- Ở bậc THPT :( Chủ yếu là ở lớp 10 và 1 1)
2.2. Biện pháp 1: Vận dụng một số PPDH tích cực để làm sáng tỏ nội hàm của các khái niệm, mối liên hệ giữa các khái niệm, công thức.
hàm của các khái niệm, mối liên hệ giữa các khái niệm, công thức.
Trong chương trình Đại số và Giải tích lớp 11, các kiến thức cơ bản của phần “Tổ hợp-Xác suất ” được trình bày rất súc tích và logic.Vấn đề khó khăn ở đây là GV phải làm thế nào để HS nắm được các kiến thức cơ bản đó một cách chính xác, hiểu được bản chất của kiến thức, tránh cho HS hiểu kiến thức một cách máy móc hình thức. Đặc biệt nội dung “ Tổ hợp – Xác suất ” chứa nhiều qui tắc công thức dễ gây nhầm lẫn cho HS, cho nên việc giúp HS hiểu được bản chất các qui tắc công thức là rất quan trọng. Trong quá trình dạy học GV nên phối hợp cách PPDH tích cực để giúp HS tích cực học tập,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
chủ động chiếm lĩnh tri thức, qua đó HS sẽ nắm được bản chất các khái niệm, công thức, quy tắc, mối liên hệ giữa chúng, phân biệt được các khái niệm quy tắc, biết vận dụng chúng một cách phù hợp trong từng hoàn cảnh cụ thể.
Vận dụng PPDH hợp tác nhóm ( minh hoạ qua bài hai quy tắc đếm). Nếu vận dụng được PPDH hợp tác nhóm sẽ tạo điều kiện cho HS được hoạt động và giao lưu nhiều hơn, kiến thức được các em tìm tòi, tiếp thu một cách chủ động và tích cực hơn. GV có thể thiết kế nhiệm vụ học tập cho HS, tạo ra tình huống dạy học hợp tác nhóm. PPDH này có thể sẽ mất nhiều thời gian chuẩn bị nhưng bù lại việc HS được bàn bạc, thảo luận, đưa ra ý kiến của mình sẽ giúp các em hiểu sâu, nhớ lâu các khái niệm và phương pháp giải toán hơn.
Vận dụng vào bài hai quy tắc đếm: GV đưa ra một số bài toán về hai quy tắc đếm ( từ cụ thể đến khái quát ) ghi trên phiếu học tập, phát cho từng nhóm nghiên cứu, thảo luận, đề xuất lời giải. Trước hết các cá nhân trong nhóm phải độc lập nghiên cứu các bài toán được ghi trên phiếu học tập. Sau đó cả nhóm thảo luận và đưa ra ý kiến, thống nhất ý kiến và phát hiện ra là khi nào dùng quy tắc cộng, khi nào dùng quy tắc nhân. Trong mỗi bài toán nên có yêu cầu sử dụng cả hai quy tắc để tạo điều kiện cho HS phân biệt được chúng. Có thể sử dụng một số phiếu học tập sau :
Phiếu 1: Gồm một số bài toán cụ thể
1. Trong một hộp có 7 viên bi trắng khác nhau và 5 viên bi đen khác nhau a. Có bao nhiêu cách chọn ra một viên bi ?
b. Có bao nhiêu cách chọn ra một cặp gồm một bi trắng và một bi đen 2. Trên giá sách có 4 quyển Văn và 5 quyển Toán
a. Có bao nhiêu cách chọn ra một quyển sách ?
b. Có bao nhiêu cách lấy ra hai quyển sách cùng loại ? c. Có bao nhiêu cách lấy ra hai quyển sách khác loại ?
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
3. Nam có 8 đồ để mặc gồm 3 kiểu quần và 5 kiểu áo a. Hỏi Nam có bao nhiêu cách chọn một đồ để mặc ?
b. Hỏi Nam có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo để mặc ?
Phiếu 2 : Các bài toán khái quát từ các bài cụ thể trên
1. Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động. Nếu hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của hành động thứ nhất. Hỏi có bao nhiêu cách hoàn thành công việc?
2. Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp. Nếu có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai. Hỏi có bao nhiêu cách hoàn thành công việc?
Phiếu 3 : Một số bài tập để củng cố tiếp hai quy tắc
1. Có bao nhiêu số điện thoại gồm : a. Sáu chữ số bất kì
b. Sáu chữ số chẵn hoặc sáu chữ số lẻ
2. Một bộ tú lơkhơ có 52 quân gồm 4 loại rô, cơ, nhép, pích a. Có bao nhiêu cách chọn ra một quân bài ?
b. Có bao nhiêu cách chọn ra hai quân bài gồm một quân rô và một quân cơ GV chia lớp thành các nhóm, giao nhiệm vụ cho các nhóm thông qua các phiếu học tập. Các nhóm nhận nhiệm vụ, tổ chức thảo luận, trao đổi trong nhóm để giải quyết nhiệm vụ được giao dưới sự điều hành của nhóm trưởng. Sau đó đại diện các nhóm trình bày kết quả của nhóm. Các nhóm nhận xét lẫn nhau và cuối cùng là GV sẽ chốt lại kết quả.
Bằng cách này GV đã trang bị cho HS hai quy tắc đếm theo phương pháp dạy học tích cực. Thông qua hoạt động nhóm HS chủ động tích cực chiếm lĩnh tri thức, hiểu được hai quy tắc đếm một cách sâu sắc. HS sẽ phân biệt được bản chất của hai quy tắc này. Nếu một công việc được thực hiện theo
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
nhiều hành động khác nhau mà các hành động này không liên quan với nhau thì ta áp dụng quy tắc cộng, còn nếu các hành động này được thực hiện một cách liên tiếp mà mỗi cách thực hiện hành động này ảnh hưởng tới việc thực hiện các hành động sau đó thì ta áp dụng quy tắc nhân.
Vận dụng PPDH đàm thoại phát hiện kết hợp PPDH hợp tác nhóm ( minh hoạ qua dạy học bài Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp ):
PPDH đàm thoại phát hiện là phương pháp trong đó GV tổ chức đối thoại, trao đổi ý kiến, thảo luận giữa GV với HS hoặc giữa HS với HS thông qua đó HS được củng cố, mở rộng, bổ sung kiến thức, có được tri thức mới, cách nhận thức mới, cách giải quyết vấn đề mới. Trong phương pháp đàm thoại phát hiện, hệ thống câu hỏi phải được sắp đặt một cách hợp lí, phù hợp với nhận thức của HS, kích thích HS tích cực tìm tòi, hướng HS theo một mục đích sư phạm nhất định. Cuối giai đoạn đàm thoại, GV phân tích, tổng hợp các ý kiến của HS để kết luận vấn đề đặt ra, có thể bổ sung, chỉnh lí khi cần thiết. Thông thường nội dung cuộc đàm thoại phát hiện gắn với việc tìm tòi, phát hiện, giải quyết vấn đề, tìm cách giải một bài toán.HS có được tri thức mới trong niềm vui của sự khám phá ra những tri thức đó. Từ những cuộc đàm thoại trên lớp, về sau trong quá trình tự học nhiều khi HS dựa vào những câu hỏi đã được đàm thoại để mà tự đối thoại với chính mình. Vận dụng PPDH đàm thoại phát hiện để dạy bài “ Hoán vị-Tổ hợp-Chỉnh hợp” như sau :
1.Hoán vị
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
* GV đưa ra bài toán mở đầu:
Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số khác nhau từ các chữ số 1, 2, 3 ?
- Hỏi: Mỗi số tìm được là một cách
- HS đưa ra kết quả:
Có thể liệt kê được các số cụ thể là : 123, 132, 213, 231, 312, 321
Có tất cả 6 số.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
sắp xếp thứ tự ba phần tử của tập hợp { 1, 2, 3 } được gọi là một hoán vị của ba phần tử này. Vậy hoán vị của n phần tử là gì ?
Số hoán vị :( Đàm thoại phát hiện )
GV quay trở lại bài toán ban đầu - Hỏi: Việc lập ra một số có 3 chữ số khác nhau từ các chữ số trong tập hợp A = { 1, 2, 3 } có thể chia thành những công đoạn nào và mỗi công đoạn có bao nhiêu cách chọn ?
- Hỏi: Vậy số các số có thể lập được được tính theo quy tắc nào và bằng bao nhiêu?
- Tổ chức cho HS thảo luận theo nhóm để tìm ra số hoán vị của n phần tử của tập hợp A.
- Kết luận lại kiến thức
“ Số các hoán vị của n phần tử kí hiệu là Pn và được tính theo công thức: Pn n! 1.2.3...( n1).n ”
Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. - Trả lời: Mỗi cách lập ra một số có 3 chữ số từ các chữ số trong tập hợp A gồm có 3 công đoạn : + Công đoạn 1 : chọn một số ở vị trí hàng trăm, có 3 cách chọn + Công đoạn 2 : chọn một số ở vị trí hàng chục, có 2 cách chọn + Công đoạn 3 : chọn một số ở vị trí hàng đơn vị, có 1 cách chọn
- Trả lời: Áp dụng theo quy tắc nhân và có tất cả 1.2.3 = 6 số thoả mãn
- Học sinh thảo luận sẽ chia mỗi cách sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A ra thành n công đoạn và tìm ra
được số hoán vị của n phần tử là: 1.2.3….(n-1).n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
2.Chỉnh hợp
Hoạt động của GV Hoạt động của HS
GV đưa ra bài toán mở đầu
Có thể lập được bao nhiêu số có 2 chữ số khác nhau từ các chữ số 1,2,3,4. Hãy liệt kê các số đó ?
- Hỏi:Việc lập ra một số như trên có thể chia ra thành những công đoạn nào, mỗi công đoạn có bao nhiêu cách chọn ?
Vậy số các số có thể lập được được tính theo quy tắc nào và bằng bao nhiêu ?
- Ngoài cách lập nói trên còn có cách nào khác để thành lập các số đó không?
- Mỗi cách chọn ra 2 số trong 4 số đã cho rồi đem xếp theo một thứ tự nhất định gọi là một chỉnh hợp chập 2 của 4 phần tử. Vậy chỉnh hợp chập k của n phần tử là gì? - Tổ chức cho HS hoạt động nhóm để phát hiện ra số chỉnh hợp chập k của n phần tử:
- Kết luận lại kiến thức cho HS
- HS trao đổi và trả lời:
Có thể liệt kê được các số : 12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43 Tất cả có 12 số.
- Trả lời: Việc lập ra một số như trên gồm 2 công đoạn : + Công đoạn 1: Chọn số ở vị trí hàng chục, có 4 cách chọn. + Công đoạn 2 :Chọn số ở vị trí hàng đơn vị, có 3 cách chọn. Áp dụng quy tắc nhân có tất cả 4.3 = 12 số. - Trả lời: Các số có thể thành lập bằng cách chọn ra hai số bất kì từ 4 số đã cho rồi đem sắp xếp thứ tự cho 2 số đã chọn.
- Phát biểu định nghĩa:
Cho một tập hợp A gồm n phần tử ( n1 ). Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.
- Thảo luận theo nhóm dựa theo bài toán mở đầu sẽ phát hiện ra được số
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn “ Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử được kí hiệu là k n A và được tính theo công thức: ! ( 1)...( 1) ( )! k n n A n n n k n k ” chỉnh hợp chập k của n phần tử là : n.(n-1)…(n-k+1) 3. Tổ hợp
Hoạt động của GV Hoạt động của HS - Tổ chức cho HS hoạt động nhóm
giải bài toán sau:
Trong một lớp có 4 bạn A, B, C, D học giỏi cả 3 môn Toán, Lý, Hoá. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 3 người để: a. Thi HSG các môn Toán, Lý, Hoá. Mỗi người chỉ được thi một môn. Hãy liệt kê các trường hợp.
b. Thành lập đội thi HSG. Hãy liệt kê các trường hợp.
- Chúng ta đã biết mỗi cách chọn 3 người để thi HSG các môn Toán, Lý, Hoá là một chỉnh hợp chập 3 của 4 phần tử (yêu cầu theo thứ tự ), còn mỗi cách chọn nhóm 3 người để thành lập đội thi HSG ( không quan
- HS hoạt động nhóm và trình bày kết quả:
a. Số cách chọn 3 người để thi các môn Toán, Lý, Hoá là:
3
4 24
A ( cách ) Theo thứ tự thi Toán, Lý, Hoá là: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA ACD, ADC, CAD, CDA, DCA, DAC ABD, ADB, BAD, BDA, DAB, DBA BCD, BDC, CBD, CDB, DBC, DCB b. Có 4 cách chọn 3 người để thành lập đội thi HSG là:
(ABC), (ACD), (ABD), (BCD)
- HS phát biểu định nghĩa tổ hợp SGK.51
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
tâm đến thứ tự ) được gọi là một tổ hợp chập 3 của 4 phần tử.
- Hỏi: Hãy phân biệt sự giống và khác nhau giữa chỉnh hợp và tổ hợp ?
- Quay lại bài toán trên:
Ứng với mỗi một cách chọn đội thi HSG có bao nhiêu cách phân môn thi cho các thành viên của đội.
- Nêu mối liên hệ giữa 3 4
C với 3 4
A
trong bài toán trên. - Tổng quát thì Cnk ?
- Giống nhau: Cùng lấy ra k phần tử từ một tập hợp gồm n phần tử khác nhau.
- Khác nhau: Ở chỉnh hợp thì đem sắp xếp thứ tự cho k phần tử đó, còn ở tổ hợp thì không cần sắp xếp thứ tự. -Trả lời: Ứng với mỗi một cách chọn đội thi HSG có 3! = 6 cách phân môn thi cho các thành viên của đội.
34 4 A = 3! 3 4 C hay 3 3 4 4 3! A C ! ! !( )! k k n n A n C k k n k (*)
GV cần chú ý khắc sâu hơn nữa cho HS những dấu hiệu đặc trưng của các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để HS có thể phân biệt chúng một cách chính xác. Cụ thể như sau:
Xuất phát từ một tập hợp A gồm n phần tử, nếu ta lấy ra cả n phần tử của tập hợp A rồi đem sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó thì số cách chọn sẽ là Pn. Còn nếu từ tập A ta chỉ lấy ra có k phần tử (1 k n) rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự nào đó thì ta được số cách chọn là k
n
A . Còn nếu ta chỉ lấy ra k phần tử mà không quan tâm đến thứ tự của chúng thì số cách chọn là k
n
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
hợp thì không có thứ tự giữa các phần tử.Giữa các khái niệm (công thức ) này
có mối liên hệ chặt chẽ với nhau. n
n n A P ; ! k k n n A C k .
Trong phần xác suất, có hai công thức mà HS thường hay nhầm lẫn đó là công thức cộng xác suất của hai biến cố xung khắc và công thức nhân xác suất của hai biến cố độc lập. Vì thế trong quá trình dạy học GV nên chú ý tạo tình huống để HS chủ động phát hiện ra các công thức và phân biệt được chúng. GV có thể thông qua một số trường hợp cụ thể để HS có thể tự mình khám phá ra hai công thức tính xác suất này. Cụ thể như sau: