c. Các mối quan hệ biện chứng giữa bộ môn hình học với các bộ môn khác, giữa nội bộ bộ môn Hình học
2.2. Một số biện pháp thực hiện
Biện pháp 1. Xem xét đối tượng một cách khách quan để thấy nguồn gốc ra đời và bản chất của đối tượng
Tác dụng:
- Tư duy biện chứng: Làm cho học sinh cảm nhận được quy luật “khách quan” của tư duy biện chứng: Một sự vật, hiện tượng tồn tại trong những điều kiện nhất định; phát hiện bản chất, phân biệt với cái không bản chất để nhận thức sự vật, hiện tượng một cách đúng đắn, tránh chủ quan.
- Dạy học toán: Làm cho học sinh nắm được con đường hình thành các khái niệm toán học, nắm được bản chất của khái niệm, từ đó giúp các em hiểu rõ con đường hình thành các định lí và khái niệm khác, đồng thời giúp các em nắm bắt được bản chất của giả thiết các định lí, các bài toán để hiểu được bản chất của giả thiết các định lí, và biết cách giải bài tập toán. Từ đó, góp phần củng cố thêm cho các em về khái niệm mới vừa được học.
Ví dụ 1. Khái niệm vectơ ( Hình học 10).
Định nghĩạ Vectơ là một đoạn thẳng đã định hướng, nghĩa là đã chỉ rõ điểm mút nào của đoạn thẳng là điểm đầu và điểm mút nào là điểm cuốị
Khi dạy định nghĩa này cần làm cho các em hiểu được các vấn đề:
ạ Nguồn gốc ra đời: Như ta đã biết, trong thực tế có những đại lượng có hướng, ví dụ như lực tác dụng vào một vật, vận tốc của một chất điểm chuyển động,.... Trong tính toán, những đại lượng đó cần được biểu diễn, nhưng đó là các đại lượng có hướng, vậy phải biểu diễn chúng như thế nàỏ Các khái niệm vectơ ra đời một phần bắt nguồn từ đó.
b. Bản chất của vấn đề:
- Với hai điểm xác định A, B thì đoạn thẳng AB và vectơ uuurAB
là hoàn toàn khác nhaụ Bởi vectơ uuurAB
chính là đoạn thẳng AB đã được định hướng (hướng từ A đến B).
- Cũng với hai điểm xác định A, B thì hai véc tơ uuurAB
và uuurBA
không phải là một. ứng với mỗi đoạn thẳng, ta sẽ có hai vectơ khác nhaụ
- Trường hợp A trùng B thì ta có véc tơ uuurAA
hay BBuuur
, gọi là vectơ không( kí hiệu là
Our
). Như vậy, có thể thấy ứng với một điểm thì ta có một vectơ không và mọi vectơ không đều như nhaụ
Ví dụ 2. Khái niệm phương, hướng của hai vectơ (Hình học 10).
định nghĩa. Hai vectơ được gọi là có cùng phương (hoặc nói gọn là cùng phương) nếu chúng lần lượt nằm trên hai đường thẳng song song với nhau(hoặc trùng nhau). Khi dạy định nghĩa này, giáo viên cần lưu ý:
ạ Cơ sở khoa học: Khái niệm hai vectơ cùng phương có cơ sở khoa học từ khái niệm hai đường thẳng cùng phương. Và thực tế, có thể thấy không phải các đại lượng có hướng luôn có hướng như nhau, mà có sự phân biệt phương, hướng giữa chúng, nên từ đó có khái niệm phương, hướng của hai vectơ.
b. Bản chất:
- Hai véc tơ uuurAB
, CDuuur
thuộc hai đường thẳng song song là cùng hướng nếu chúng thuộc nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng đi qua hai đầu mút A, C .
- Hai véc tơ uuurAB
, CDuuur
thuộc hai đường thẳng song song là ngược hướng nếu chúng thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng đi qua hai đầu mút A, C .
- Hai véc tơ uuurAB
, CDuuur
thuộc cùng một đường thẳng: Gọi tia tương ứng chứa uuurAB
là [AB).
Khi đó uuurAB
và CDuuur
cùng thuộc một đường thẳng là cùng hướng nếu tồn tại tia tương ứng của một trong hai vectơ chứa tia tương ứng của véc tơ còn lạị Và uuurAB
,
CDuuur
ngược hướng nếu không tồn tạị
Ví dụ 3. Khái niệm phép cộng hai vectơ (Hình học 10).
Định nghĩạ Cho hai vectơ ar
, br
. Từ một điểm A nào đó vẽ vectơ uuur rAB a=
, rồi lại từ
điểm B vẽ vectơ BC buuur r=
. Khi đó vectơ uuurAC
được gọi là tổng của hai vectơ ar
và br
, và ta viết uuur r rAC a b= +
.
Phép tìm tổng của hai vectơ như thế gọi là phép cộng hai vectơ. Khi dạy khái niệm này, giáo viên cần cho học sinh biết:
ạ Nguồn gốc của khái niệm
Trong thực tế, có những vật cùng một lúc chịu nhiều lực tác dụng lên nó, ví dụ như một vật treo bằng dây trên xà ngang, dây treo vật có các vectơ trọng lực urP
và lực căng sợi dây Fur
, hay một con thuyền neo tại bến bởi một dây neo, chịu ảnh hưởng của
lực đẩy dòng nước Fuur1
, sức gió thổi Fuur2
, và sức căng dây neo uurF3
,...Nhưng hợp của tất cả các lực tác dụng lên vật treo trên xà ngang, lên con thuyền là bao nhiêủ Từ đó, phép cộng của hai vectơ ra đờị
Phép cộng vectơ được định nghĩa không phụ thuộc và điểm A ban đầụ Nếu ta chọn một điểm A1ạA, thì ta cũng sẽ được: uuuur rA B1 1=a , uuuur rB C1 1 =b và 1 1 AC = + =a b AC uuuur r r uuur .
Ví dụ 4. Chia đoạn thẳng theo tỉ số cho trước (Hình học 10).
Định lí. Cho hai điểm A=( ; )x y và B=( '; ')x y . Nếu điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k ạ1 thì M có toạ độ là : ' 1 M x kx x k - = - ; ' 1 M y ky y k - = - .
Trong chứng minh của định lí trên mà sách giáo khoa đã trình bày có viết: “ Ta biết rằng nếu M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k thì
1 OA kOB OM k - = - uuur uuur uuuur ”.
Tuy vậy, không phải học sinh nào cũng hiểu được điều đó, mà khi dạy, giáo viên cần lưu ý đến nguồn gốc của biểu thức trên, là do:
MA k MBuuur= uuur
( )
OA OM k OB OM
Ûuuur uuuur- = uuur uuuur- = kOB kOMuuur- uuuur
ÛOA kOB OM kOMuuur- uuur uuuur= - uuuur
= -(1 k OM)uuuur 1 OA kOB OM k - ị = - uuur uuur uuuur (với k ạ1).
Biện pháp 2. Xem xét đối tượng toán học trong mối liên hệ với các đối tượng toán học KHác có liên quan
Tác dụng:
- Tư duy biện chứng: Làm cho học sinh cảm nhận được quy luật “toàn diện” của logic biện chứng: Các sự vật hiện tượng khách quan đều có mối liên hệ (quan hệ) với nhau (bên trong và bên ngoài, trực tiếp và gián tiếp) trong tổng thể những mối
- Dạy học toán: Làm cho học sịnh thấy được mối liên hệ giữa các kiến thức toán học trong hệ thống, giúp các em hiểu đầy đủ kiến thức toán học, tạo điều kiện tốt cho việc vận dụng vào giải bài tập.
Ví dụ 1. Xem xét cosa trong mối liên hệ với các đối tượng toán học có liên quan. + Liên hệ với sina: cos2a +sin2a =1.
+ Liên hệ với tga: 2 2 1 1 tg cos a a + = (cosa ạ0).
+ Liên hệ với cos 2a: cos 2a =2 sco 2a -1 (công thức nhân đôi) 2 1 s 2 s 2 co co a = + a (công thức hạ bậc). + Liên hệ với sina và tga: tg sin
cos
a a
a
= . (cosa ạ0). + Liên hệ với sina và cotga :
sin cos cotg a a a = .(sina ạ0). + Liên hệ với sina và sin 2a: sin 2a =2sin . sa co a . + Liên hệ với 2 t tga = : 2 2 1 2 1 2 tg cos tg a a = - a + , ( 0 2 cosa ạ ). + Liên hệ với cos(-a): cosa =cos(-a), (cung đối nhau). + Liên hệ với cos(p a- ): cosa = -cos(p a- ), (cung bù nhau).
+ Liên hệ với cos(p a+ ): cosa = -cos(p a+ ), (cung hơn kém nhau p ). + Liên hệ với cung ( )
2 p a - : s sin( ) 2 co a p a = - , (cung phụ nhau).
Ví dụ 2. Xem xét phép quay quanh một điểm trong mối liên hệ với các đối tượng toán học có liên quan.
Định nghĩa. “Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại Ọ Với mỗi điểm M, ta xác định điểm M’ như sau: Trước hết lấy M1 đối xứng với M qua a, sau đó lấy điểm M’
đối xứng với M1 qua b. Phép đặt tương ứng điểm M’ với điểm M như vậy, gọi là phép quay quanh điểm Ọ Điểm O gọi là tâm của phép quay ” .
+ Liên hệ giữa phép quay và phép dời hình: Phép quay là một phép dời hình.
+ Liên hệ giữa phép quay và phép đối xứng trục: Phép quay là tích của hai phép đối xứng trục.
+ Liên hệ giữa phép quay và phép đối xứng tâm: Phép quay với góc quay j =180°
là phép đối xứng tâm.
+ Liên hệ giữa phép quay với điểm: Phép quay biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng, không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
+ Liên hệ giữa phép quay và đường thẳng: Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng.
+ Liên hệ giữa phép quay và đoạn thẳng: Phép quay biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng có cùng độ dàị
+ Liên hệ giữa phép quay và góc: Phép quay biến góc thành góc có cùng số đọ + Liên hệ giữa phép quay và tam giác: Phép quay biến tam giác thành tam giác bằng nó.
+ Liên hệ giữa phép quay và đường tròn: Phép quay biến đường tròn thành đường tròn bằng nó.
Ví dụ 3. xét bài toán “Chứng minh ba điểm thẳng hàng” trong mối liên hệ với các phương pháp toán học.
1. Phương pháp vec tơ. Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, ta chứng minh: uuurAB k AC= uuur
. Khi đó ba điểm A, B, C thẳng hàng.
Ví dụ. Cho tam giác ABC, lấy các điểm M, N, P trên BC, CA, AB sao cho:
3 MB= MC uuur uuur , NAuuur+3uuur rNC =0 , PA PBuuur uuur r+ =0 . Chứng minh rằng ba điểm M, N, P thẳng hàng.
Nhận xét. Bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng có nhiều cách để giải, nhưng trong bài toán này, ta có thể thấy sự xuất hiện của các biểu thức véc tơ MBuuur =3MCuuur
3 0
NA+ NC =
uuur uuur r
, PA PBuuur uuur r+ =0
, vì vậy ta có thể nghĩ đến việc chứng minh ba điểm M,N,P thẳnh hàng bằng cách tìm được mối liên hệ giữa M, N , P dưới dạng x k yr= .ur
dựa vào các biểu thức trong giả thiết. Cụ thể:
Giảị Theo giả thiết: PA PBuuur uuur r+ =0
nên P là trung điểm của AB. Do đó:
1
( )
2
MP= MA MB+
uuur uuur uuur
. Ta lại có: MBuuur=3MCuuur
nên MBuuur=3(uuur uuurMB BC+ )ị2uuurMB= -3uuurBC= -3(uuur uuurAC AB- )
Và MA ABuuur uuur+ =3(MA ACuuur uuur+ )ị2MA ABuuur uuur uuur= -3AC
. Như vậy: 1(4 6 )
4
MP= AB- AC
uuur uuur uuur
Do đó: 1(3 2 ) (1) 2
PM = AC- MB
uuuur uuur uuur
Tương tự: uuurNA+3NCuuur r=0
nên 3( ) 0 3
4
NA+ NA AC+ = ị NA= - AC
uuur uuur uuur r uuur uuur
Và 3( ) 0 1( 3 )
4
NB BA+ + NB BC+ = ị NB= - BA+ BC
uuur uuur uuur uuur r uuur uuur uuur
1( 3( ))
4
NB AB AB AC
ịuuur= uuur+ uuur uuur-
1(4 3 )
4
NB AB AC
ịuuur = uuur- uuur
. Ta có:
1
( )
2
NP= NA NB+
uuur uuur uuur
1( 3 4 3 )
8 AC AB AC
= - uuur+ uuur- uuur
1(2 3 )4 AB AC 4 AB AC = uuur uuur- Do đó: 1(3 2 ) (2) 4 PN = AC- AB
uuur uuur uuur
Từ (1) và (2) ta có: PMuuuur=2uuurPN
. Vậy M, N, P thẳng hàng.
2. Phương pháp sử dụng định lí Talet
Ví dụ. Cho tam giác ABC. Gọi I, J là trung điểm của MN, BC. Chứng minh rằng A, I, J thẳng hàng.
Giảị
Nhận thấy bài toán có xuất hiện nhiều các yếu tố song song, nên để chứng minh A, I, J thẳng hàng, ta nghĩ đến việc sử dụng định lí Talet để chứng minh.Để chứng minh A, I, J thẳng hàng, ta cần chứng minh: AM MI AB = BJ . Ta đã có AM MN AB = BC , do đó ta sẽ chứng minh: MI MN BJ = BC .
Ta có: I, J là trung điểm của MN, BC nên: MI BJ MN = BC MI MN BJ BC ị = . Mặt khác AM MN AB = BC . Vậy AM MI AB = BJ . áp dụng định lí Talet đảo ta có A, I, J thẳng hàng.
3. Phương pháp sử dụng hai góc ở vị trí đối đỉnh
Ví dụ. Cho tam giác MNP có I, J là trung điểm của MN, MP. Gọi H, K là trung điểm của IJ và NP. Chứng minh M, H, K thẳng hàng.
GiảịTa đã có H, I, J thẳng hàng, nên để chứng minh M, H, K thẳng hàng ta chứng minh:
ã ã
MHI = KHJ.
Xét hai tam giác MHI và KHJ:
Do KJ MNP nên ã ãIMH = JKH và MIHã ã= KJH . Lại có : 1
2
IM = KJ = MN
Do đó DMHI = DKHJ . Suy ra MHIã ã= KHJ. Hai góc này ở vị trí đối đỉnh.Vậy H,
M, K thẳng hàng.
4. Phương pháp sử dụng phép vị tự
Ví dụ. Cho tam giác ABC. M, N, P là các điểm thuộc các đường thẳng AB, AC và BC sao cho có ít nhất một điểm nằm ngoài cạnh tam giác và
1 MA PB NC MB PC NAì ì = . Chứng minh M, N, P thẳng hàng. Giảị Xét phép vị tự NA NC N V biến C thành A và phép vị tự MB MA M V biến A thành B. Ta có tích hai phép vị tự trên, là phép vị tự có tâm O nằm trên MN và có tỉ số vị tự là
NA MB NC MAì . Mặt khác: NA MB PB NC MAì = PC. Khi đó, phép vị tự PB PC O V biến C thành B. Ta có O Pº , do đó P thuộc đường thẳng MN hay M, N, P thẳng hàng.
5. Phương pháp sử dụng phép chiếu song song
- Trong hình học phẳng, để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng, ta có thể chứng minh ảnh của A, B, C qua phép chiếu song song theo phương D lên một đường thẳng nào đó là ba điểm thẳng hàng.
- Trong hình học không gian, để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta có thể chứng minh ảnh của A, B, C theo hai phép chiếu song song lên một mặt phẳng là trùng nhau, hoặc cùng thuộc một đường thẳng. Hoặc để chứng minh A, B, C thẳng hàng, ta chứng minh A, B, C là ảnh của ba điểm thẳng hàng qua một phép chiếu song song nào đó.
Ví dụ. Cho hình hộp chữ nhật ABCDA B C D1 1 1 1 và hai điểm M, N thuộc BC, AA1 sao cho
1
BM AN
BC = AA . Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của AB, C1D1 và MN. Chứng minh rằng I, J, K thẳng hàng.
Nhận xét. Nhận thấy giả thiết bài toán cho I, J là trung điểm của AB, C1D1.Vì vậy nếu chiếu lên mặt phẳng đáy (A B C D1 1 1 1)thì ảnh của I là I’, trung điểm của A1B1. Nếu chiếu lên mặt phẳng (ABB A1 1) thì ảnh của J là Ị Do đó ta nghĩ đến việc chứng minh ba điểm I, J, K thẳng hàng bằng cách chiếu song song ba điểm đó lên hai mặt phẳng.
Giảị
Xét phép chiếu song song thứ nhất có mặt phẳng chiếu là (ABB A1 1), phương chiếu là AD. Khi đó: I có ảnh là I, K có ảnh là K’, J có ảnh là I’, I’ là trung điểm của
A1B1. Lại có N aN M, aB. Do đó K’ là trung điểm của NB. Suy ra K'ẻI I' hay I, K, I’ thẳng hàng. Do đó ảnh của I,K,J qua phép chiếu song song theo phương AD lên mặt phẳng (ABB A1 1) là ba điểm thẳng hàng I, K’, I’.
Hoàn toàn tương tự, xét phép chiếu song song theo phương AA1 lên mặt phẳng (A B C D1 1 1 1), ta có ảnh của I, J, K là I’, K’, J cũng thẳng hàng.
Vậy I, J, K là ba điểm thẳng hàng. 6. Phương pháp sử dụng phương tích
Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta đi chứng minh ba điểm đó cùng thuộc một trục đẳng phương của hai đường tròn, tức là chúng có cùng phương tích với hai đường tròn ấỵ
Ví dụ. Cho tứ giác ABCD, có các cặp cạnh đối cắt nhaụ Gọi E AB CD= ´ ,