằng tứ giỏc CDIN nội tiếp được
b) Chứng minh rằng tớch MC. MD cú giỏ trị khụng đổi khi D di động trờn dõy AB. c) Gọi O' là tõm của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ACD.
Chứng minh rằng ∠MAB = 2 1
∠ AO'D.
d) Chứng minh rằng ba điểm A, O', N thẳng hàng và MA là tiếp tuyến của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ACD.
Bài 11:Cho tam giỏc ABC vuụng ở A ( AB < AC), đường cao AH. Trờn đoạn thẳng HC lấy D sao cho HD = HB. Vẽ CE vuụng gúc với AD ( E ∈ AD).
a) Chứng minh rằng AHEC là tứ giỏc nội tiếp.
b) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc AHEC. c) Chứng minh rằng CH là tia phõn giỏc của gúc ACE.
d) Tớnh diện tớch hỡnh giới hạn bởi cỏc đoạn thẳng CA. CH và cung nhỏ AH của đường trũn núi trờn biết AC= 6cm, ∠ACB = 300.
Bài 12:Cho đường trũn tõm O cú đường kớnh BC. Gọi A là Một điểm thuộc cung BC ( AB < AC), D là điểm thuộc bỏn kớnh OC. Đường vuụng gúc với BC tại D cắt AC ở E, cắt tia BA ở F.
a) Chứng minh rằng ADCF là tứ giỏc nội tiếp.
b) Gọi M là trung điểm của EF. Chứng minh rằng ∠AME = 2 ∠ACB. c) Chứng minh rằng AM là tiếp tuyến của đường trũn (O).
d) Tớnh diện tớch hỡnh giới hạn bởi cỏc đoạn thẳng BC, BA và cung nhỏ AC của đường trũn (O) biết BC= 8cm, ∠ABC = 600.
Bài 13:Cho nửa đường trũn tõm O, đường kớnh AB = 2R. Điểm M thuộc nửa đường trũn. Vẽ đường trũn tõm M tiếp xỳc với AB ( H là tiếp điểm). Kẻ cỏc tiếp tuyến AC, BD với đường trũn (M) ( C, D là tiếp điểm). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
a) Chứng minh rằng C, M, D thẳng hàng
b) Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường trũn (O). c) Tớnh tổng AC + BD theo R.
d) Tớnh diện tớch tứ giỏc ABDC biết ∠AOM = 600.
Bài 14:Cho ∆ vuụng cõn ABC (∠A = 900), trung điểm I của cạnh BC. Xột một điểm D trờn tia AC. Vẽ đường trũn (O) tiếp xỳc với cỏc cạnh AB, BD, DA tại cỏc điểm tương ứng M, N, P.
a) Chứng minh rằng 5 điểm B, M, O, I, N nằm trờn một đường trũn. b) Chứng minh rằng ba điểm N, I, P thẳng hàng.
c) Gọi giao điểm của tia BO với MN, NP lần lượt là H, K. Tam giỏc HNK là tam giỏc gỡ, tại sao?
d) Tỡm tập hợp điểm K khi điểm D thay đổi vị trớ trờn tia AC.
Bài 1: Cho hai đường trũn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm A và B. Đường thẳng AO cắt đường trũn (O) và (O') lần lượt tại C và C'. Đường thẳng AO' cắt đường trũn (O) và (O') lần lượt tại D và D'.
a) Chứng minh C, B, D' thẳng hàng b) Chứng minh tứ giỏc ODC'O' nội tiếp
c) Đường thẳng CD và đường thẳng D'C' cắt nhau tại M. Chứng minh tứ giỏc MCBC' nội tiếp.
Bài 2:Từ một điểm C ở ngoài đường trũn ( O) kể cỏt tuyến CBA. Gọi IJ là đường kớnh vuụng gúc với AB. Cỏc đường thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đường trũn (O) tại M, N.
a) Chứng minh rằng IN, JM và AB đồng quy tại một điểm D.
b) Chứng minh rằng cỏc tiếp tuyến của đường trũn (O) tại M, N đi qua trung điểm E của CD.
Bài 3:Cho hai đường trũn ( O; R) và ( O'; R' ) tiếp xỳc ngoài tại A ( R> R' ). Đường nối tõm OO' cắt đường trũn (O) và (O') theo thứ tự tại B và C ( B và C khỏc A). EF là dõy cung của đường trũn (O) vuụng gúc với BC tại trung điểm I của BC, EC cắt đường trũn (O') tại D. a) Tứ giỏc BEFC là hỡnh gi?
b) Chứng minh ba điểm A, D, F thẳng hàng.
c) CF cắt đường trũn (O’) tại G. Chứng minh ba đường EG, DF và CI đồng quy. d) Chứng minh ID tiếp xỳc với đường trũn (O’).
Bài 4:Cho đường trũn (O) và (O’) tiếp xỳc ngoài tại C. AC và BC là đường kớnh của (O) và (O’), DE là tiếp tuyến chung ngoài (D ∈ (O), E ∈ (O’)). AD cắt BE tại M.
a) Tam giỏc MAB là tam giỏc gỡ?
b) Chứng minh MC là tiếp tuyến chung của (O) và (O’).
c) Kẻ Ex, By vuụng gúc với AE, AB. Ex cắt By tại N. Chứng minh D, N, C thẳng hàng.
d) Về cựng phớa của nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đường trũn đường kớnh AB và OO’. Đường thẳng qua C cắt hai nửa đường tũn trờn tại I, K. Chứng minh OI // AK.
Chủ đề 4: Chứng minh điểm cố định.
Bài 1:Cho đường trũn (O ; R). Đường thẳng d cắt (O) tại A, B. C thuộc d ở ngoài (O). Từ điểm chớnh giữa P của cung lớn AB kẻ đường kớnh PQ cắt AB tại D. CP cắt (O) tại điểm thứ hai I, AB cắt IQ tại K.
a) Chứng minh tứ giỏc PDKI nội tiếp. b) Chứng minh: CI.CP = CK.CD. c) Chứng minh IC là phõn giỏc ngoài của tam giỏc AIB.
d) A, B, C cố định, (O) thay đổi nhưng vẫn luụn qua A, B. C/m rằng IQ luụn đi qua điểm cố định.
Bài 2:Cho tam giỏc đều ABC nội tiếp (O ; R). M di động trờn AB. N di động trờn tia đối của tia CA sao cho BM = CN.
a) Đường trũn ngoại tiếp tam giỏc AMN cắt (O) tại A và D. Chứng minh rằng D cố định. b) Tớnh gúc MDN.
c) MN cắt BC tại K. Chứng minh DK vuụng gúc với MN. d) Đặt AM = x. Tớnh x để diện tớch tam giỏc AMN là lớn nhất.
Bài 3:Cho (O ; R). Điểm M cố định ở ngoài (O). Cỏt tuyến qua M cắt (O) tại A và B. Tiếp tuyến của (O) tại A và B cắt nhau tại C.
a) Chứng minh tứ giỏc OACB nội tiếp đường trũn tõm K. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
b) Chứng minh: (K) qua hai điểm cố định là O và H khi cỏt tuyến quay quanh M. c) CH cắt AB tại N, I là trung điểm AB. Chứng minh MA.MB = MI.MN.
d) Chứng minh: IM.IN = IA2.
Bài 4:Cho nửa đường trũn đường kớnh AB tõm O. C là điểm chớnh giữa cung AB. M di động trờn cung nhỏ AC. Lấy N thuộc BM sao cho AM = BN.
a) So sỏnh tam giỏc AMC và BCN. b) Tam giỏc CMN là tam giỏc
gỡ?
c) Kẻ dõy AE//MC. Chứng minh tứ giỏc BECN là hỡnh bỡnh hành.
d) Đường thẳng d đi qua N và vuụng gúc với BM. Chứng minh d luụn đi qua điểm cố định.
Bài 5:Cho đường trũn (O ; R), đường thẳng d cắt (O) tại hai điểm C và D. Điểm M tuỳ ý trờn d, kẻ tiếp tuyến MA, MB. I là trung điểm của CD.
a) Chứng minh 5 điểm M, A, I, O, B cựng thuộc một đường trũn. b) Gọi H là trực tõm của tam giỏc MAB, tứ giỏc OAHB là hỡnh gỡ? c) Khi M di đồng trờn d. Chứng minh rằng AB luụn qua điểm cố định.
d) Đường thẳng qua C vuụng gúc với OA cắt AB, AD lần lượt tại E và K. Chứng minh EC = EK
Chủ đề 5: Chứng minh hai tam giỏc đồng dạng và chứng minh đẳng thức hỡnh học.
Bài 1:Cho đường trũn (O) và dõy AB. M là điểm chớnh giữa cung AB. C thuộc AB, dõy MD qua C.
a) Chứng minh MA2 = MC.MD. b) Chứng minh MB.BD = BC.MD. c) Chứng minh đường trũn ngoại tiếp tam giỏc BCD tiếp xỳc với MB tại B.
d) Gọi R1, R2 là bỏn kớnh cỏc đường trũn ngoại tiếp tam giỏc BCD và ACD. Chứng minh R1 + R2 khụng đổi khi C di động trờn AB.
Bài 2:Cho nửa đường trũn tõm O, đường kớnh AB = 2R và một điểm M trờn nửa đường trũn (M khỏc A, B). Tiếp tuyến tại M của nửa đường trũn cắt cỏc tiếp tuyến tại A, B lần lượt ở C và E.
a) Chứng minh rằng CE = AC + BE. b) Chứng minh AC.BE = R2. c) Chứng minh tam giỏc AMB đồng dạng với tam giỏc COE.
d) Xột trường hợp hai đường thẳng AB và CE cắt nhau tại F. Gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc của M trờn AB. + Chứng minh rằng: FB FA HB HA = .
+ Chứng minh tớch OH.OF khụng đổi khi M di động trờn nửa đường trũn.
Bài 3:Trờn cung BC của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc đều ABC lấy một điểm P bất kỡ. Cỏc đường thẳng AP và BC cắt nhau tại Q. Chứng minh rằng: PQ1 = PB1 +PC1 .
Bài 4:Cho gúc vuụng xOy. Trờn tia Ox đặt đoạn OA = a. Dựng đường trũn (I ; R) tiếp xỳc với Ox tại A và cắt Oy tại hai điểm B, C. Chứng minh cỏc hệ thức:
a) 2 2 2 a 1 AC 1 AB 1 + = . b) AB2 + AC2 = 4R2.
Chủ đề 6: Cỏc bài toỏn về tớnh số đo gúc và số đo diện tớch.
Bài 1:Cho hai đường trũn (O; 3cm) và (O’;1 cm) tiếp xỳc ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC (B ∈ (O); C ∈ (O’)).
a) Chứng minh rằng gúc O’OB bằng 600. b) Tớnh độ dài BC.
c) Tớnh diện tớch hỡnh giới hạn bởi tiếp tuyến BC và cỏc cung AB, AC của hai đường trũn.
Bài 2:Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10 cm, CB = 40 cm. Vẽ về một phớa của AB cỏc nửa đường trũn cú đường kớnh theo thứ tự là AB, AC, CB và cú tõm theo thứ tự là O, I, K. Đường vuụng gúc với AB tại C cắt nửa đường trũn (O) ở E. Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của EA, EB với cỏc nửa đường trũn (I), (K).
a) Chứng ming rằng EC = MN.
c) Tớnh độ dài MN.
d) Tớnh diện tớch hỡnh được giới hạn bởi ba nửa đường trũn.
Bài 3:Từ một điểm A ở bờn ngoài đường trũn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường trũn. Từ một điểm M trờn cung nhỏ BC kẻ một tiếp tuyến thứ ba cắt hai tiếp tuyến kia tại P và Q. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
a) Chứng minh rằng: Khi điểm M chuyển động trờn cung BC nhỏ thỡ chu vi tam giỏc APQ cú giỏ trị khụng đổi.
b) Cho biết BAC = 600 và bỏn kớnh của đường trũn (O) bằng 6 cm. Tớnh độ dài của tiếp tuyến AB và diện tớch phần mặt phẳng được giới hạn bởi hai tiếp tuyến AB, AC và cung nhỏ BC.
Bài 4:Cho tam giỏc cõn ABC (AB = AC), I là tõm đường trũn nội tiếp , K là tõm đường trũn bàng tiếp gúc A, O là trung điểm của IK.
a) Chứng minh rằng: 4 điểm B, I, C, K cựng thuộc một đường trũn. b) Chứng minh rằng: AC là tiếp tuyến của đường trũn (O).
c) Tớnh bỏn kớnh của đường trũn (O) biết AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm.
Bài 5: Cho đường trũn tõm O đường kớnh AB = 2R. E là một điểm trờn đường trũn mà AE > EB. M là một điểm trờn đoạn AE sao cho AM.AE = AO.AB.