dậy niềm tin cho học sinh trong quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề.
Nhận định về phương pháp dạy học Tốn ở trường phổ thơng trong giai đoạn hiện nay, các nhà Tốn học Hồng Tụy và Nguyễn Cảnh Tồn viết: “... Kiến thức, tư duy, tính cách con người chính là mục tiêu của giảng dạy. Thế nhưng hiện nay trong nhà trường tư duy và tính cách bị chìm đi trong kiến thức ...” [26, tr. 7]. “... Cách dạy phổ biến hiện nay là thầy đưa ra kiến thức (khái niệm, định lí) rồi giải thích, chứng minh, trị cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm, nội dung định lý, hiểu chứng minh định lý, cố gắng vận dụng các công thức, các định lý để tính tốn, để chứng minh ...” [25, tr. 4]. “... Ta còn chuộng cách học nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giải những bài tốn ối ăm, giả tạo, chẳng giúp ích gì mấy để phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mệt mỏi và chán nản ...” [23, tr. 38]. Liên hệ với thực trạng vấn đề giáo dục hứng thú và tự giác cho học sinh THPT trong dạy học mơn Tốn thì sẽ thấy rõ điều đó.
Tốn học cũng như các mơn khoa học khác là khoa học xuất phát từ thực tiễn và quay lại phục vụ thực tiễn. Toán học cịn có những đặc trưng riêng đó là khoa học có tính khái qt, tính trừu tượng cao độ; “Tốn học là khoa học suy diễn” [9], kỹ năng suy luận diễn dịch là kỹ năng đặc trưng cho tư duy Toán học. Cho nên Tốn học là khoa học mẫu mực về sự chính xác, suy luận
chặt chẽ. Tuy nhiên, những điều này chưa được giáo viên ý thức một cách thật đầy đủ và đúng mức hoặc đã ý thức nhưng lại chưa làm cho học sinh thấu hiểu được những điều này. Vì thế mà chưa khơi dậy được ở học sinh tình yêu đối với Tốn học, niềm tin đối với q trình phát hiện và giải quyết các vấn đề Toán học. Học sinh chưa thấy niềm vui khi đến với Toán học, chưa thấy hết được ý nghĩa và giá trị của Toán học đối với các môn khoa học khác và đối với cuộc sống. Dẫn đến học sinh chưa có động lực trực tiếp với học tập mơn Tốn, chưa có hứng thú và tự giác học tập.
Từ những lập luận trên, muốn giáo dục hứng thú và tự giác học tập mơn Tốn cho học sinh, cần:
a) Làm cho học sinh thấy rõ Toán học xuất phát từ thực tiễn.
Giáo viên cần khai thác triệt để lịch sử của Toán học để làm cho học sinh thấy sự ra đời và phát triển của Toán học, Toán học phản ánh cuộc sống, đáp ứng yêu cầu của cuộc sống.
Từ thế kỷ thứ VII, thứ VI trước Công nguyên, những khái niệm Tốn học đầu tiên (số, hình) chưa có hệ thống, được phát sinh do nhu cầu về đếm và đo đơn giản nhất. Kiến thức Toán học được xây dựng bằng kinh nghiệm qua săn bắn, trồng trọt, chăn nuôi, xây dựng, ...
Muốn đếm, con người phải có những khả năng trừu xuất tất cả các tính chất khác của đối tượng, mà chỉ giữ lại “con số”. Đó là kết quả của một q trình lâu dài, dựa vào thực nghiệm. Từ chỗ biết đếm, con người có khái niệm đầu tiên về số tự nhiên. Nhu cầu đời sống dẫn đến phải biết tính, hệ thống ghi số, khái niệm về bốn phép tính số học.
Sự nảy sinh những khái niệm cơ bản về Hình học cũng gắn liền mật thiết với hoạt động thực tiễn phong phú của loài người. Từ khi con người khơng cịn đi hái, lượm những thức ăn có sẵn trong thiên nhiên, mà tự mình sản xuất để tạo ra những điều kiện sống cần thiết cho mình, người ta bắt đầu phải tiếp
xúc nhiều đến các đại lượng và các quan hệ không gian của các vật thể. Những khái niệm này ngày càng trở nên phong phú, hoàn thiện và ngày càng được con người hiểu biết một cách kỹ càng do những hoạt động ngày càng nhiều mặt của họ để đấu tranh cải tạo thiên nhiên.
Công việc cày cấy mặc dù cịn thơ sơ vẫn địi hỏi phải đo đạc các đám đất, cân đong và phân chia lương thực, hàng hố, ... Cơng việc xây cất nhà cửa địi hỏi phải tìm ra qui tắc để vạch các đường thẳng, dựng những chiếc cột hay bức tường thẳng đứng, ... Để có thể tính tốn thời vụ, cần quan sát sự di chuyển của mặt trăng, mặt trời, các vì sao, và do đó đưa đến việc đo đạc các góc, ... Lồi người thời đồ đá mới đã có những hiểu biết khá phong phú về các dạng hình học: Những hình hình học bằng nhau, đối xứng, hoặc đồng dạng, ...
Những kiến thức Toán học rời rạc và chỉ dựa vào kinh nghiệm được truyền từ Ai Cập, Mêsôpôtami, sang Hy Lạp và ở đây được hệ thống hoá, bắt đầu xây dựng Toán học thành một khoa học suy diễn. Từ thế kỷ thứ IV trước Công nguyên trở đi, Hình học nhanh chóng trở thành một khoa học suy diễn và trừu tượng. Sự chứng minh bằng lôgic đã trở thành phương pháp cơ bản để khẳng định tính chân thật của một mệnh đề Tốn học.
Ơclit viết tập “Cơ bản” nhằm mục đích hệ thống các kiến thức hình học đã biết thành một lí thuyết Tốn học hồn chỉnh, dựa trên một số tiên đề, và các định lí đều được chứng minh bằng suy diễn một cách chặt chẽ. Ơclit là thủy tổ của phương pháp tiên đề hiện đại.
Cùng với sự tiến bộ của nhận thức con người, Tốn học ngày càng phát triển, nó được chia thành nhiều ngành: Số học, Đại số, Hình học, Giải tích, ... rồi lại chia nhỏ hơn nữa thành rất nhiều bộ môn.
Theo Ăngghen, “Đối tượng của Tốn học thuần túy là những hình dạng khơng gian và những quan hệ số lượng của thế giới khách quan” (“Hình dạng khơng gian” có thể hiểu khơng phải chỉ trong khơng gian thực tế ba chiều mà
cịn cả trong những khơng gian trừu tượng khác nữa như khơng gian có số chiều là n hoặc vơ hạn, ... “ Quan hệ số lượng” khơng chỉ bó hẹp trong phạm vi các tập hợp số mà được hiểu như những phép tốn và những tính chất của chúng trên những tập hợp có các phần tử là những đối tượng loại tùy ý như tập hợp, mệnh đề, phép biến hình, ...). Đó là mặt thống nhất, cũng là mặt bản chất, sâu xa của Toán học. Nhưng những tương quan đó có thể biểu hiện ra bên ngồi dưới dạng này hay dạng khác: Đại số, Hình học, Lượng giác, ... Đó là mặt mâu thuẫn về hình thức biểu hiện.
Khi nói đến nguồn gốc thực tiễn của Tốn học cũng cần nhấn mạnh cả nguồn gốc thực tiễn của chính các quy luật của lơgic hình thức được sử dụng trong Tốn học, Lênin viết: “Những hình thức và quy luật lôgic không phải là cái vỏ trống rỗng mà là sự phản ánh thế giới khách quan ... thực tiễn của con người, được lặp đi lặp lại hàng nghìn triệu lần, sẽ được củng cố vào ý thức người ta dưới những hình thức của lơgic học” (Dẫn theo [11, tr. 23]).
Từ những kiến thức về lịch sử Tốn này mà học sinh có một cái nhìn tổng quan về Tốn học, Hình học. Học sinh thấy được Tốn học gần gũi với cuộc sống con người.
Ví dụ 1: Đối với Hình học 11, học sinh hiểu được rằng Hình học khơng
gian được xây dựng bằng phương pháp tiên đề, rồi bằng phương pháp suy diễn lơgic mà có các định lí. Ơclít là người đầu tiên đặt nền móng cho phương pháp này. Ngoài ra, giáo viên cung cấp thêm một số kiến thức cho học sinh về một số lí thuyết khoa học được xây dựng bằng phương pháp tiên đề. Muốn xây dựng một lí thuyết khoa học bằng phương háp tiên đề, cần lựa chọn một số khái niệm cơ bản (khái niệm không định nghĩa) và một số tiên đề (mệnh đề mà ta công nhận là đúng, khơng chứng minh) nói lên các tính chất đặc trưng của các khái niệm cơ bản. Dựa vào các khái niệm cơ bản và các tiên đề đã được lựa chọn, ta có thể tìm thêm các tính chất của các khái niệm cơ bản, có
thể định nghĩa các khái niệm mới và nghiên cứu các tính chất của các khái niệm đó cũng như quan hệ giữa các khái niệm. Các kết quả thường được phát biểu dưới dạng các định lí, tức là các mệnh đề suy ra từ hệ tiên đề bằng các quy tắc kết luận lôgic. Một hệ tiên đề phải thỏa mãn các yêu cầu sau: Không mâu thuẫn, độc lập, đầy đủ. Một hệ tiên đề là mâu thuẫn nếu hệ tiên đề đó có thể suy ra hai kết quả trái ngược nhau. Một hệ tiên đề được gọi là độc lập nếu trong hệ đó khơng có một tiên đề nào là hệ quả lôgic của các tiên đề khác. Một hệ tiên đề của một lí thuyết khoa học được coi là đầy đủ nếu dựa vào hệ tiên đề đó ta có thể nghiên cứu tất cả mệnh đề nói về các khái niệm có trong lí thuyết khoa học đó.
Tốn học xuất phát từ thực tiễn cịn thể hiện ở sự phản ánh thực tiễn của Toán học: Khái niệm vectơ phản ánh những đại lượng đặc trưng khơng chỉ bởi số đo mà cịn bởi hướng, chẳng hạn vận tốc, lực, ...; khái niệm đồng dạng phản ánh những hình có cùng hình dạng nhưng khác nhau về độ lớn; khái niệm hai đường thẳng song song phản ánh những đường thẳng trong không gian đồng phẳng và khơng có điểm chung; khái niệm thể tích phản ánh phần khơng gian mà vật chiếm chỗ, ...
b) Tính trừu tượng cao độ và tính thực tiễn phổ dụng:
Tính trừu tượng của Tốn học do chính đối tượng của Tốn học quy định. “Đối tượng của Tốn học thuần t là những hình dạng khơng gian và những quan hệ số lượng của thế giới khách quan” (Ăngghen). Mọi khoa học đều có tính chất trừu tượng nhưng trong Toán học cái trừu tượng tách ra khỏi mọi chất liệu của đối tượng, “chỉ giữ lại những quan hệ số lượng và hình dạng khơng gian, tức là chỉ những quan hệ về cấu trúc mà thơi”. Như vậy Tốn học có tính chất trừu tượng cao độ.
Làm cho học sinh thấy được sự trừu tượng hoá trong Toán học diễn ra trên những bình diện khác nhau. Có những khái niệm Toán học là kết quả của
sự trừu tượng hoá những đối tượng vật chất cụ thể, chẳng hạn khái niệm số tự nhiên, điểm, đường thẳng, mặt phẳng, ... Nhưng cũng có nhiều khái niệm là kết quả của sự trừu tượng hoá những cái trừu tượng đã đạt trước đó, chẳng hạn khái niệm Hình lăng trụ. Tính trừu tượng cao độ chỉ che lấp chứ khơng hề làm mất tính thực tiễn của Tốn học. Do đó Tốn học liên hệ với thực tiễn bởi tính phổ dụng, tính tồn bộ và tính nhiều tầng.
Vì Tốn học xuất phát từ thực tiễn và có tính trừu tượng cao độ nên Tốn học có tính thực tiễn phổ dụng.
Trước hết cần tranh thủ mọi dịp, mọi điều kiện để vạch rõ sự liên hệ chặt chẽ giữa Toán học với các khoa học khác, với thực tế đời sống và lao động sản xuất. Chẳng hạn, với đời sống: Bình hoa là một mặt trịn xoay; quả bóng là một mặt cầu; ống nước, thùng nước là những mặt trụ trịn xoay; cái nón là mặt nón trịn xoay; cái chao đèn là mặt nón cụt trịn xoay, ... Với mơn Vật lý: Để tính lực đẩy Acsimet cần phải sử dụng cơng thức tính thể tích của các khối (vật) đang xét, ví dụ vật đang xét là khối cầu thì thể tích của nó là:
V = 4
3 π R3, ...
Giáo viên tăng cường cho học sinh tiếp cận với những bài tốn có nội dung thực tiễn trong khi học lí thuyết cũng như làm bài tập. Vấn đề này có ý nghĩa giáo dục thế giới quan khoa học cho học sinh: Trong thế giới khách quan có mối liên hệ phổ biến giữa các sự vật và hiện tượng, đồng thời tạo cho học sinh thói quen vận dụng những kiến thức có trong Tốn học vào cuộc sống, vào lao động sản xuất vì cuộc sống và lao động sản xuất thường đề ra những vấn đề phức tạp không thể hiểu và giải quyết được nếu chỉ có kiến thức phiến diện, rời rạc; nó cịn giúp học sinh nắm được thực chất vấn đề, tránh việc hiểu các sự kiện Tốn học một cách hình thức, nó sẽ có có tác dụng gây hứng thú cho học sinh.
Ví dụ 2: Để hình thành khái niệm trọng tâm của tam giác, tính chất của
trọng tâm tam giác, tiến đến hình thành khái niệm trọng tâm của hệ nhiều điểm, có thể xuất phát từ các tình huống trong thực tiễn như sau:
Tìm điểm đặt để một thanh kim loại đồng chất AB thăng bằng?
Người làm xiếc đặt ngón tay ở đâu để cây gậy thăng bằng? Học sinh sẽ
trả lời được điểm cần tìm là trung điểm của đoạn thẳng AB. M là trọng tâm của đoạn thẳng AB ⇔ MA+MB=0
Tiếp đến giáo viên đặt câu hỏi: Thay thanh kim loại trên bằng tam giác
ABC thì điểm đặt để ở đâu để ∆ABC thăng bằng? Giáo viên có thể hướng dẫn
để học sinh trả lời điểm đặt đó nằm trên CP (P là trọng tâm của AB). Tương tự điểm đặt cũng thuộc BN, AM. Do đó điểm đặt sẽ là G, trọng tâm của tam giác ABC. Khi đó dễ dàng có:
G là trọng tâm tam giác ABC ⇔ GA GB GC 0uuur uuur uuur r+ + =
Yêu cầu học sinh xác định trọng tâm hệ 4 điểm, 5 diểm, ..., n điểm.
Ví dụ 3: Khi dạy các khái niệm mở đầu của hình học khơng gian cũng
như các tiên đề thì giáo viên lấy các mơ hình thực tế cho học sinh thấy rõ. Khi xây dựng các khái niệm của hình học khơng gian giáo viên cần sử dụng phương tiện trực quan. (Cần hiểu khái niệm trực quan một cách đầy đủ. Trực quan không chỉ là những vật thật cụ thể quan sát được mà cịn có thể là những kết quả đã có trước). Trong khi biểu diễn các phương tiện trực quan (tranh vẽ, bản đồ, sơ đồ, hình vẽ, bản vẽ kĩ thuật, dụng cụ) cũng như khi biểu diễn thí nghiệm, giáo viên đã động viên sức chú ý của học sinh và huy động khơng những thính giác, mà cả thị giác, và trong một số trường hợp, cả khứu giác, và
A N G B M C P
xúc giác của học sinh tham gia vào việc lĩnh hội tài liệu nghiên cứu. Sự tập hợp một số lớn các cơ quan cảm giác vào việc tiếp thu kiến thức cũng góp phần phát huy tính tự giác học tập của học sinh, làm học sinh thấy giờ học sinh động hơn, thuyết phục hơn, thích thú với bài học hơn.
Ví dụ 4: Khi dạy khái niệm đường vng góc chung của hai đường thẳng
chéo nhau. Giáo viên đưa ra mơ hình sau đó đặt câu hỏi để học sinh thấy sự tồn tại của đường thẳng vừa cắt vừa vuông góc với hai đường thẳng chéo nhau.
Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1, và tam diện vuông OABC đỉnh O với OM ⊥ AB.
- Nhận xét về mối quan hệ của đường thẳng AB với hai đường thẳng chéo nhau AD, BB1?
(AB vừa cắt vừa vng góc với AD, BB1)
Giáo viên nói rằng AB là đường vng góc chung của hai đường thẳng chéo nhau AD, BB1.
- Nhận xét về mối quan hệ giữa OM và hai đường thẳng chéo nhau OC, AB?
(OM vừa cắt vừa vng góc với OC, AB) O A M B C B C A1 C1 D1 D B1 A
Giáo viên nói rằng OM là đường vng góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.
Giáo viên: Trong trường hợp bất kỳ có hay khơng một đường thẳng cắt
và vng góc với hai đường thẳng chéo nhau?
Yêu cầu chứng minh định lí: “Cho trước hai đường thẳng chéo nhau a, b. Khi đó tồn tại và một đường thẳng ∆ cắt a, b và vng góc với a; b” ⇒ Đưa khái niệm.
c) Tốn học là khoa học suy diễn:
Làm cho học sinh thấy được cái hay, cái đẹp, cái thú vị trong lập luận lơgic chặt chẽ, từ đó tạo niềm vui, niềm tin cho học sinh trong khi phát hiện và giải quyết các vấn đề Tốn học.
Tư duy suy diễn có cấu trúc như sau: