Bài tập toỏn học cú vai trũ quan trọng trong mụn toỏn. Thụng qua bài tập học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lớ, quy tắc hay phương phỏp, những hoạt động toỏn học phức hợp, những hoạt động trớ tuệ phổ biến trong toỏn học, những hoạt động trớ tuệ chung và hoạt động ngụn ngữ. Để dạy HS giải toỏn thỡ GV cần biết lựa chọn những bài tập thớch hợp trong một kho tàng đồ sộ những bài tập rồi phõn loại, sắp xếp chỳng thành một hệ thống tuỳ thuộc vào những mục đớch rốn luyện khỏc nhau như: củng cố kiến thức, rốn luyện kĩ năng tớnh toỏn, phỏt triển tư duy sỏng tạo,…
Việc dạy giải toỏn cú những chức năng sau: - Củng cố kiến thức mà HS đó học;
- Rốn luyện tớnh chớnh xỏc trong tớnh toỏn, trong lập luận (lời giải phải đầy đủ, cỏc phộp tớnh phải đỳng, lời giải phải cú căn cứ);
- Phỏt triển tư duy, rốn luyện những thao tỏc trớ tuệ;
- Kiểm tra trỡnh độ hiểu biết và nắm vững kiến thức của HS;
- Gõy hứng thỳ học tập, hứng thỳ lao động trớ tuệ, lao động sỏng tạo của HS; Những chức năng núi trờn được thể hiện trong suốt quỏ trỡnh dạy học trong một năm học. Từng giờ dạy giải bài tập cú thể chỉ thực hiện một vài chức năng nào đú tuỳ theo mục đớch của mỗi giờ dạy. Vỡ vậy mỗi giờ dạy bài tập cần xỏc định rừ mục đớch và yờu cầu đạt được; lựa chọn một hệ thống bài tập nhằm đạt được từng yờu cầu; xỏc định phương phỏp hướng dẫn HS thực hiện; giỳp HS rỳt ra những kinh nghiệm.
Để phỏt huy tỏc dụng của bài tập toỏn học, trước hết cần nắm vững cỏc yờu cầu của lời giải. Núi một cỏch vắn tắt lời giải phải đỳng và tốt. Dựa trờn những tư tưởng tổng quỏt cựng với những gợi ý chi tiết của Polya (1975) và cỏch thức giải bài toỏn đó được kiểm nghiệm trong thực tiễn dạy học, GV cần hỡnh thành cho HS phương
phỏp chung để giải bài toỏn bao gồm bốn bước:
Bước 1: Tỡm hiểu nội dung đề bài;
Bước 2: Tỡm cỏch giải;
Bước 3: Trỡnh bày lời giải;
Bước 4: Kiểm tra lời giải và nghiờn cứu thờm về bài toỏn và cỏch giải.
2.2.4.1. Hoạt động tỡm hiểu nội dung đề bài
Trong HĐ này, GV cần tập cho HS biết tỡm hiểu bài toỏn một cỏch tổng hợp, trỏnh đi ngay vào cỏc chi tiết vụn vặt trước khi nhỡn bài toỏn một cỏch tổng quỏt. HS cần biết phõn tớch bài toỏn để hiểu rừ cỏi đó cho và cỏi phải tỡm, mối liờn hệ giữa cỏi chưa biết và cỏi đó cho.
Vớ dụ 1: Hoạt động tỡm hiểu nội dung đề bài toỏn “Phõn số
35 6
cú thể viết dưới dạng thương của hai phõn số cú tử và mẫu là cỏc số nguyờn dương cú một chữ số. Chẳng hạn: 3 7 : 5 2 7 3 . 5 2 7 . 5 3 . 2 35
6 … Hóy viết cỏc thương đú.”
GV nhận dạng: Đõy là bài toỏn ngược của bài toỏn chia phõn số (biết thương, tỡm số bị chia và số chia). Cỏc phõn số phải tỡm đều cú tử và mẫu là cỏc số nguyờn dưới.
Đề bài đó cho sẵn một vớ dụ làm mẫu và yờu cầu tỡm ớt nhất một cỏch viết khỏc. Đõy là yờu cầu tối thiểu, nếu tỡm được hai cỏch càng tốt và nếu nờu được tất cả cỏc cỏch viết thỡ tốt nhất.
Với bài toỏn này, GV yờu cầu HS tỡm hiểu nội dung đề bài bằng cỏch trả lời cõu hỏi. Cõu hỏi thụng thường của cỏc bài toỏn là đề bài cho điều gỡ, hỏi điều gỡ. Nếu hỏi chung chung như vậy thỡ HS sẽ trả lời khụng đỳng vào trọng tõm bài toỏn. Ở đõy cần đặt ra cõu hỏi ngắn gọn, cú càng ớt cõu hỏi càng làm cho bài toỏn trở nờn đơn giản, khụng nờn đặt ra những cõu hỏi cũn cần đến cõu hỏi phụ. Chẳng hạn:
- Căn cứ vào vớ dụ làm mẫu trong đề bài, để viết được phõn số
35 6
dưới dạng
thương của hai phõn số cú tử và mẫu là cỏc số nguyờn dương cú một chữ số, ta cần trải qua quỏ trỡnh phõn tớch nào?
Vớ dụ 2: Hoạt động tỡm hiểu nội dung đề bài toỏn “Gọi Ot, Ot’ là hai tia nằm trờn cựng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy đi qua O. Biết
xOt 30 ; yOt' 60 . Tớnh số đo cỏc gúc '
;tOt xOy ”.
Hoạt động tỡm hiểu nội dung đề bài là hoạt động cần thiết trong quỏ trỡnh giải bài tập toỏn. Vỡ vậy GV cần kớch thớch hoạt động này ở HS một cỏch triệt để. Qua việc dạy tỡm hiểu nội dung bài toỏn này, GV dần hỡnh thành kỹ năng tỡm hiểu nội dung đề bài cho HS. Để giỳp HS tỡm hiểu nội dung đề bài một cỏch cú hệ thống và độc lập suy nghĩ, GV nờn thiết kế hệ thống cõu hỏi tỡm hiểu nội dung đề bài vào PHT. Việc trả lời cõu hỏi phải đạt được mục đớch là HS được chuẩn bị tõm thế và cỏc cụng cụ để giải bài toỏn này một cỏch sẵn sàng. Khụng những thế, việc lặp đi lặp lại quỏ trỡnh tỡm hiểu nội dung đề bài bằng cỏch trả lời hệ thống cõu hỏi sẽ giỳp cho HS cú kỹ năng đặt cõu hỏi tỡm hiểu nội dung đề bài một cỏch hợp lớ.
PHIẾU HỌC TẬP
Bài toỏn: “Gọi Ot; Ot’là hai tia nằm trờn cựng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy đi qua O.Biết xOt 30;yOt'60. Tớnh số đo cỏc gúc '
;tOt xOy ”.
Hóy trả lời cõu hỏi:
1- Đề bài cho ta biết điều gỡ? Hóy vẽ hỡnh thể hiện điều đú và ghi túm tắt đề bài. 2- Đề bài yờu cầu điều gỡ?
Vớ dụ 3: Hoạt động tỡm hiểu nội dung đề bài toỏn “Trong một tam giỏc, nếu trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đú thỡ tam giỏc đú là tam giỏc vuụng”.
Bài toỏn này chớnh là một định lớ được đưa vào bài tập đề HS chứng minh. Để hiểu rừ nội dung bài toỏn này, GV phải yờu cầu HS phỏt biểu định lớ trờn dưới dạng một bài toỏn cụ thể. Chẳng hạn:
- Cho tam giỏc ABC, AM là trung tuyến và độ dài AM bằng nửa độ dài BC. Chứng minh tam giỏc ABC là tam giỏc vuụng.
- Cho tam giỏc ABC, cú M là trung điểm BC và MA = MB. Chứng minh tam giỏc ABC là tam giỏc vuụng.
Sau đú HS vẽ hỡnh và ghi giả thiết – kết luận cho bài toỏn cụ thể. Khi vẽ hỡnh ra thỡ bài toỏn khụng cũn điều gỡ chưa sỏng tỏ, việc chứng minh bài toỏn hoàn toàn dựa vào kiến thức cũ, khụng sử dụng đến tớnh chất đường trung tuyến trong bài học. GV cú thể thiết kế hệ thống cõu hỏi tỡm hiểu nội dung đề bài như sau:
PHIẾU HỌC TẬP
Bài toỏn: “Trong một tam giỏc, nếu trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đú thỡ tam giỏc đú là tam giỏc vuụng”
1. Em hóy phỏt biểu đề bài này dưới dạng một đề bài cụ thể bằng cỏch điền vào chỗ trống: “Cho tam giỏc ABC cú …biết… Chứng minh…”
2. Hóy vẽ hỡnh, ghi giải thiết kết luận cho đề bài này.
Qua việc thực hiện PHT, HS đó được kớch thớch cỏc hoạt động quy lạ về quen, phõn tớch, đặc biệt hoỏ,…
2.2.4.2. Hoạt động tỡm cỏch giải
Để tỡm cỏch giải, HS cần biết phõn tớch bài toỏn đó cho, chia bài toỏn thành những bài toỏn nhỏ đơn giản hơn; biến đổi bài toỏn đó cho, quy lạ về quen; mũ mẫm, dự đoỏn bằng cỏch xột cỏc trường hợp đặc biệt, xột cỏc bài toỏn tương tự hay bài toỏn tổng quỏt hơn…
Vớ dụ1: Hoạt động tỡm cỏch giải bài toỏn: “Cho hai tia Oy, Oz cựng nằm trờn một nửa mặt phẳng cú bờ chứa tia Ox. Biết gúc xOy bằng 30o gúc xOz bằng 80o . Vẽ tia phõn giỏc Om của gúc xOy. Vẽ tia phõn giỏc On của gúc yOz .Tớnh gúc mOn”.
Sau khi tỡm hiểu nội dung bài toỏn, HS tỡm cỏch giải bằng cỏch trả lời cỏc cõu hỏi gợi ý của GV; GV cú thể đưa ra hệ thống cõu hỏi gợi ý trong PHT cựng với phần tỡm hiểu nội dung đề bài.
Cõu 1: Chưa xột đến cỏc tia phõn giỏc, theo đề bài ta cú thể tớnh số đo của gúc nào? Cõu 2: Xột tiếp đến cỏc tia phõn giỏc, theo đề bài ta cú thể tớnh được số đo của những gúc nào?
Cõu 3: Bõy giờ trở lại cỏi đớch của ta là tớnh gúc mOn; cú thể coi số đo của gúc mOn
là tổng (hay hiệu) số đo của hai gúc nào đó biết số đo ?
Vớ dụ 2: Hoạt động tỡm cỏch giải bài toỏn: “Tỡm tổng tất cả cỏc số nguyờn x biết:
a, 4x3 b, 5x5 ”
Đối với HS cú lực học trung bỡnh - yếu, GV cú thể kớch thớch hoạt động tỡm cỏch giải bài toỏn bằng cỏch hướng dẫn HS thực hiện theo một quy trỡnh cho phần a, yờu cầu HS làm tương tự đối với phần b.
Hướng dẫn thực hiện phần a:
- Hóy liệt kờ tất cả cỏc số nguyờn x thỏa món 4 x3
- Lập tổng cỏc số đú.
- Tỡm cỏc cặp số hạng là hai số đối nhau trong tổng đú.
- Ta cú thể vận dụng những tớnh chất nào của phộp cộng để tớnh nhanh tổng trờn?
Vớ dụ 3: Hoạt động tỡm cỏch giải bài toỏn: “Lấy bốn điểm A,B,C, D trong đú khụng cú ba điểm nào thẳng hàng. Kẻ cỏc đường thẳng đi qua cỏc cặp điểm. Cú tất cả bao nhiờu đường thẳng? Đú là những đường thẳng nào?
Trong phần tỡm hiểu đề bài, HS đó nhận dạng bài toỏn và liệt kờ những kiến thức cú liờn quan để giải bài toỏn. Tiếp tục theo mạch của bài toỏn, HS tỡm cỏch giải bài toỏn dựa trờn những điều đó tổng hợp được. GV cú thể hướng dẫn HS làm việc theo trỡnh tự sau:
- Vẽ cỏc điểm theo yờu cầu đề bài - Vẽ cỏc đường thẳng qua cỏc cặp điểm - Liệt kờ cỏc đường thẳng rồi đếm.
- Liệt kờ theo thứ tự nào để khỏi bỏ sút, khỏi trựng lặp? - Hóy làm theo thứ tự sau:
Bước 1. Bắt đầu từ điểm A. Qua điểm A và mỗi điểm B, C, D cũn lại cú những đường thẳng nào?
Bước 2. Xột tiếp điểm B. Qua điểm B và mỗi điểm C, D cũn lại cú những đường thẳng nào? (khụng qua A).
Bước 3. Xột tiếp điểm C và điểm D cũn lại, cú đường thẳng nào qua C, D? (khụng qua A, B).
Qua cỏc vớ dụ trờn, HS đó thực hiện cỏc hoạt động phõn tớch, phõn chia trường hợp, quy lạ về quen, tượng tự hoỏ, khỏi quỏt hoỏ,…để tỡm cỏch giải bài toỏn.Việc hướng dẫn HS trỡnh tự làm việc trờn cũn nhằm mục đớch giỳp HS tự làm việc cũn nhằm mục đớch giỳp HS hỡnh thành cỏch giải dạng toỏn này với đề bài thay đổi: số điểm tăng lờn: 5 điờm, 6 điểm…. Đối với HS khỏ - giỏi, theo quy trỡnh này, cỏc em cú thể khỏi quỏt lờn với đề bài cho: n điểm
2.2.4.3. Hoạt động trỡnh bày lời giải
Sau khi đó tỡm được cỏch giải, HS cần biết trỡnh bày lời giải. Lời giải phải được trỡnh bày rừ ràng, sỏng sủa, mạch lạc, khụng mắc lỗi chớnh tả.Cỏc phộp tớnh phải chớnh xỏc, cỏc suy luận phải cú căn cứ. Lời giải phải đầy đủ, khụng bỏ sút một trường hợp, một khả năng nào.
Vớ dụ 1: Hoạt động trỡnh bày lời giải bài toỏn “Một xe mỏy khởi hành từ Hà Nội đi Nam Định với vận tốc 35km/h. Sau đú 24 phỳt, trờn cựng tuyến đường đú, một ụ tụ xuất phỏt từ Nam Định đi Hà Nội với tốc độ 45km/h. Biết quóng đường Nam Định, Hà Nội dài 90km. Hỏi sau bao lõu, kể từ khi xe mỏy khởi hành, hai xe gặp nhau”
Đõy là một bài toỏn giải bằng cỏch lập phương trỡnh ở dạng toỏn chuyển động. Quỏ trỡnh phõn tớch, tỡm hiểu nội dung bài toỏn và tỡm cỏch giải, HS lập được bảng:
Vận tốc (km/h) Thời gian đi (h) Quóng đường đi (km)
Xe mỏy 35 x 35x ễ tụ 45 x - 5 2 45 5 2 x Và lập được phương trỡnh cần tỡm: 90 5 2 45 45 x x
Vấn đề đặt ra là HS thường lỳng tỳng khi trỡnh bày lời giải của dạng toỏn này mặc dự đó biết cỏc bước giải bài toỏn bằng cỏch lập phương trỡnh:
Bước 1: Lập phương trỡnh:
- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thớch hợp cho ẩn số
- Biểu diễn cỏc đại lượng chưa biờt theo ẩn và cỏc đại lượng đó biết. - Lập phương trỡnh biểu thị mỗi quan hệ giữa cỏc đại lượng
Bước 2: Giải phương trỡnh
Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem trong cỏc nghiệm của phương trỡnh, nghiệm nào thỏa món điều kiện của ẩn, nghiệm nào khụng, rồi kết luận.
Vỡ vậy khi hướng dẫn HS học dạng toỏn này GV cú thể đưa ra một dàn bài cụ thể húa cỏc bước:
Giải bài toỏn theo dàn bài sau:
Gọi (đại lượng cần tỡm)…..là x (đơn vị). Điều kiện ……
Trong thời gian đú xe mỏy đi được quóng đường là ….. (đơn vị).
Vỡ ụ tụ xuất phỏt ….. (căn cứ đề bài)…. (tức là ….. giờ) nờn ụ tụ đi trong thời gian là ……..(h) và được quóng đường là ….. (đơn vị)
Đến lỳc hai xe gặp nhau, tổng quóng đường chỳng đi được bằng ….. (dài… ) nờn ta cú phương trỡnh………..
Giải phương trỡnh : …………..
Kiểm tra nghiệm phương trỡnh với điều kiện, ban đầu….. Kờt luận: ……….
Việc lập dàn bài dạng điền vào chỗ trống là phự hợp với học sinh THCS vỡ từ cấp tiểu học, HS đó được học theo cỏch này. Tuy nhiờn lập dàn bài sẵn như vậy chỉ nờn làm ở lần đầu tiờn hướng dẫn HS. Từ lần thứ hai, thứ ba, … GV nờn sơ lược dần việc gợi ý đến khi HS chỉ cần dựa vào ba bước trờn bằng cỏch: thay thế dàn bài sẵn bằng cỏc cõu hỏi cụ thể rồi đến cỏc cõu hỏi theo ba bước giải toỏn bằng cỏch lập phương trỡnh.
Vớ dụ 2: Hoạt động trỡnh bày lời giải bài toỏn “Cho tam giỏc ABC, M là trung điểm của BC. Trờn tia đối của tia MA lấy điển E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng AB//CE”.
Sau khi tỡm hiểu nội dung bài toỏn, HS vẽ hỡnh và ghi giả thiết, kết luận cho bài toỏn:
HS cũng biết cỏch đề giải bài toỏn này: - Chứng minh tam giỏc AMB bằng tam giỏc EMC để suy ra gúc MAB bằng gúc MEC hoặc gúc MBA bằng gúc MCE.
MA A
B C
- Chứng minh AB//CE vỡ cú hai gúc bằng nhau ở vị trớ so le trong. GV cú thể thiết kế PHT cho HS giải bài toỏn này như sau:
PHIẾU HỌC TẬP
Hóy chọn cỏc khẳng định đỳng và sắp xếp lại một cỏch hợp lớ để cú lời giải đỳng cho bài toỏn trờn: 1, MB = MC (giải thiết). MA = ME (giải thiết). AB = CE (giải thiết). 2, MB = MC (giải thiết). MA = ME (giải thiết). BAM MEC 3, MB = MC (giải thiết). EMC AMB (hai gúc đối đỉnh) AM = ME (giải thiết). 4, Do đú ∆ AMB = ∆ EMC (c.c.c) 5, Do đú ∆ AMB = ∆ EMC (c.g.c)
6, MABMECAB// CD (Cú hai gúc bằng nhau ở vị trớ đồng vị) 7, MABMECAB// CD (Cú hai gúc bằng nhau ở vị trớ so le trong) 8, AMBEMCMABMEC (Hai gúc tương ứng)
9, AMBvà CME cú 10, AMBvà EMC cú
Lời giải chớnh xỏc của bài toỏn là: 10, AMBvà EMC cú 3, MB = MC (giải thiết). EMC AMB (hai gúc đối đỉnh) AM = ME (giải thiết). 5, Do đú ∆ AMB = ∆ EMC (c.g.c)
8, AMBEMCMABMEC (Hai gúc tương ứng)
7, MABMECAB// CD (Cú hai gúc bằng nhau ở vị trớ so le trong)
Với bài toỏn này, HS học khụng chắc kiến thức sẽ bộc lộ sự nhầm lẫn trong khi chọn khẳng định đỳng, khi sắp xếp cỏc khẳng định đú theo thứ tự để cú được lời giải
đỳng cho bài toỏn. HS cú thể khụng để ý tới điều kiện gúc xen giữa hai cạnh, thứ tự cỏc đỉnh tương ứng của hai tam giỏc bằng nhau; nhầm lẫn giữa hai gúc ở vị trớ so le