b) Xây dựng hệ thống bài tập từ đơn giản đến phức tạp.
2.2.3.Biện pháp 3: Tập cho học sinh có cách nhìn biện chứng trong tư duy toán học
tư duy toán học
Ở đây chúng tơi khơng có tham vọng đưa khái niệm “biện chứng” hay “tư duy biện chứng” đến học sinh. Điều mà chúng tôi hướng đến ở đây là tập cho học sinh có cách nhìn biện chứng để khắc sâu và mở rộng kiến thức SGK. Cụ thể đó là:
- Nhìn mỗi đối tượng tốn học dưới nhiều góc độ khác nhau.
- Nhìn các đối tượng toán học trong những mối liên quan và phụ thuộc lẫn nhau.
- Nhìn thấy được suy đốn và suy diễn đi liền với nhau khi phát hiện và giải quyết các vấn đề tốn học.
- Nhìn nhiều đối tượng toán học khác nhau dưới một quan điểm thống nhất trong sự vận động.
Khi học sinh có được những cái nhìn này, học sinh có thể tự mình giải quyết nhanh các bài tốn khó, có thể tự mình mở rộng kiến thức SGK. Khi đó học sinh có niềm vui tốn học và cảm xúc mãnh liệt để chinh phục những bài tốn khó hơn, khai thác nhiều nội dung trong SGK.
* Nhìn nhiều đối tượng tốn học khác nhau dưới một quan điểm thống nhất trong sự vận động.
“Vận động” chỉ mọi phép biến đổi. “Đứng yên” chỉ mọi trạng thái không thay đổi. “Biến đổi” và “không thay đổi” cũng là thống nhất xét về hai phương diện: một là có thể xem một “sự không thay đổi” như một sự biến đổi với tốc độ bằng không, hay như khi ta xem y = C (hằng số) là một hàm số y = f(x) đặc biệt; hai là mọi phép biến đổi đều có quy luật mà quy luật là cái ổn định, bền vững.
Ví dụ 1: Định lý “trong một tam giác, ba trung tuyến đồng quy” thì
“đồng quy” là cái thống nhất còn cái vận động là tam giác. Hoặc phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 là vận động vì a, b, c có thể lấy mọi giá trị thực tuỳ ý. Nhưng có một sự thống nhất đó là cơng thức nghiệm:
x1,2 = 2 4 2
b b ac
a − ± −
Ví dụ 2: Điểm, đường trịn, mặt cầu là những đối tượng khác nhau nhưng
thống nhất ở chỗ: cách đều một điểm cố định.
Vận động thể hiện trong dạy học tốn có thể là vận động từ cái chung đến cái riêng hoặc từ cái riêng đến cái chung (để giải bài tốn ta có thể xét bài tốn đó trong trường hợp đặc biệt dẫn tới việc giải quyết bài toán trong trường hợp đặt ra, có thể giải bài tốn tổng qt xem vấn đề cần giải quyết là trường hợp riêng); là cách nhìn nhận phương thức, phương pháp giải tốn (phương pháp vectơ, toạ độ, lượng giác, đại số); là sự vận động của tư duy: từ cái đã biết đến cái cần biết nhờ so sánh, phân tích, tổng hợp, khái quát hoá (nhằm biến đổi kiến thức đã có đi đến cái mới); là cách nhìn nhận sự vật (xét nó như là cái tổng thể cơ lập, cũng có thể xét nó như là một bộ phận của cái tổng thể khác).
Ví dụ 3: Có thể nhìn tứ diện như một bộ phận của hình hộp để từ đó
chuyển bài tốn tứ diện sang bài tốn trong mối quan hệ của hình hộp.
Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a; AC = BD = b; AD = BC = c. Tính thể tích của tứ diện.
Hướng dẫn để học sinh tìm lời giải:
Có những cách nào để tính thể tích của tứ diện?
(Tính trực tiếp: V = 1
3Bh. Hoặc tính gián tiếp).
Cách tính trực tiếp có gặp rắc rối gì khơng?Nếu có hãy tính bằng cách gián tiếp? (Dựng hình hộp có CD = MN = AB. Thì ANBM là hình chữ nhật, hình hộp ta dựng trên là hình hộp chữ nhật. Nên: VABCD = VHộp chữ nhật - 4VMACB = xyz - 4.1 6.xyz = 1 3xyz. Ta lại có: A M B N C D y a c b
x2 + y2 = a2 x = 2 2 2 2 a +b −c x2 + z2 = b2 ⇒ y = 2 2 2 2 a + −c b y2 + z2 = c2 z = 2 2 2 2 b + −c a Vậy: VABCD = 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 (a +b −c )(a −b +c )(b + −c a ) .
Ví dụ 4: Từ bài tốn: Cho góc xOy và điểm A nằm trong góc đó. Dựng
đường trịn qua A và tiếp xúc với hai cạnh Ox, Oy. Lời giải:
Dựng đường tròn (C) với bán kính R được chọn tùy ý và tiếp xúc với Ox, Oy. OA ∩ (C) = A’. Khi đó dễ thấy: đường trịn cần dựng là ảnh của đường tròn (C) qua phép vị tự V0k với k = OA
OA '.
Xét trong sự vận động, điểm là đường trịn khi bán kính là 0 thì ta mở rộng bài toán trên thành bài toán nào? (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
O O ` I’ I A’ A x y (C)
Bài tốn mở rộng sẽ là: Cho góc xOy và đường trịn (S) tâm I, bán kính R nằm trong góc đó. Hãy dựng đường trịn (C) tiếp xúc với Ox, Oy và tiếp xúc với đường tròn (S).
Trong sự vận động đó hãy suy ra lời giải bài toán mở rộng từ bài toán ban đầu?
Lời giải:
Việc dựng đường tròn (C) quy về dựng đường tròn tâm K đi qua I và tiếp xúc O’x’,O’y’. Kí hiệu là (K). Tong đó O’x’,O’y’ lần lượt song song với Ox, Oy và cách đều chúng một khoảng R (đã xét ở bài trên).
Giả sử đường trịn (K) có bán kính là d. Khi đó đường trịn cần dựng có tâm K bán kính bằng d - R.
Như vậy, nhìn nhiều đối tượng tốn học khác nhau dưới một quan điểm thống nhất trong sự vận động giúp ta tìm lời giải bài tốn có hiệu quả bằng cách quy lạ về quen (từ cái cần tìm đến cái quen thuộc), tổng qt hóa bài tốn. Từ đó gây cho các em cảm xúc thú vị khi giải toán.
* Nhìn thấy được suy đốn và suy diễn đi liền với nhau khi phát hiện và giải quyết vấn đề tốn học.
Nếu nhìn nhận tốn học trong q trình hình thành và phát triển, thì trong phương pháp của nó có tìm tịi, dự đốn, có thực nghiệm và quy nạp. Vì vậy trong dạy học tốn, ngồi suy luận chứng minh, cần chú ý đến suy luận có lí để giáo dục cho học sinh. “Nếu việc dạy Toán phản ánh mức độ nào đó việc hình thành Tốn học như thế nào, thì trong việc giảng dạy đó phải dành cho dự đốn, suy luận có lí” (G. Polia 1995, tr. 6). Giáo viên cần cung cấp cho học
O’ I K O y’ x y x’ (C) (S)
sinh những kiến thức về suy luận, suy luận có lí; chỉ được cái hay, cái giá trị của suy luận có lí để tạo được xúc cảm cũng như kĩ năng vận dụng suy luận có lí trong giải tốn.
Phán đốn là một hình thức tư duy, trong đó khẳng định điều là một dấu hiệu thuộc hay khơng thuộc về một đối tượng. Phán đốn có tính chất hoặc đúng hoặc sai và nhất thiết chỉ xảy ra một trong hai trường hợp đó [11]. Về dự đốn, theo Đào Văn Trung mơ tả: Dự đốn là một phương pháp tư tưởng được ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu khoa học. Đó là căn cứ vào các nguyên lí và sự thật đã biết để nêu lên những hiện tượng và quy luật chưa biết. Hay, dự đoán là sự nhảy vọt từ giả thiết sang kết luận (Dẫn theo [30, tr. 242]). Suy luận là nhận thức hiện thực một cách gián tiếp, đó là quá trình tư duy xuất phát từ một hay nhiều điều đã biết, người ta đi đến những phán đoán mới [11, tr. 85]. Cịn theo tác giả Hồng Chúng trong “Những vấn đề lôgic trong mơn Tốn ở trường THCS” thì: suy luận là rút ra mệnh đề mới từ một hay nhiều mệnh đề đã có. Có hai loại suy luận: suy luận chứng minh (hay còn gọi là suy diễn, suy luận diễn dịch) và suy luận có lí. Suy luận có lí khơng tn theo một quy tắc tổng quát nào để từ những tiền đề đã có, rút ra được một kết luận xác định. Nếu các tiền đề là đúng thì khơng thể nói rằng kết luận là đúng hay sai. “Suy luận chứng minh là suy luận đáng tin cậy, không chối cãi được và dứt khốt. Suy luận có lý là suy luận bấp bênh, phải tranh cãi và có điều kiện” (G. Polia 1995, tr. 5). Vì vậy, chúng ta phải hiểu rộng ra rằng dự đốn, suy luận có lí chỉ hỗ trợ cho suy luận chứng minh trong quá trình phát hiện ra chân lí.
Trong tốn học, suy luận có lí thường thể hiện dưới các hình thức như đặc biệt hoá, tương tự hoá, khái quát hoá, quy lạ về quen, ... Vai trị của suy luận có lí được G. Polia khẳng định: “Bạn phải dự đốn về một định lí tốn học trước khi bạn chứng minh nó, bạn phải dự đốn về ý của chứng minh
trước khi tiến hành chứng minh chi tiết. Bạn phải đối chiếu các kết quả đã quan sát được và suy ra những điều tương tự, bạn phải thử đi thử lại. Kết quả cơng tác sáng tạo của nhà Tốn học là suy luận chứng minh, là chứng minh; nhưng người ta tìm cách chứng minh nhờ suy luận có lí, nhờ dự đốn” [9, tr. 6]. Và chính nhờ dự đốn, suy luận có lí học sinh tìm được lời giải bài tốn, học sinh sẽ thấy rất thú vị vì tự mình đã tìm ra được lời giải, học sinh sẽ có cảm giác vui vì lao động sáng tạo.
Giáo viên làm cho học sinh hiểu được là trong q trình khám phá, khơng phải lúc nào chúng ta cũng đi đúng hướng, cũng đưa ra được những phán đốn đúng. Tính đúng, sai của các phán đốn cịn cần phải được kiểm nghiệm bằng chứng minh rồi mới khẳng định được. Nhưng dù thế nào đi nữa thì dự đốn cũng có vai trị thúc đẩy sự phát triển của Tốn học. Trong q trình phát triển mấy ngàn năm của Tốn học, các nhà Tốn học đã khơng ngừng đưa ra những phán đoán và minh chứng. Có những phán đốn cho đến hàng trăm năm sau mới khẳng định được, chẳng hạn như Định lý Fermat lớn,... nhưng sự cố gắng để đi đến chân lý của các nhà khoa học đã làm nảy sinh nhiều cái mới trong phương pháp, trong lĩnh vực lí thuyết. Cịn đối với chúng ta, khi giải quyết các vấn đề Toán học, dự đoán, suy luận có lí cịn giúp ta phát triển các năng lực trí tuệ và phẩm chất tư duy.
Thực tế giải tốn cho thấy: có nhiều bài tốn sẽ tìm được lời giải nếu đốn được kết quả của nó; ngược lại, sẽ bế tắc trong khâu định hướng nếu không dự đốn được kết quả của bài tốn đó. Ví dụ như trong dạng tốn tìm quỹ tích, chúng ta thường phải dự đốn được kết quả quỹ tích trong phần thuận, sau đó kết hợp với phân đảo để chứng minh đó là quỹ tích cần tìm. Hay trong một số bài toán liên quan đến chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, thường ta phải dự đoán dấu đẳng thức xảy ra làm cơ sở cho các phép biến đổi dẫn đến kết quả của bài tốn, ...
Ví dụ 5: Cho hai đường trịn cắt nhau C 1(O1,R1) và C 2(O2,R2) tại hai
điểm A, B. Một cát tuyến thay đổi qua A cắt (C 1) tại M và cắt (C 2) tại N. A nằm giữa MN. Tìm quỹ tích trung điểm của MN.
Đối với bài tốn này học sinh sẽ rất khó tìm quỹ tích của I. Giáo viên có thể gợi ý để học sinh suy luận, dự đốn rồi sau đó chứng minh.
Nếu xem C 2(O2,R2) là một điểm A thì khi đóC 1 có đi qua A khơng và quỹ tích I là gì?
Học sinh sẽ tìm được quỹ tích I lúc này là đường trịn đường kính AO1.
Vậy quỹ tích I trong đề bài có thể là đường trịn hay một phần của đường trịn khơng?
Học sinh sẽ nghĩ: cũng có thể, tại sao khơng? và tìm những điều kiện cần thiết để quỹ tích là đường trịn hay một phần của đường tròn.
Học sinh sẽ nghĩ ngay đến là góc vng tại I, các tia của góc phải đi qua điểm cố định.
Hãy làm xuất hiện các điểm cố định mà tạo với I một góc vng?
Giáo viên có thể gợi ý để học sinh tìm ra được: Nối A với O1 ta có điểm E cố định, nối A với O2 ta có F cố định. E, B, F thẳng hàng. Tứ giác MEFN là hình thang với hai đáy NF và ME do M Nµ = =µ 900. Lấy K là trung điểm của
A O1 M I A B M E F N O1 O2 2 O1 T T’ O1 K IO1 P Q
EF thì K cố định và IK là đường trung bình của hình thang vng MEFN nên
· 900
AIK= . (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Vậy quỹ tích I là gì?
Theo giả thiết thì giới hạn của M, N lần lượt là T và T’ (AT, AT’ lần lượt là tiếp tuyến với (C 2), (C 1).
Vậy quỹ tích I là một phần đường trịn đường kính AK: Cung trịn PAQ¼
.
u cầu học sinh làm phần đảo để hồn thiện bài tốn