Dạy học khỏi niệm phương trỡnh mặt cầu

Tạo tỡnh huống gợi vấn đề bằng tƣơng tự húa, dự đoỏn nhờ nhận xột trực quan

Ta đó biết khỏi niệm mặt cầu trong khụng gian tƣơng tự nhƣ khỏi niệm đƣờng trũn trong mặt phẳng. Vậy từ dạng phƣơng trỡnh đƣờng trũn trong mặt phẳng cú thể suy ra dạng phƣơng trỡnh mặt cầu trong khụng gian đƣợc khụng? Xõy dựng phƣơng trỡnh đú nhƣ thế nào?

Hoạt động 1. Tiếp cận và hỡnh thành khỏi niệm phƣơng trỡnh mặt cầu

GV: Nhắc lại định nghĩa đƣờng trũn trong mặt phẳng và định nghĩa mặt cầu trong khụng gian?

HS: - Định nghĩa đƣờng trũn: Trong mặt phẳng, tập hợp cỏc điểm cỏch điểm I cố định cho trƣớc một khoảng R khụng đổi gọi là đƣờng trũn tõm I, bỏn kớnh R.

- Định nghĩa mặt cầu: Trong khụng gian, tập hợp cỏc điểm cỏch điểm I cố định cho trƣớc một khoảng R khụng đổi gọi là mặt cầu tõm I bỏn kớnh R. GV: Em hóy nhắc lại phƣơng trỡnh đƣờng trũn trong mặt phẳng Oxy?

HS: Phƣơng trỡnh đƣờng trũn (C) : (x – a)2 + (y – b)2 = R2 ở đú tõm I(a, b) bỏn kớnh R.

GV: Tƣơng tự trong khụng gian Oxyz, dự đoỏn dạng của phƣơng trỡnh mặt cầu?

HS: Dự đoỏn phƣơng trỡnh mặt cầu cú dạng (x – a)2

+ (y – b)2 + (z – c)2 = R2 trong đú tõm mặt cầu I(a; b; c), bỏn kớnh R.

GV: Em hóy chứng minh dự đoỏn trờn?

Gợi ý: Em hóy nờu cỏch xõy dựng phƣơng trỡnh đƣờng trũn trong mặt phẳng Oxy? HS: Trong mặt phẳng Oxy , cho đƣờng trũn (C) tõm I(a; b), bỏn kớnh R. Điểm M x y  C IM R xa 2  yb 2 R ) ( ) ( ) ( ) ; (  (x – a)2 + (y – b)2 = R2 (1) (1) là phƣơng trỡnh đƣờng trũn (C).

37

GV: Tƣơng tự, xõy dựng phƣơng trỡnh mặt cầu trong khụng gian Oxyz? HS: M x y z  S IM  R  xa 2  yb 2  zc 2 R ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ; (  (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 (2) (2) là phƣơng trỡnh mặt cầu, vậy dự đoỏn trờn đỳng.

Ta cú kết luận sau: Trong khụng gian Oxyz cho mặt cầu (S) cú tõm I(a; b; c), bỏn kớnh R cú phƣơng trỡnh là: (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2.

Hoạt động 2. Củng cố khỏi niệm phƣơng trỡnh mặt cầu

GV: Để viết đƣợc phƣơng trỡnh mặt cầu cần biết những yếu tố nào? HS: Cần biết tọa độ của tõm và bỏn kớnh mặt cầu.

Chỳ ý. Khi học bài phương trỡnh mặt cầu, học sinh chưa được học phương trỡnh mặt phẳng và phương trỡnh đường thẳng nờn chỉ xột những vớ dụ đơn giản với nhiều cỏch giải nhằm củng cố cỏch viết phương trỡnh mặt cầu.

Vớ dụ. Trong khụng gian Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(2; 1; 0), B(1; 1; 3),

C(2; -1; 3), D(1; -1; 0). Viết phương trỡnh mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

Cỏch 1

Ta tớnh đƣợc AB = CD = 10, AC = BD = 13, AD = BC = 5.

Vậy tứ diện ABCD cú cỏc cặp cạnh đối bằng nhau. Do đú tõm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện là trọng tõm G của tứ diện này.

Ta cú G( ) 2 3 ; 0 ; 2 3 , bỏn kớnh R = GA = 2 14 .

Vậy phƣơng trỡnh mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là:

22 2 2 2 ) 2 14 ( ) 2 3 ( ) 2 3 (x y  z  Cỏch 2

Xỏc định tõm I của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD thỏa món điều kiện IA = IB = IC = ID. Bỏn kớnh R = IA = IB = IC = ID.

Cỏch 3

Giả sử phƣơng trỡnh mặt cầu (S) cú dạng:

38

Do mặt cầu (S) đi qua cỏc điểm A, B, C, D nờn thay tọa độ cỏc điểm A, B, C, D vào phƣơng trỡnh trờn ta đƣợc một hệ phƣơng trỡnh. Giải hệ phƣơng trỡnh đú tỡm đƣợc cỏc hệ số a, b, c, d.

Hoạt động 3. Nhận dạng phƣơng trỡnh mặt cầu Tạo tỡnh huống gợi vấn đề bằng lật ngƣợc vấn đề

Khi khai triển phƣơng trỡnh mặt cầu S(I; R) và viết dƣới dạng f(x; y; z) = 0 ta thấy f(x; y; z) = x2 + y2 + z2 – 2ax – 2by – 2cz + a2 + b2 + c2 – R2

là đa thức bậc hai đối với x; y; z cú cỏc hệ số x2

, y2, z2 đều bằng 1 và khụng cú hạng tử chứa xy, yz, zx.

Bõy giờ ta xột vấn đề ngƣợc lại

Phƣơng trỡnh dạng x2

+ y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 (3) cú phải là phƣơng trỡnh mặt cầu trong khụng gian Oxyz cho trƣớc hay khụng? GV: Nờu dạng phƣơng trỡnh mặt cầu (S) cú tõm I(a; b; c), bỏn kớnh R?

HS: Phƣơng trỡnh mặt cầu (S) dạng:

GV: Để kiểm tra phƣơng trỡnh (3) cú phải là phƣơng trỡnh mặt cầu hay khụng ta làm nhƣ thế nào?

HS: Biến đổi phƣơng trỡnh (3) về dạng phƣơng trỡnh (*)

(x + A)2 + (y + B)2 + (z + C)2 = A2 + B2 + C2 – D (4) GV: So sỏnh về trỏi của hai phƣơng trỡnh (*) và (4) thỡ vế trỏi của phƣơng trỡnh (*) chớnh là IM2 với I(a, b, c), M(x, y, z). Vế trỏi của (4) là khoảng cỏch giữa hai điểm I và M(x, y, z), vậy điểm I cú tọa độ nhƣ thế nào?

HS: I(-A; -B; -C). Từ đú suy ra .

GV: Bởi vậy ta dễ dàng suy ra, nếu A2 + B2 + C2 – D > 0 thỡ

khi đú phƣơng trỡnh (4) là phƣơng trỡnh mặt cầu cú tõm và bỏn kớnh là bao nhiờu?

HS: (4) là phƣơng trỡnh mặt cầu cú tõm I (-A; -B; -C) và bỏn kớnh .

39 GV: Nếu A2 + B2 + C2 – D = 0 thỡ sao?

HS: Phƣơng trỡnh (4) xỏc định điểm I duy nhất. GV: Nếu A2 + B2 + C2 – D < 0 thỡ sao?

HS: Khụng cú điểm M nào cú tọa độ thảo món.

GV: Từ kết quả trờn em hóy cho biết (3) là phƣơng trỡnh mặt cầu khi nào? HS: Phƣơng trỡnh x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 (3) là phƣơng trỡnh mặt cầu khi và chỉ khi A2

+ B2 + C2 > D . Khi đú tõm của mặt cầu là

điểm I(-A; -B; -C) và bỏn kớnh .

Hoạt động 4. Củng cố nhận dạng phƣơng trỡnh mặt cầu (bằng hoạt động nhận dạng và thể hiện)

Vớ dụ. Mỗi phương trỡnh sau đõy cú phải là phương trỡnh mặt cầu hay khụng?

Nếu phải hóy xỏc định tõm và bỏn kớnh mặt cầu đú. a)x2 + y2 - z2 – 2x + 2y – 20z + 26 = 0 b)3x2 + 3y2 + 3z2 – 2z = 0 c)2x2 + 2y2 = (x +y)2 – z2 + 2x – 1 d)(x +y)2 = 2xy - z2 + 1 Giải a) Khụng phải, vỡ hệ số của x2 , y2 và z2 khụng bằng nhau. b) Là phƣơng trỡnh mặt cầu cú tõm (0; 0; 3 1 ) cú bỏn kớnh R = 3 1 . c) Khụng phải vỡ phƣơng trỡnh sau khi rỳt gọn vẫn cũn chứa - 2xy. d) Phải vỡ phƣơng trỡnh rỳt gọn thành x2 + y2 + z2 = 1.

Đú là phƣơng trỡnh mặt cầu cú tõm O(0; 0; 0), bỏn kớnh R = 1.