Hoạt động 1. Tiếp cận và hỡnh thành khỏi niệm phƣơng trỡnh tổng quỏt của mặt phẳng
Tạo tỡnh huống gợi vấn đề bằng tƣơng tự húa, dự đoỏn nhờ nhận xột trực quan
40
Ta đó biết trong mặt phẳng, phƣơng trỡnh tổng quỏt của đƣờng thẳng d cú dạng Ax + By + C = 0 với A2 + B2 > 0 và (A; B) là vectơ phỏp tuyến của đƣờng thẳng d. Tƣơng tự, cú thể suy ra phƣơng trỡnh tổng quỏt của mặt phẳng (P) trong khụng gian đƣợc khụng?
HS: Dự đoỏn phƣơng trỡnh tổng quỏt của mặt phẳng (P) là:
Ax + By + Cz + D = 0 với A2 + B2 + C2 > 0 và (A; B; C) là vectơ phỏp tuyến của mp(P).
GV: Để chứng minh dự đoỏn trờn, yờu cầu học sinh giải bài toỏn sau:
Trong khụng gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và nhận (A; B; C) làm vectơ phỏp tuyến. Chứng minh điều kiện cần và đủ để điểm M(x; y; z) thuộc mặt phẳng (P) là A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0
Ax+By + Cz +D = 0 (1) với A2 + B2 + C2 > 0 và D = - (Ax0 + By0 + Cz0). GV: Khi M mp(P), nhận xột gỡ về
mối liờn hệ giữa hai vectơ và ?
HS: Ta cú Hỡnh 2.1
. = 0 A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 (2) Nếu đặt D = - (Ax0 + By0 + Cz0) thỡ phƣơng trỡnh (2) trở thành:
Ax + By + Cz + D = 0 (3) với A2
+ B2 + C2 > 0 Kết luận (3) gọi là phƣơng trỡnh tổng quỏt của mặt phẳng (P).
Tạo tỡnh huống gợi vấn đề bằng lật ngƣợc vấn đề
Nhƣ vậy mỗi mặt phẳng đều cú phƣơng trỡnh dạng (3). Ngƣợc lại, mỗi phƣơng trỡnh dạng Ax + By + Cz + D = 0 (3) với A2
+ B2 + C2 > 0 cú phải là phƣơng trỡnh tổng quỏt của một mặt phẳng xỏc định hay khụng?
GV: Ta đó biết trong khụng gian Oxyz, một mặt phẳng (P) xỏc định khi biết tọa độ một điểm thuộc mặt phẳng (P) và một vectơ phỏp tuyến của mp(P). Ở đõy ta chỉ ra rằng cú hay khụng một mặt phẳng (P) xỏc định nhận (3) làm phƣơng trỡnh? HS: Dự đoỏn là cú mặt phẳng (P) nhận (3) làm phƣơng trỡnh. M 0 M
41
GV: Em hóy chỉ ra mặt phẳng (P) đú là mặt phẳng nào? Tức là nú đi qua điểm nào và cú vectơ phỏp tuyến nào?
GV (Gợi ý): Giả sử điểm M0(x0; y0; z0) là điểm xỏc định mà mặt phẳng (P) đi qua, vỡ mp(P) nhận (3) làm phƣơng trỡnh nờn tọa độ điểm M0 thỏa món (3) tức là ta sẽ cú điều gỡ?
HS: Ta cú Ax0 + By0 +Cz0 +D = 0 D = - (Ax0 + By0 +Cz0).
GV: Giả sử (a; b; c) là vectơ phỏp tuyến của mặt phẳng (P) nhận (3) làm phƣơng trỡnh khi đú ta cú thể chọn a = ?, b = ?, c = ?
HS: Dự đoỏn chọn a = A, b = B, c = C.
GV: Gọi mp(P) là mặt phẳng đi qua điểm M0(x0; y0; z0) và cú vectơ phỏp tuyến (A; B; C). Em hóy viết phƣơng trỡnh mặt phẳng (P)?
HS: Mặt phẳng (P) cú phƣơng trỡnh:
A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Ax + By + Cz – (Ax0 + By0 + Cz0) = 0
Ax + By + Cz + D = 0 với D = – (Ax0 + By0 + Cz0).
Nhƣ vậy, ta đó chứng minh đƣợc mỗi mặt phẳng đều cú phƣơng trỡnh dạng (3). Ngƣợc lại, mỗi phƣơng trỡnh dạng (3) đều là phƣơng trỡnh tổng quỏt của một mặt phẳng xỏc định.
Hoạt động 2. Củng cố khỏi niệm phƣơng trỡnh tổng quỏt của mặt phẳng
Vớ dụ. Trong khụng gian Oxyz, cho ba điểm M(2; 0; -1), N(1; -2; 3),
P(0; 1; 2). Viết phương trỡnh mặt phẳng (MNP).
GV: Muốn viết đƣợc phƣơng trỡnh mặt phẳng ta cần biết cỏc yếu tố nào? HS: Biết tọa độ một vectơ phỏp tuyến của mặt phẳng và tọa độ một điểm thuộc mặt phẳng đú.
GV: Trong vớ dụ này, vectơ phỏp tuyến đƣợc xỏc định nhƣ thế nào? Nờu cỏch giải bài toỏn?
HS: Học sinh trỡnh bày.
42
Ta cú (-1; -2; 4), (-2; 1; 3), suy ra [ , ] = (-10; -5; -5).
Mặt phẳng (MNP) đi qua điểm M và cú vectơ phỏp tuyến cựng phƣơng với vectơ [ , ], bởi vậy ta cú thể lấy (2; 1; 1). Vậy mp(MNP) cú phƣơng trỡnh: 2(x – 2) + y + (z + 1) = 0 hay 2x + y + z – 3 = 0.
Cỏch 2
Phƣơng trỡnh mp(MNP) cú dạng Ax + By + Cz + D = 0. Tọa độ cỏc điểm M, N, P là nghiệm của phƣơng trỡnh đú nờn:
Khử D từ cỏc phƣơng trỡnh trờn ta cú:
Khử A từ hai phƣơng trỡnh trờn ta cú: 5B – 5C = 0 hay B = C. Do đú A = 2C, D = -3C. Ta đƣợc phƣơng trỡnh: 2Cx + Cy + Cz – 3C = 0. Hiển nhiờn C ≠ 0 (Vỡ nếu C = 0 thỡ A = B = C = 0) nờn chia hai vế của phƣơng trỡnh cho C, ta đƣợc phƣơng trỡnh mặt phẳng (MNP) là: 2x + y + z – 3 = 0.