8. Cấu trúc của luận văn
2.2.3. Sử dụng phƣơng tiện trực quan dạng ký hiệu toán học
Nhƣ chúng ta đã biết rằng, trong lịch sử toán học, vào đầu thế kỷ thứ V, khi ngƣời ấn Độ đƣa ký hiệu vào để chỉ số 0 thì họ đã có thể xoá bỏ đƣợc hệ thống tính từng cấp và phát triển hệ thống tính thập phân mà tính ƣu việt của nó trong tính toán đã đƣợc hàng trăm triệu ngƣời trên hành tinh chúng ta sử dụng hàng ngày. Đồng thời, khi nhà khoa học nổi tiếng ngƣời Đức là Lépnít đƣa ra ký hiệu vi phân và tích phân thì toán học đã thực sự đổi mới. Thật vậy, nếu nhƣ trƣớc đây lời giải của nhiều bài toán về tính diện tích, thể tích, cơ học, thiên văn học… đòi hỏi những nỗ lực to lớn mà chỉ những nhà toán học lỗi lạc mới có thể giải đƣợc, thì khi các ký hiệu của Lépnít xuất hiện, nhìn chung chúng đã đƣợc giải quyết, mặc dù đó là sự giải quyết một cách máy móc. Nhƣ vậy, với những ký hiệu toán học, chúng ta có thể giải quyết đƣợc những nhiệm vụ gắn liền với thực tiễn. Do ký hiệu toán học có nội dung khách quan đích thực. Ở đây, vấn đề là ở chỗ, nội dung ấy đƣợc thể hiện nhƣ thế nào trong quá trình nghiên cứu khoa học của chúng ta.
Chúng ta đều biết rằng, nhiều nhà triết học duy tâm thƣờng khẳng định tƣ duy của con ngƣời không có khả năng đƣa ra các chân lý khách quan. Song, trên thực tế họ lại luôn minh chứng cho nhận thức luận duy tâm của
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
mình bằng cách sử dụng hệ thống ký hiệu và công thức toán học do các nhà toán học đƣa ra. Giải thích việc sử dụng hệ thống này, các nhà triết học duy tâm cho rằng, đối tƣợng của toán học mang tính trừu tƣợng cao, trong khi quy luật phát triển của toán học lại rất phức tạp, ngôn ngữ ký hiệu thì ngày càng đƣợc sử dụng nhiều trong toán học, nên các chân lý toán học không có tính khách quan. Từ đó, họ coi toán học chỉ là một hệ thống ký hiệu đã đƣợc lựa chọn từ trƣớc một cách thích hợp và căn cứ vào đó để minh chứng cho học thuyết của mình. Bác bỏ quan niệm đó, các nhà triết học duy vật đã dựa vào toàn bộ quá trình phát triển của tri thức khoa học để chỉ ra sai lầm của chủ nghĩa duy tâm về đối tƣợng của toán học và phân tích một cách đúng đắn nội dung, ý nghĩa của các ký hiệu toán học.
Theo quan điểm duy vật biện chứng, các ký hiệu toán học, trƣớc hết đƣợc sử dụng để ghi lại các khái niệm và các mệnh đề toán học. Chẳng hạn, trong số học các số tự nhiên, các ký hiệu 1, 2, 3… biểu thị đặc điểm về lƣợng của nhóm đối tƣợng chứa một, hai, ba… đối tƣợng. Các ký hiệu , , biểu diễn những sự tƣơng quan, chẳng hạn 1 2 (1 bé hơn 2). Đồng thời, ngƣời ta còn sử dụng dấu hiệu các phép tính số học nhƣ: , , ,: để biểu thị những mối liên hệ có thể có giữa các số tự nhiên. Tất cả các ký hiệu nói trên cho phép ta diễn đạt một cách hoàn toàn chính xác nhiều mệnh đề của số học các số tự nhiên.
Nhƣ vậy, có thể nói, các ký hiệu toán học cho phép ta ghi lại một cách cô đọng dƣới dạng dễ nhận thức những mệnh đề rất rƣờm rà trong ngôn ngữ thông thƣờng. Nhờ đó, ta có thể dễ nhớ và có khả năng nắm đƣợc nội dung của chúng. Đồng thời, các ký hiệu này còn đƣợc sử dụng một cách có hiệu quả trong toán học để ghi lại các khái niệm và các mệnh đề, mỗi khi chúng phản ánh đƣợc những tƣơng quan về lƣợng và những hình dạng không gian nhất định của thế giới hiện thực. Chính vì vậy, trƣớc khi sử dụng những ký hiệu vào những lập luận của mình, nhà toán học cần chỉ rõ mỗi ký hiệu nhƣ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
thế biểu thị cái gì, nếu không sẽ dẫn đến những hiểu biết sai lệch điều mà các ký hiệu muốn nói và nhƣ vậy, mọi lập luận trong toán học sẽ không thể tiếp tục tiến hành. Chỉ khi ý nghĩa của các ký hiệu đã đƣợc thiết lập một cách chính xác, chúng ta mới có khả năng hiểu đƣợc điều mà các quan hệ muốn diễn đạt.
Trong toán học, vai trò của các ký hiệu rất giống với vai trò của tiếng nói thông thƣờng trong xã hội. Điều này đƣợc thể hiện ở chỗ, tiếng nói của các ký hiệu toán học cho phép các nhà toán học trao đổi với nhau và trao đổi với những ngƣời khác về chân lý toán học, về việc tổ chức nghiên cứu khoa học. Nhà toán học nổi tiếng ngƣời Nga – Lôbasépxki đã nhận định rằng, cũng nhƣ tiếng nói thông thƣờng có khả năng làm cho sự hiểu biết của chúng ta thêm phong phú nhờ lĩnh hội đƣợc ý kiến của những ngƣời khác, tiếng nói của các ký hiệu toán học là một phƣơng tiện hoàn hảo hơn, chính xác và sáng sủa hơn để ngƣời này truyền cho ngƣời kia những khái niệm mà họ lĩnh hội đƣợc, những chân lý mà họ tìm thấy. Nhƣng ở đây, cần phải thấy một điều đặc biệt quan trọng là, tiếng nói của các ký hiệu toán học không thể tồn tại đƣợc nếu không có tiếng nói thông thƣờng. Tiếng nói thông thƣờng có nội dung phong phú hơn tiếng nói của các ký hiệu toán học. Tất cả những mệnh đề toán học đƣợc diễn tả bằng tiếng nói của ký hiệu đều có thể diễn tả bằng tiếng nói thông thƣờng. Nhƣng điều ngƣợc lại thì không đúng, mọi mệnh đề đƣợc diễn tả bằng tiếng nói thông thƣờng không phải lúc nào cũng có thể diễn tả bằng tiếng nói của các ký hiệu toán học. Tiếng nói của các ký hiệu toán học chỉ là một công cụ bổ sung cho tiếng nói thông thƣờng, nó đƣợc sử dụng trong toán học và một phần trong các ngành khoa học khác mà ở đó, có ứng dụng toán học. Việc ký hiệu hoá toán học không đơn thuần là một vấn đề hình thức, một cách viết tắt thuận lợi, mặc dù không bao giờ đƣợc xem thƣờng khía cạnh đó. Ngôn ngữ toán học cho phép ta nói ngắn gọn nhiều điều mà nếu diễn tả bằng ngôn ngữ thông thƣờng sẽ rất dài đòng, phức tạp. Ở đây, chúng
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
ta có thể nhận thấy tính ƣu việt của việc sử dụng các ký hiệu toán học, nếu so sánh công thức của bất đẳng thức Bunhiacốpxki:
2
2 2 2 2 2 2
1 2 ... n . 1 2 ... n 1 1 2 2 ... n n
a a a b b b a b a b a b .
Với cách diễn đạt nội dung của nó bằng lời. Rõ ràng, việc phát biểu công thức này bằng lời sẽ dài dòng hơn rất nhiều, và nếu so sánh cách chứng minh bất đẳng thức trên bằng ký hiệu với cách chứng minh bằng lời thì chúng ta càng nhận thấy sự thuận tiện của việc sử dụng các ký hiệu toán học.
Tuy nhiên, không phải lúc nào các ký hiệu toán học cũng có thể biểu diễn một cách ngắn gọn nội dung toán học và các khoa học khác. Các ký hiệu toán học sẽ không thực hiện đƣợc nhiệm vụ chủ yếu này của chúng, nếu chúng chỉ là những biểu hiện ngắn gọn của những dạng ngôn ngữ đài dòng hơn. Chẳng hạn, việc xây dựng cơ học cổ điển đã diễn ra với việc sử dụng các véctơ để diễn tả chuyển động. Theo đánh giá của Anhxtanh, ở đây toàn bộ công việc đã làm chỉ là chuyển những sự kiện đã đƣợc thừa nhận từ trƣớc thành một ngôn ngữ phức tạp và kỳ lạ. Nhƣng, theo ông, chính cái ngôn ngữ kỳ lạ là véctơ ấy đã dẫn đến những điều khái quát quan trọng mà trong đó, véctơ giữ vai trò nòng cốt.
Vấn đề đáng lƣu tâm là ở chỗ, các ký hiệu toán học chỉ có tính ƣu việt khi chúng đảm bảo vai trò hàng đầu của mình trong nhận thức khoa học. Điều đó đƣợc thể hiện ở việc tham gia giải quyết các nhiệm vụ của chúng. Chẳng hạn, trong đại số học, với các biểu thức bằng chữ, chúng ta dễ dàng thực hiện đƣợc các phép tính và biến đổi từ dạng này sang trạng khác. Việc giải một bài toán đại số dẫn tới một hệ hai hoặc ba phƣơng trình tuyến tính mà nếu diễn đạt bằng lời, sẽ không thực hiện đƣợc trong khi đó, với các ký hiệu đại số, lời giải của nó đƣợc tìm thấy rất nhanh.
Sự tồn tại trong toán học các phép tính, các thuật toán khác nhau cho phép chúng ta giải theo một quy tắc nhất định hàng loạt bài toán mà khoa học tự nhiên và kỹ thuật thƣờng xuyên đặt ra, đó chính là nét đặt trƣng của toán
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
học. Để cho các phép toán dẫn đến lời giải của những bài toán xác định, chúng ta cần phải xây dựng những chỉ dẫn chính xác để trên cơ sở đó, từ những cái đã cho lúc đầu mà thu đƣợc kết quả cần tìm.
Nhƣ vậy, chúng ta nhận thấy rằng, trong toán học, ngƣời ta có khả năng sử dụng tiếng nói của ký hiệu chính là do đặc điểm về đối tƣợng nghiên cứu của nó. Cụ thể là, toán học nghiên cứu những hình dạng và quan hệ của các đối tƣợng trong thế giới hiện thực mà trong những giới hạn đã biết, chúng không phụ thuộc vào nội dung thực tế của đối tƣợng. Ngày nay, trong toán học, nhất thiết chúng ta phải dùng đến tiếng nói của các ký hiệu, bởi nhờ đó, ta có thể ghi lại một cách ngắn gọn và rõ ràng các khái niệm và mệnh đề của các lý thuyết toán học. Đồng thời, việc sử dụng các ký hiệu còn cho phép phát triển đƣợc cả những phép tính và những thuật toán, tức là những cái cất lõi để xây dựng nên các phƣơng pháp và các mệnh đề toán học. Nhƣ vậy, về thực chất, việc sử dụng các ký hiệu toán học là một thí nghiệm đã đƣợc lý tƣởng hoá, chúng mô tả dƣới dạng thuần tuý những điều đã đƣợc thực hiện hay có thể thực hiện đƣợc một cách gần đúng hoặc chính xác trong thực tế. Chính vì vậy mà việc sử dụng các ký hiệu toán học có khả năng phát hiện ra các chân lý toán học mới. Tuy nhiên, chúng ta cần lƣu ý rằng, tất cả những điều nói trên chỉ có thể thực hiện đƣợc trong trƣờng hợp hệ thống ký hiệu toán học đó thể hiện đúng đắn các tính chất và tƣơng quan cơ bản, xác định của thế giới hiện thực. Toán học nghiên cứu các quan hệ về lƣợng và hình dạng không gian của các đối tƣợng trong thế giới đang tồn tại, có nghĩa là nó nghiên cứu những cái không phụ thuộc vào nội dung vật chất của chúng.
Trên cơ sở đó, các đối tƣợng mà chúng ta đang nghiên cứu trong toán học, nhƣ số học, đại số, hình học… và các liên hệ nhƣ cộng, trừ, nhân, chia… có thể thay thế đƣợc bằng những ký hiệu mà ý nghĩa của chúng không hề bị xuyên tạc và thu hẹp lại. Điều này đã đƣợc nhiều nhà toán học khẳng định, trong số đó có cả những nhà toán học duy tâm. Chẳng hạn, Lépnít đã nhận xét
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
rằng, cần phải quan tâm đến vấn đề làm cho những ký hiệu trở nên thuận tiện hơn cho việc phát minh. Điều này thƣờng xảy ra khi các ký hiệu diễn tả một cách ngắn gọn và phản ánh một cách sâu sắc nhất thực chất của sự vật, khi đó việc làm của tƣ duy sẽ giảm đến mức kỳ diệu.
Để phát triển khoa học, thế hệ sau phải “đứng lên vai” thế hệ trƣớc, chiếm lấy toàn bộ kiến thức mà các thế hệ trƣớc đã tích luỹ. Song, sự phát triển ngày càng nhanh của khoa học lại làm cho quá trình tiếp nhận kiến thức trở nên phức tạp hơn. Trƣớc sự phát triển nhƣ vũ bão của cuộc cách mạng khoa học và công nghệ hiện đại, lƣợng thông tin khoa học từng ngày, từng giờ rất lớn, vì vậy không chỉ mỗi nhà bác học không thể sử dụng nổi, mà cả tập thể nghiên cứu cũng không thể sử dụng nổi lƣợng thông tin ấy. Điều đó đã dẫn tới một thực tế là, việc phát hiện ra một sự kiện mới hoặc lập ra một lý thuyết mới còn dễ hơn là biết đƣợc rằng, chúng đã đƣợc phát hiện hay đã đƣợc xây dựng chƣa. Do sự phát triển nhƣ vũ bão của khoa học, phần kiến thức mà một ngƣời có thể nắm đƣợc cũng không ngừng giảm đi, điều đó dẫn tới việc chuyên môn hoá một cách chi tiết hơn và chính những hậu quả không hay cũng đƣợc sinh ra từ đó. Đồng thời, cũng chính điều này đã dẫn tới sự trùng lặp của các công trình khoa học một cách ngẫu nhiên. Hiện nay, ngƣời ta đã tính đƣợc trên thế giới có rất nhiều công trình nghiên cứu khoa học lẽ ra không đƣợc phép tiến hành, nếu nhƣ có sự thông tin về các công trình tƣơng tự đã đƣợc hoàn thành. Những sự trùng lặp nhƣ vậy, theo ƣớc tính, đã gây thiệt hại hàng tỷ đồng. Do tình trạng đó, nên ngày nay, ngƣời ta đã thành lập những hệ thống tìm kiếm thông tin đặc biệt để giảm bớt những “cuộc hành trình trong cái biển thông tin rộng lớn. Khối lƣợng lớn kiến thức đƣợc lƣu trữ một cách thuận lợi không phải ở trên các giá sách của thƣ viện, mà là ở trong bộ nhớ của các máy tính điện tử. Những máy tính này có khả năng cung cấp nhanh chóng cho ngƣời sử dụng bất cứ đòi hỏi nào về những nhu cầu giữ trong bộ nhớ. Những cái mà con ngƣời với tƣ cách một sinh vật sinh lý không
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/
làm đƣợc thì nó có thể làm đƣợc và làm có kết quả nhƣ một sinh vật xã hội, trong đó các máy tính điện tử là sự giúp đỡ vô cùng quý giá.
Máy tính không hề biết “ngoại ngữ” và cũng không biết một thứ ngôn ngữ tự nhiên nào, chính vì vậy mà chúng ta cần phải nói với máy thứ ngôn ngữ mà nó hiểu, những nhu cầu thông tin và những điều đã đƣợc công bố đƣợc dịch ra thứ tiếng đó. Do vậy, chúng ta phải lập nên một ngôn ngữ hình thức hoá đặc biệt để sử dụng cho việc giải quyết một lớp bài toán hoàn toàn xác định. Một ngôn ngữ hình thức hoá đƣợc phân biệt bởi các giá trị cố định trong các ký hiệu của nó và bởi một hệ thống quy tắc đƣợc xác định chính xác và đơn trị, các quy tắc này xác định luật sử dụng các ký hiệu. Nhƣ vậy, chúng ta có một ngôn ngữ thông tin tìm kiếm dƣới dạng trừu tƣợng, gồm có bảng kê những ký hiệu cơ sở, các quy tắc cấu tạo (quy định kết hợp các ký hiệu nhƣ thế nào). Các quy tắc biến đổi (quy định các biểu thức nhƣ thế nào để đƣợc một kết luận logic) và các quy tắc giải đoán (quy định gán những nghĩa nào cho các biểu thức hình thành theo quy tắc cấu tạo).
Ở đây, một vấn đề có ý nghĩa lớn là, những ký hiệu đƣợc đƣa vào ngôn ngữ toán học nhân tạo thƣờng có tính chất quốc tế và giúp cho việc khắc phục trở ngại về ngôn ngữ, bởi những tài liệu đƣợc công bố bằng tiếng nƣớc ngoài thƣờng khó hiểu đó bất đồng ngôn ngữ. Song, nhƣ chúng ta đã biết, nhờ có ngôn ngữ của các ký hiệu mà từ lâu, việc không phiên dịch các thông báo khoa học do các nhà khoa học của nhiều nƣớc trình bày trong các cuộc hội thảo khoa học đã trở thành truyền thống của các hội nghị toán học quốc tế. Nhƣ vậy, chính ngôn ngữ của các ký hiệu, công thức và phƣơng trình đã liên kết các nhà khoa học toàn thế giới.
Nếu xét trên bình diện nghiên cứu khoa học, những đặc điểm của ngôn ngữ tự nhiên đôi khi đã tạo nên những yếu tố chủ quan trong quá trình nhận