7. Cấu trúc luận văn
2.3. Thiết kế mô hình nhằm giúp học sinh phát triển trí tưởng tượng
gian trong một số tình huống giải toán hình học không gian
Ở mức độ thấp, năng lực tưởng tượng không gian dừng ở yêu cầu khi quan sát các hình không gian thì vẽ được hình biểu diễn, và ngược lại từ việc nhìn hình biểu diễn có thể hình dung, mô tả được hình không gian tương ứng. Ở mức độ cao hơn, học sinh cần xác định được vị trí tương đối của các đối tượng không gian (điểm, đường thẳng, mặt phẳng…), kết hợp với việc vận dụng suy lí để hiểu sâu hơn và nắm vững kết cấu bên trong và tính chất của các hình khối không gian. Geospace với khả năng cho phép người dùng quan sát hình ở các góc độ khác nhau, khả năng làm “trong suốt” hoặc ẩn đi một phần của các hình không gian sẽ giúp cho học sinh hình dung tốt hơn về vị trí tương đối của các đối tượng không gian, cũng có nghĩa là giúp phát triển trí tưởng tượng không gian lên một mức cao hơn.
Dưới đây là một số bài toán có sử dụng sự hỗ trợ của phần mềm Geospace nhằm góp phần phát triển trí tưởng tượng không gian dần lên một mức cao hơn.
Bài toán 1: Cho hình chóp S.ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của AB, SA. Tìm giao điểm của NC và (SMD)
49
Bài toán này được đưa ra cho học sinh khi các em mới bắt đầu học dạng toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng. Một số em nhìn hình biểu diễn trên đã lầm tưởng NC cắt MD. Mô hình thiết kế bằng Geospace có thể giúp các em xác định đúng vị trí tương đối của hai đường này. Tất nhiên chỉ bằng việc lập luận logic cũng chỉ ra được NC và MD là hai đường thẳng chéo nhau, nhưng với sự hỗ trợ của phần mềm, vấn đề cần quan tâm trở nên đơn giản, trực quan và giàu sức thuyết phục với các em học sinh hơn.
Hình vẽ được xoay để học sinh có thể quan sát ở các góc độ khác nhau, và khi nhìn mỗi hình biểu diễn tương ứng, các em học sinh dễ dàng nhận thấy NC không thể cắt MD, SD hay SM.
Hình 2.19
Giáo viên thiết kế làm mờ một hoặc một số mặt của hình chóp để học sinh có thể “nhìn” được rõ hơn đường NC không thể cắt một trong số các đường thẳng đã có sẵn của (SDM) và cũng hình dung rõ hơn vị trí tương đối của các đối tượng nằm bên trong hình chóp. Điều này đặc biệt có ý nghĩa với những học sinh có khả năng tưởng tượng hình không gian chưa tốt.
50 Hình 2.20
Nếu học sinh vẫn chưa hình dung được dễ dàng, có thể tiếp tục làm mờ đi (SAB), sau đó là (SCD) và nhận được hình như sau:
Hình 2.21
Bằng cách này, học sinh sẽ thấy NC và (SDM) có giao điểm nhưng giao điểm ấy không nằm trên các đường sẵn có của (SDM). Vậy phải tìm giao điểm bằng cách nào? Giáo viên sẽ dẫn dắt học sinh đến cách tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng bằng phương pháp mặt phẳng trung gian:
- NC nằm trong (SAC);
- Gọi O là giao điểm của AC và DM, suy ra SO(SAC)(SDM); - Gọi I là giao điểm của SO và NC. I chính là giao điểm cần tìm:
51 Hình 2.22
Qua bài toán trên, ta thấy Geospace có khả năng giúp học sinh hình dung ra đường thẳng cắt mặt phẳng, hơn nữa hình dung được giao điểm. Nhưng để tìm ra vị trí chính xác của giao điểm thì sự quan sát hay trí tưởng tượng không giải quyết được. Đó là phần việc của tư duy. Vì vậy, để học tốt được hình không gian, học sinh cần phải kết hợp năng lực tưởng tượng với năng lực tư duy logic, tư duy thuật toán.
Bài toán 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD. M và N là hai điểm lần lượt nằm trên SC, BC. Xác định giao điểm của SD và (AMN).
Đây cũng là một bài toán tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng nhưng có “độ khó” cao hơn bài toán 1.
Hình 2.23
52
Những hình trên là hình biểu diễn có được khi xoay hình chóp để nhìn ở các góc khác nhau. Khi nhìn hình biểu diễn như ở trên, học sinh gặp trở ngại trong việc hình dung rằng SD có cắt (AMN). Nguyên do là các em dễ lầm tưởng mặt phẳng (AMN) chỉ có là miền tam giác AMN. Có thể khắc phục sai lầm này bằng cách “mở rộng” miền tam giác AMN, giúp các em tưởng tượng tốt hơn về vị trí tương đối của SD và (AMN).
Hình 2.24
Cũng có thể xoay hình chóp để học sinh hình dung dễ dàng hơn:
Hình 2.25
Đến đây, học sinh sẽ thấy rằng rõ ràng SD có cắt (AMN) chứ không phải như cảm nhận lúc nhìn hình biểu diễn đầu tiên vẽ được.Việc tiếp theo là hướng
53
dẫn học sinh cách tìm ra vị trí giao điểm. Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh cách tìm giao điểm với sự trợ giúp của Geospace như sau:
Chọn (SBD) là mặt phẳng chứa SD, việc tìm giao điểm sẽ đưa về việc tìm giao tuyến của (AMN) và (SBD). Dùng chức năng xác định giao tuyến của hai mặt phẳng để hiển thị giao tuyến của (AMN) và (SBD).
Hình 2.26
Tiếp theo làm mờ đi một số mặt của hình chóp và xoay hình để học sinh nhìn rõ hơn giao tuyến này sẽ đi qua những điểm nằm trên những đường nào. Hình dưới đây có được khi làm mờ đi (SAD), (SAB) và (SBC):
Hình 2.27
54
Dựa vào sự gợi ý trên, học sinh sẽ nhận thấy giao tuyến cần tìm đi qua giao điểm của AN và AM với mặt phẳng (SBD). Bài toán sẽ được giải quyết nếu tìm được hai giao điểm này. Đến đây sẽ chia thành hai bài toán nhỏ và dễ hơn:
- Tìm giao điểm của AN và (SBD). - Tìm giao điểm của AM và (SBD).
Các em dễ dàng xác định được các giao điểm này và giáo viên có thể dùng Geospace giúp các em kiểm tra việc xác định của mình có chính xác không.
Hình 2.28
Bài toán 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. M, N, K lần lượt là trung điểm của DC, CB, SO. Tìm giao tuyến của (MNK) và (SAD).
Bài toán trên thuộc dạng tìm giao tuyến của hai mặt phẳng – một dạng toán thường gặp khi học sinh bắt đầu làm quen với nội dung hình học không gian. Đây không phải là bài toán khó nhưng khi mới bắt đầu tiếp xúc với hình học không gian thì học sinh thường nhầm lẫn giữa cách vẽ của hình phẳng với cách vẽ hình biểu diễn của hình không gian, do đó dễ ngộ nhận những đường thẳng chéo nhau thành những đường thẳng cắt nhau. Từ đó xác định sai điểm
55
chung của hai mặt phẳng, dẫn đến xác định giao tuyến sai. Phần mềm Geospace có thể giúp khắc phục điều này.
Hình 2.29
Nhìn hình trên, một số em học sinh cho rằng MK và AD là hai đường thẳng cắt nhau, hoặc MK kéo dài cắt SA tại một điểm nào đó. Ta xoay hình nhằm giúp học sinh xác định kiểm tra những nhận định đó một cách trực quan:
56
Nhìn hình ở góc khác nhau như trên, học sinh có thể hình dung rõ ràng hơn MK và AD hay MK và SA là các đường thẳng chéo nhau, từ đó học sinh sẽ biết không có giao điểm nào giữa chúng cả. Tương tự, có thể kiểm tra với các cặp đường thẳng còn lại. Nhờ đó, học sinh có thể nhận thấy rằng với các đường thẳng đã có sẵn của (MNK) và (SAD) thì MN và AD cắt được nhau vì chúng cùng nằm trên mặt phẳng đáy. Ta xác định được điểm chung thứ nhất của (MNK) và (SAD).
Hình 2.31
Sau đó, giáo viên có thể gợi ý để học sinh tìm điểm chung thứ hai bằng cách tìm giao điểm của SA và (MNK). Trong trường hợp này, tưởng tượng không thể tách rời tư duy. Năng lực tư duy sẽ giúp giải quyết phần còn lại của bài toán.
57
Có hai điểm chung của hai mặt phẳng (SAD) và (MNK) chúng ta được giao tuyến cần tìm là đường thẳng EI.
Hình 2.33
Bài toán 4: Cho hình chóp S.ABCD. Lấy điểm C1 trên đoạn thẳng SC. Hãy xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi (ABC1).
Bài toán tìm thiết diện về bản chất là bài toán xác định giao tuyến – cần tìm các đoạn giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của hình chóp cho đến khi chúng khép kín tạo thành một miền đa giác. Giáo viên cũng có thể sử dụng phần mềm nhằm giúp học sinh tưởng tượng được mặt phẳng đã cho có thể cắt những mặt nào của hình chóp, từ đó phán đoán được cần tìm những giao điểm nào để có được các đoạn giao tuyến. Chẳng hạn, giáo viên có thể thiết kế mô hình và cho nó xoay để quan sát ở các góc khác nhau như sau:
58
Khi quan sát sự chuyển động của hình chóp trên, học sinh có thể hình dung được cần phải tìm giao tuyến của mặt phẳng (ABC1) với hai mặt bên của hình chóp là (SCD) và (SAD), và như vậy sẽ đưa về việc tìm giao điểm của (ABC1) với SD – dạng toán tìm giao điểm quy trình giải rõ ràng.
Trước hết, ta thấy SD trong (SBD). Chúng ta tìm giao tuyến SO của (SAC) và (SBD). Vì SO và AC1 cắt nhau tại I nên I chính là một điểm chung của (ABC1) và (SBD). Từ đó tìm được giao tuyến BI của hai mặt phẳng này. Giao điểm D1 của BI và SD chính là giao điểm cần tìm của (ABC1) và SD.
Hình 2.35
Từ các kết quả trên, dễ thấy AB, BC1, C1D1, D1A chính là các đoạn giao tuyến của (ABC1) với các mặt của hình chóp, chúng tạo thành miền đa giác ABC1D1 là thiết diện cần tìm.
Hình 2.36
59
Để học sinh hình dung rõ hơn về khái niệm thiết diện, giáo viên có thể thiết lập một phép dời hình để tách rời hình chóp nói trên thành hai phần riêng biệt.
Hình 2.37
Ngoài việc dùng Geospace để giúp học sinh tìm ra hướng giải của các bài toán như một số ví dụ trên, giáo viên còn có thể sử dụng phần mềm này để giúp học sinh kiểm nghiệm lại việc xác định hình biểu diễn mà các em vẽ được có đúng không.
Bài toán 5: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Điểm M di động trên tia AC, N, K là hai điểm cố định lần lượt nằm trên các đoạn thẳng A’B’, A’D’. Xác định thiết diện của hình lập phương khi cắt bởi (MNK). Thiết diện là hình gì?
Khi điểm M chuyển động trên tia AC thì thiết diện thay đổi theo, và tùy thuộc vào từng vị trí của điểm M mà thiết diện có thể có các hình dạng khác nhau. Vì vậy, với bài toán này, học sinh rất khó tưởng tượng được sự thay đổi của thiết diện mặc dù nếu cho M ở một vị trí cố định, các em có thể dựng được thiết diện trong từng trường hợp cụ thể. Geospace có thể giúp ích rất nhiều với những bài toán thiết diện thay đổi như bài toán trên.
60
Trước hết, giáo viên nên để học sinh tự vẽ hình biểu diễn, có nghĩa là các em sẽ phải dùng đến đồng thời năng lực tưởng tượng không gian và năng lực tư duy lôgic. Và khả năng rất lớn là các em sẽ không đưa ra được đầy đủ các trường hợp có thể xảy ra. Khi đó, giáo viên có thể trình chiếu hình dựng được bằng phần mềm Geospace để các em kiểm nghiệm lại những gì mình đã làm có chính xác không và thiết diện đã thay đổi như thế nào.
61
Như vậy, với bài toán trên, câu trả đúng phải là: thiết diện tìm được có thể là tam giác, hoặc tứ giác, hoặc ngũ giác, hoặc lục giác. Cũng có những vị trí của điểm M để thiết diện trở thành các hình đặc biệt như hình thang, hình chữ nhật.
Bài toán 6: Hãy phân chia khối chóp ngũ giác thành 3 khối tứ diện, khối hộp thành 5 khối tứ diện.
Với bài toán phân chia một khối đa diện thành nhiều khối đa diện, cần đảm bảo yêu cầu các khối đa diện có phần trong không giao nhau và hợp các khối đa diện bằng đúng khối ban đầu. Khi giải dạng toán này, học sinh rất dễ vi phạm một hoặc cả hai yêu cầu trên.
Sau đây là một cách phân chia các khối đa diện được đưa ra trong đề bài bằng cách dùng Geospace giúp tách ngay khối đa diện nhỏ ra khỏi khối ban đầu, và tất nhiên học sinh chỉ cần quan sát và tìm cách phân chia tiếp phần còn lại, tránh sự chồng chéo, sai lầm khi chỉ dựa trên hình biểu diễn trên bảng hoặc tờ giấy. Nguyên tắc của cách phân chia này là ta chọn 4 điểm không đồng phẳng thì tạo được một dứ diện, tách tứ diện đó ra khỏi khối ban đầu sau đó lặp lại thao tác trên cho đến khi khối còn lại cuối cùng là tứ diện.
Phân chia khối chóp ngũ giác S.ABCDE thành 3 khối tứ diện:
62
c) Tách ra khối SAEB d) Tạo tứ diện SEBC và SECD
f) Tách thành 3 khối tứ diện Hình 2.39
Phân chia khối chóp khối hộp thành 5 khối tứ diện:
63
c) Tách ra khối BA’B’C’ d) Tạo khối BCDC’
e) Tách ra khối BCDC’ f) Tạo khối DA’B’C’
64
h) Tách thành 5 khối tứ diện Hình 2.40
Bài toán 7: Một loại đá quý có dạng khối lập phương, cạnh bằng 2cm. Để làm đồ mỹ nghệ, người ta cắt 4 góc của khối lập phương sao cho các mặt cắt vuông góc với đường chéo của khối lập phương, tạo thành một khối mới có 14 mặt và diện tích của mỗi mặt là bằng nhau. Tìm diện tích của mỗi mặt.
Bài toán trên là một bài phức tạp và dành cho học sinh khá, giỏi. Ngay khi đọc đề bài, học sinh rất lúng túng vì không hình dung được khối 14 mặt đó như thế nào. Nếu yêu cầu các em xác định thiết diện của lập phương với một mặt phẳng vuông góc với một đường chéo thì các em có thể dựng được nhưng khi có đến 8 mặt phẳng lần lượt vuông góc với các đường chéo thì rõ ràng phức tạp hơn rất nhiều. Học sinh dễ mắc sai lầm trong việc xác định các mối quan hệ giữa các mặt, các đoạn giao tuyến xuất hiện trong bài toán này. Ngoài ra, khối 14 mặt này thay đổi khi các mặt phẳng nói trên ở các vị trí khác nhau, dẫn đến khi giải bài toán sẽ bị thiếu trường hợp nếu không tưởng tượng đúng hình. Chúng ta có thể giúp học sinh dễ tưởng tượng hơn với hình trong bài toán này nhờ sự hỗ trợ của phần mềm Geospace.
Đầu tiên, cho học sinh quan sát mối liên quan của 4 mặt phẳng lần lượt vuông góc với 4 đường chéo của lập phương để các em hình dung ra các khả năng cần phải xét đến:
65
Hình 2.41
Giả sử (N1N2N3) là một mặt cắt như hình trên. Đặt BN1 x (0x 2). Cho x thay đổi để học sinh quan sát được các trường hợp khác nhau cần phải xem xét.
- Trường hợp 1: 0x1. Khi đó hình 14 mặt sẽ gồm 6 mặt là 6 bát giác bằng nhau và 8 mặt là 8 tam giác bằng nhau.
- Trường hợp 2: x 1. Khi đó hình 14 mặt sẽ gồm 6 mặt là 6 hình vuông bằng nhau và 8 mặt là 8 tam giác bằng nhau.
- Trường hợp 3: 1 x 2. Khi đó hình 14 mặt sẽ gồm 6 mặt là 6 hình vuông bằng nhau và 8 mặt là 8 lục giác bằng nhau.
Chỉ khi phân chia đúng các trường hợp thì học sinh mới có thể giải đúng bài toán này.
Ta lần lượt xét từng trường hợp: - Trường hợp 1: 0x1
Hình 2.42
66
Có thể ẩn đi hình lập phương để quan sát rõ hơn hình 14 mặt nhận được:
Hình 2.43
Dễ thấy mặt tam giác của khối 14 mặt có diện tích là 2 x 2
3
. Mặt bát
giác có được bằng cách cắt đi 4 tam giác vuông cân bằng nhau ở 4 góc của một mặt của lập phương. Có thể sử dụng chức năng quan sát hình vẽ trong mặt