7. Cấu trúc luận văn
2.2.3. Hỗ trợ học sinh tưởng tượng về hình lăng trụ
Có hai loại hình đa diện mà trong chương trình hình học không gian đề cập đến nhiều, đó là hình chóp và hình lăng trụ. Phần lớn các bài tập về hình đa diện gắn liền với hình chóp hoặc hình lăng trụ. Việc nghiên cứu các tính chất, các yếu tố của hai hình này giúp cho học sinh nắm vững được các mối quan hệ, vị trí tương đối của các đối tượng cơ bản của hình học không gian.
Định nghĩa hình lăng trụ được trình bày trong sách giáo khoa Hình học 11 như sau:
“Cho hai mặt phẳng song song (P) và (P’). Trên (P) cho đa giác A1A2…An. Qua các đỉnh A1, A2,…, An ta vẽ các đường thẳng song song với nhau và cắt (P’) lần lượt tại A’1, A’2,…, A’n. Hình gồm hai đa giác A1A2…An, A’1A’2…A’n và các hình bình hành A1A2A’2A’1, A2A3A’3A’2,…, AnA1A’1A’n
được gọi là hình lăng trụ.”
Đây là một hình phổ biến trong thực tế. Khi dạy khái niệm này, ngoài các mô hình trực quan chuẩn bị sẵn, giáo viên có thể lấy thêm nhiều ví dụ ngay trong thực tế cuộc sống để minh họa và giúp học sinh nắm được khái niệm. Sau đó, có thể kết hợp với mô hình được thiết kế bằng phần mềm Geospace để giúp các em quan sát, nắm vững và hình dung một cách đúng đắn về hình lăng trụ. Cũng nhờ sự quan sát bằng hình dựng được bằng phần mềm, các em sẽ biết cách vẽ hình biểu diễn của hình lăng trụ và ngược lại, nhìn một hình biểu diễn sẵn có, các em có thể tưởng tượng và mô tả được hình lăng trụ ở góc nhìn đang được thể hiện.
Dưới đây là một ví dụ về mô hình hình lăng trụ ngũ giác. Tùy vào ý đồ sư phạm mà giáo viên có thể lựa chọn cho hình lăng trụ này xoay theo các hướng khác nhau để giúp học sinh thấy được sự thay đổi của các mặt nhìn thấy
38
hay bị khuất khi nhìn ở các góc khác nhau, từ đó giúp học sinh hình dung ra cách vẽ trên hình biểu diễn.
Dưới đây là một số hình ảnh có được khi quan sát hình lăng trụ trong quá trình cho nó “chuyển động”:
Hình 2.6
Trên đây chỉ là một ví dụ về hình lăng trụ ngũ giác. Tùy vào mục tiêu của bài học và các tình huống sư phạm cụ thể, giáo viên có thể thiết kế các lăng trụ khác như lăng trụ tam giác, lăng trụ tứ giác hoặc các hình lăng trụ đặc biệt hơn như hình hộp, hình lăng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lăng trụ đều… Chúng ta cũng có thể làm một hoặc một một vài mặt nào đó của hình lăng trụ “trong suốt” hoặc ẩn đi để giúp quan sát dễ dàng hơn các yếu tố nằm bên trong
39
hình lăng trụ đó. Tất cả các thiết lập đó đều có thể điều khiển một cách linh động khi trình chiếu cho học sinh quan sát.
Ví dụ: Xét một bài toán sau:
“Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Lấy một đỉnh bất kì, A chẳng hạn, ta có ba cạnh chung đỉnh A là AB, AD, AA’. Ba đỉnh B, D, A’ tạo thành một miền tam giác gọi là mặt chéo tam giác ứng với đỉnh A. Hình hộp có 8 mặt chéo tam giác. Hai đỉnh không cùng thuộc một mặt nào của hình hộp gọi là hai đỉnh đối diện, chẳng hạn A và C’ là hai đỉnh đối diện. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của hình hộp. Như vậy hình hộp có 4 đường chéo. Chứng minh rằng:
a) Hai mặt chéo tam giác ứng với hai đỉnh đối diện thì nằm trên hai mặt phẳng song song.
b) Hai mặt chéo nói trên chia đường chéo nối hai đỉnh tương ứng thành ba đoạn bằng nhau.”
Với bài tập trên, học sinh có thể gặp khó khăn trong việc từ lời mô tả trong đề bài phải vẽ được hình biểu diễn, các đối tượng điểm, đường thẳng mặt phẳng ở đây xuất hiện khá nhiều nên có thể làm các em lúng túng trong việc thể hiện chúng lên hình biểu diễn. Và kể cả khi đã vẽ được hình biểu diễn rồi, các em vẫn có thể không hình dung đúng về mối quan hệ giữa các đối tượng đó. Mô hình thiết kế bằng Geospace có thể phần nào giúp học sinh tháo gỡ các khó khăn đó. Trước hết, giáo viên có thể hướng dẫn học sinh hãy chọn hai đỉnh đối diện, chẳng hạn A và C’, sau đó yêu cầu xác định được hai mặt chéo tam giác tương ứng. Học sinh xác định đó là BDA’ và CB’D’. Đến đây, điều khiển hình hộp “xoay” để học sinh biết được nên vẽ hình biểu diễn ở góc độ nào sẽ trực quan nhất:
40
Hình 2.7
Khi đã được quan sát hình dưới nhiều góc nhìn khác nhau, và với những màu sắc được khác biệt đã được dùng để vẽ hai mặt chéo tam giác, học sinh cũng dễ dàng phát hiện được những cặp đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt chéo tam giác này và song song với nhau. Từ đó, các em dễ dàng chứng minh được ý a.
Sang ý b, ta cần kẻ thêm đoạn thẳng AC’. Khó khăn tiếp theo, và rất dễ dẫn đến sai lầm là việc xác định giao điểm của AC’ với hai mặt chéo tam giác nói trên. Tất nhiên, để xác định đúng giao điểm của AC’ với (BDA’) và (CB’D’) này phải dùng đến năng lực tư duy. Tuy nhiên, nếu không có trí tưởng tượng thì việc tìm lời giải sẽ bế tắc. Chúng ta có thể “trợ giúp” cho học sinh bằng cách cho các em nhìn vào bên trong hình hộp khi đã làm tạm ẩn đi một hoặc một số mặt của nó. Đây là hình nhận được khi ta làm ẩn đi mặt (ADD’A’) và sau đó là ẩn tiếp đi mặt (ABCD):
41 Hình 2.8
Với học sinh trung bình và yếu, dựa vào sự gợi ý này, các em có thể hình dung và phán đoán được giao điểm cần tìm của AC’ và (BDA’) không nằm trên các cạnh của tam giác BDA’ mà phải nằm bên trong tam giác đó. Với học sinh khá giỏi, hình trên giúp các em kiểm nghiệm được sự tưởng tượng của mình có đúng không. Các em sẽ tìm được chính xác vị trí giao điểm này bằng phương pháp tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng đã được học trước đó.
Đến đây, việc hình dung ra vị trí giao điểm của AC’ với (CB’D’) cũng dễ dàng hơn. Cũng có thể ẩn thêm các mặt khác để quan sát phần bên trong của hình hộp dễ dàng hơn. Hình dưới đây có được khi lần lượt làm mờ đi các mặt (ADD’A’), (CDD’C’), và sau đó làm mờ tiếp (ABCD):
Hình 2.9
42
Rõ ràng, trong bài toán trên, Geospace có thể hỗ trợ rất nhiều trong quá trình tưởng tượng của học sinh. Còn để tìm ra chính xác các giao điểm và chứng minh các giao điểm đó chia đường chéo AC’ thành ba phần bằng nhau thì đó lại là phần việc của năng lực tư duy thuật toán, tư duy lôgic. Tuy nhiên, nếu chỉ có năng lực tư duy mà khả năng tượng tượng không gian kém thì học sinh cũng không thể giải được bài toán trên.
2.2.4. Hỗ trợ học sinh tưởng tượng về hình đa diện đều
Hình đa diện đều được định nghĩa trong sách giáo khoa Hình học 12 như sau:
“ Đa diện đều là đa diện lồi có tính chất sau: i) Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh. ii) Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt.
Đa diện đều như vậy được gọi là đa diện đều loại {p; q}.”
Đa diện đều là những hình có vẻ đẹp cân đối, hài hòa. Người ta chứng minh được rằng chỉ có năm loại đa diện đều là hình tứ diện đều (loại {3; 3}), hình lập phương (loại {4; 3}), hình bát diện đều (loại {3; 4}), hình mười hai mặt đều (loại {5; 3}) và hình hai mươi mặt đều (loại {3; 5}). Trong chương trình hình học ở trường trung học phổ thông, học sinh được học kĩ hơn về hình tứ diện đều, hình lập phương và hình bát diện đều. Chúng ta có thể thiết kế được mô hình các hình đa diện đều này bằng Geospace, giúp học sinh thấy được sự thú vị và mối liên quan giữa chúng.
Xét bài toán: “Chứng minh rằng trung điểm các cạnh của một tứ diện đều là các đỉnh của một hình bát diện đều”.
Để hướng dẫn học sinh chứng minh bài toán trên, giáo viên có thể gợi ý như sau:
- Xác định các trung điểm, từ đó chỉ ra 4 trung điểm đồng phẳng. Hai trung điểm còn lại có thuộc mặt phẳng đi qua 4 trung điểm nói trên không?
43 Hình 2.10
Học sinh bằng trí tưởng tượng và lập luận chỉ ra được 4 điểm đồng phẳng M, N, G, H và hai điểm E, F không nằm trên (MGNH).
- 6 điểm nói trên tạo thành một hình đa diện. Hãy đọc tên các mặt của hình đa diện?
Học sinh có thể nêu được đầy đủ, hoặc chỉ đúng được tên của một số mặt của đa diện. Giáo viên trợ giúp và cũng có thể để các em kiểm tra mình tưởng tượng có đúng không về đa diện nhận được bằng mô hình thiết kế bằng phần mềm Geospace:
Hình 2.11
Có thể xoay hình hoặc làm mờ đi hình tứ diện đều để quan sát rõ hơn đa diện bên trong:
44 Hình 2.12
Đến đây, học sinh sẽ nhận biết đa diện nhận được là bát diện và đọc đúng tên các mặt của nó. Để chứng minh bát diện nhận được là bát diện đều, cần chỉ ra rằng 8 mặt mà các em vừa nêu tên là các tam giác đều. Và như vậy, trong bài toán trên, mô hình thiết kế bằng Geospace đã hỗ trợ các em trong việc xác định hình bát diện đều – một hình không thật dễ nhận ra nếu chỉ vẽ hình trên bảng hoặc trên giấy.
Tương tự như vậy, có thể giúp học sinh chứng minh được tiếp những mệnh đề sau: “Tâm các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của một bát diện đều. Tâm các mặt của một bát diện đều là các đỉnh của một hình lập phương.”
Dưới đây là hình minh họa cho các mệnh đề trên thiết kế bằng phần mềm Geospace:
Hình 2.13
45 Hình 2.14
2.2.5. Hỗ trợ học sinh tưởng tượng về một số hình khác
Ngoài hình chóp và hình lăng trụ như đã trình bày ở trên, chúng ta có thể dùng Geospace để dựng mô hình của các hình đa diện khác và hình tròn xoay. Khả năng cho phép người dùng quan sát các mô hình này ở nhiều góc nhìn khác nhau giúp cho học sinh trong quá trình học tập nắm vững các khái niệm, các tính chất, các mối quan hệ của các hình không gian và tích lũy thêm nhiều hình ảnh, biểu tượng làm cơ sở cho trí tưởng tượng không gian được phát triển.
Ví dụ, xét hình đa diện có được bằng cách ghép khối chóp lục giác đều và khối lăng trụ lục giác đều có chung đáy. Giáo viên có thể đặt ra các yêu cầu như: vẽ hình biểu diễn của đa diện, nhìn hình khối chỉ ra những đường bị che khuất… để học sinh vận dụng năng lực tưởng tượng của mình.
46 Hình 2.15
Tuy nhiên, Geospace không có sẵn chức năng dựng mô hình đa diện lõm. Để khắc phục điều này, người dùng có thể tạo đa diện bằng cách lần lượt dựng từng mặt của nó. Chẳng hạn hình sau:
47 Hình 2.16
Geospace cũng có sẵn chức năng dựng một số hình tròn xoay như mặt cầu, hình trụ, hình nón.
Một ví dụ khi dạy về vị trí tương đối của một mặt cầu và một mặt phẳng: trình chiếu để học sinh quan sát số điểm chung của mặt phẳng và mặt cầu khi cho mặt phẳng di chuyển lại gần hoặc ra xa mặt cầu:
Hình 2.17
48
2.3. Thiết kế mô hình nhằm giúp học sinh phát triển trí tưởng tượng không gian trong một số tình huống giải toán hình học không gian gian trong một số tình huống giải toán hình học không gian
Ở mức độ thấp, năng lực tưởng tượng không gian dừng ở yêu cầu khi quan sát các hình không gian thì vẽ được hình biểu diễn, và ngược lại từ việc nhìn hình biểu diễn có thể hình dung, mô tả được hình không gian tương ứng. Ở mức độ cao hơn, học sinh cần xác định được vị trí tương đối của các đối tượng không gian (điểm, đường thẳng, mặt phẳng…), kết hợp với việc vận dụng suy lí để hiểu sâu hơn và nắm vững kết cấu bên trong và tính chất của các hình khối không gian. Geospace với khả năng cho phép người dùng quan sát hình ở các góc độ khác nhau, khả năng làm “trong suốt” hoặc ẩn đi một phần của các hình không gian sẽ giúp cho học sinh hình dung tốt hơn về vị trí tương đối của các đối tượng không gian, cũng có nghĩa là giúp phát triển trí tưởng tượng không gian lên một mức cao hơn.
Dưới đây là một số bài toán có sử dụng sự hỗ trợ của phần mềm Geospace nhằm góp phần phát triển trí tưởng tượng không gian dần lên một mức cao hơn.
Bài toán 1: Cho hình chóp S.ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của AB, SA. Tìm giao điểm của NC và (SMD)
49
Bài toán này được đưa ra cho học sinh khi các em mới bắt đầu học dạng toán tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng. Một số em nhìn hình biểu diễn trên đã lầm tưởng NC cắt MD. Mô hình thiết kế bằng Geospace có thể giúp các em xác định đúng vị trí tương đối của hai đường này. Tất nhiên chỉ bằng việc lập luận logic cũng chỉ ra được NC và MD là hai đường thẳng chéo nhau, nhưng với sự hỗ trợ của phần mềm, vấn đề cần quan tâm trở nên đơn giản, trực quan và giàu sức thuyết phục với các em học sinh hơn.
Hình vẽ được xoay để học sinh có thể quan sát ở các góc độ khác nhau, và khi nhìn mỗi hình biểu diễn tương ứng, các em học sinh dễ dàng nhận thấy NC không thể cắt MD, SD hay SM.
Hình 2.19
Giáo viên thiết kế làm mờ một hoặc một số mặt của hình chóp để học sinh có thể “nhìn” được rõ hơn đường NC không thể cắt một trong số các đường thẳng đã có sẵn của (SDM) và cũng hình dung rõ hơn vị trí tương đối của các đối tượng nằm bên trong hình chóp. Điều này đặc biệt có ý nghĩa với những học sinh có khả năng tưởng tượng hình không gian chưa tốt.
50 Hình 2.20
Nếu học sinh vẫn chưa hình dung được dễ dàng, có thể tiếp tục làm mờ đi (SAB), sau đó là (SCD) và nhận được hình như sau:
Hình 2.21
Bằng cách này, học sinh sẽ thấy NC và (SDM) có giao điểm nhưng giao điểm ấy không nằm trên các đường sẵn có của (SDM). Vậy phải tìm giao điểm bằng cách nào? Giáo viên sẽ dẫn dắt học sinh đến cách tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng bằng phương pháp mặt phẳng trung gian:
- NC nằm trong (SAC);
- Gọi O là giao điểm của AC và DM, suy ra SO(SAC)(SDM); - Gọi I là giao điểm của SO và NC. I chính là giao điểm cần tìm:
51 Hình 2.22
Qua bài toán trên, ta thấy Geospace có khả năng giúp học sinh hình dung ra đường thẳng cắt mặt phẳng, hơn nữa hình dung được giao điểm. Nhưng để tìm ra vị trí chính xác của giao điểm thì sự quan sát hay trí tưởng tượng không giải quyết được. Đó là phần việc của tư duy. Vì vậy, để học tốt được hình không gian, học sinh cần phải kết hợp năng lực tưởng tượng với năng lực tư duy logic, tư duy thuật toán.
Bài toán 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD. M và N là hai điểm lần lượt nằm trên SC, BC. Xác định giao điểm của SD và (AMN).
Đây cũng là một bài toán tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng nhưng có “độ khó” cao hơn bài toán 1.
Hình 2.23
52
Những hình trên là hình biểu diễn có được khi xoay hình chóp để nhìn ở các góc khác nhau. Khi nhìn hình biểu diễn như ở trên, học sinh gặp trở ngại trong việc hình dung rằng SD có cắt (AMN). Nguyên do là các em dễ lầm tưởng mặt phẳng (AMN) chỉ có là miền tam giác AMN. Có thể khắc phục sai lầm này bằng cách “mở rộng” miền tam giác AMN, giúp các em tưởng tượng