- GV nhận xét, bổ sung, hoàn thiện các kết luận, đưa ra kết luận chung.
2.3.3. Luyện tập cho học sinh cách biến đổi tương đương, chú trọng cả mặt ngữ nghĩa và cú pháp, khai thác bài toán giải bằng cách lập phương trình
ngữ nghĩa và cú pháp, khai thác bài toán giải bằng cách lập phương trình theo những chiều hướng khác nhau
a/ Luyện tập cho học sinh cách biến đổi tương đương
Về biến đổi tương đương PT chủ yếu có các định lý sau:
Định lý 1: Có thể cộng vào hai vế của PT một biểu thức có nghĩa trong
miền xác định của PT đã cho để được PT tương đương.
Định lý 2: Có thể nhân vào hai vế của PT một biểu thức có nghĩa và khác
0 trong miền xác định của PT đã cho để được PT tương đương.
Về biến đổi tương đương BPT chủ yếu có các định lý về cộng vào hai vế một biểu thức tương tự như định lý 1 về biến đổi PT. Riêng về định lý nhân vào hai vế của BPT một biểu thức h(x) cần chia làm hai trường hợp: nếu với mọi giá trị của x thuộc miền xác định của BPT mà h(x) > 0 thì giữ nguyên chiều BPT; cịn h(x) < 0 thì sẽ đổi chiều BPT.
Ví dụ 7: Giải phương trình: 1 2 3 4
9 8 7 6
x+ + x+ = x+ + x+ (7)
GV hướng dẫn HS bằng cách thêm vào hai vế của PT đã cho cùng một hạng tử sẽ đưa đến việc xuất hiện các thừa số chung trên tử số mà không phải triển khai quy đồng phân số như cách làm thông thường:
(7) ⇔ 1 1 2 1 3 1 4 1 9 8 7 6 x+ x+ x+ x+ + + + = + + + ÷ ÷ ÷ ÷
⇔ 10 10 10 10 9 8 7 6 x+ + x+ = x+ + x+ ⇔ ( 10) 1 1 1 1 0 9 8 7 6 x+ + − − = ÷ ⇔ x+ =10 0 ⇔ x= −10
Vậy tập nghiệm của PT là:S = −{ }10 .
Ví dụ 8: Giải bất phương trình:
3x+ <5 5x−7
Đối với BPT này bằng cách chuyển vế và nhân (hoặc chia) các hạng tử để đưa BPT về dạng đơn giản.
Ta có:
3x+ <5 5x−7 ⇔ 3x−5x< − −5 7
⇔ −2x< −12
⇔ −2 : ( 2)x − > −12 : ( 2)− (Chia cả hai vế cho 2− , BPT đổi chiều) ⇔ x>6
Vậy nghiệm của BPT là: S ={x x| >6} .
b/ Giải quyết hợp lí mối liên hệ giữa hai phương diện ngữ nghĩa và cú pháp trong dạy học giải PT
Trong toán học, người ta phân biệt cái kí hiệu và cái được kí hiệu, cái biểu diễn và cái được biểu diễn. Nếu xem xét phương diện những cái kí hiệu, những cái biểu diễn, đi vào cấu trúc hình thức và những quy tắc hình thức để xác định và biến đổi chúng thì đó là phương diện cú pháp. Nếu xem xét phương diện những cái được kí hiệu, những cái được biểu diễn tức là đi vào nội dung, vào nghĩa của những cái kí hiệu, những cái biểu diễn thì đó là phương diện ngữ nghĩa.
Phương diện ngữ nghĩa của Toán học là mặt xem xét nội dung của những mệnh đề toán học và nghĩa của những cách đặt vấn đề Toán học. Phương diện cú pháp của Toán học là mặt xem xét cấu trúc hình thức và sự biến đổi hình thức những biểu thức Tốn học, sự làm việc theo những quy tắc xác định và nói riêng là sự làm việc theo thuật giải. Luyện tập cho HS cách chuyển đổi ngơn ngữ trong một nội dung Tốn học hoặc chuyển đổi từ ngôn ngữ này sang ngôn ngữ khác thông qua dạy học các tình huống điển hình. Từ đó dẫn đến các cách lập luận chứng minh, giải quyết các vấn đề khác nhau.
Cả hai phương diện này đều cần được chú trọng trong việc hình thành con người phát triển tồn diện.
Việc dạy học PT có thể được khai thác để rèn luyện cho HS cả hai loại hình tư duy và hoạt động nói trên.
Tuy nhiên ngay cả khi HS đã học những phép biến đổi PT, nhiều công thức và thuật giải để giải nhiều dạng PT, người thầy giáo cũng không được sao lãng phương diện ngữ nghĩa, trái lại cần khéo léo kết hợp cả hai phương diện ngữ nghĩa và cú pháp.
Ví dụ 9: Giải và biện luận phương trình:
2 ax (9)
a x b+ = +ab
Đối với PT này, vì hệ số của x2 và x là một hằng số chưa cụ thể nên GV hướng dẫn HS phải biện luận theo hằng số đó số nghiệm của PT.
Xét về phương diện ngữ nghĩa, PT sau khi chuyển vế (a−1)(ax− =b) 0.
PT có nghiệm duy nhất x b a
= khi a≠0, a ≠1. PT nghiệm đúng với mọi x khia=1 hoặc khi a=0, b=0. PT vô nghiệm khi a=0, b≠0.
Xét về phương diện cú pháp , ta có thể biến đổi một cách hình thức như sau: Lời giải: Ta có: 2 (9) ⇔ a x−ax=ab b− ⇔ ax a( − =1) b a( −1) ⇔(a−1)(ax− =b) 0 (9')
Nếu a ≠ 0; a ≠ 1 thì PT có nghiệm duy nhất x= ba.
Nếu a = 1 thì (9’) có dạng 0x = 0, PT nghiệm đúng với mọi x. Nếu a = 0 thì (9’) có dạng 0x = – b thì:
+ Nếu b = 0 thì PT nghiệm đúng với mọi x. + Nếu b ≠ 0 thì PT vơ nghiệm.
Kết luận: a = 0; b = 0 thì PT nghiệm đúng với mọi x. a = 0; b ≠ 0 thì PT vơ nghiệm.
a = 1 thì PT nghiệm đúng với mọi x.
a ≠ 0; a ≠ 1 thì PT có nghiệm duy nhất x= ba.
Ví dụ 10: Giải bất phương trình:
a/ x a x 1
b) 1 1 1 8
4 3
x− − ≥ x+ +
Giải:
a/ GV hướng dẫn HS cách nhân thêm vào hai vế của BPT để xuất hiện được nhân tử chung
Theo đề bài a>1 nên ta nhân cả hai vế của BPT với một số a dương, ta được:
x a+ 2 >ax+a
⇔ x−ax> −a a2 ⇔ x(1− >a) a(1−a)
Do a>1 ⇔ 1− <a 0 nên x a<
Vậy tập nghiệm của BPT là: S={x x a| < }.
b/ Đối với BPT này bằng cách chuyển vế, quy đồng các hạng tử để đưa BPT về dạng đơn giản. Ta có: 1 1 1 8 4 3 x− − ≥ x+ + 3 3 12 4 4 96 12 12 x− − x+ + ⇔ ≥ 3 15 4 100 12 12 x− x+ ⇔ ≥ ⇔ 3x− ≥15 4x+100 ⇔ x≤ −115
Vậy nghiệm của bất phương trình là: S={x x| ≤ −115} .
c/ Tạo điều kiện kiến tạo các PT, BPT qua dạy học giải bài tốn bằng cách lập phương trình theo những chiều hướng khác nhau.
Thể hiện mối quan hệ biện chứng của cặp phạm trù nội dung và hình thức. Cùng một nội dung có thể diễn tả dưới nhiều hình thức khác nhau, chuyển từ hoạt động tư duy này sang hoạt động tư duy khác; nhìn một đối tượng, một vấn đề dưới nhiều góc độ khác nhau, nhìn trong mối tương quan với các hiện tượng khác, từ đó có cách dự đốn, đề xuất giả thuyết, có cách giải quyết sáng tạo.
Xuất phát từ một tình huống đối tượng cho trước, luyện tập cho HS chuyển dịch các liên tưởng từ đối tượng ban đầu sang một đối tượng mới để đề xuất ra một bài toán mới, phương pháp mới trên cơ sở bài toán ban đầu.
Cần cho HS phân biệt được các dạng toán về giải bài tốn bằng lập PT. Ở trong chương trình Tốn lớp 8 có những dạng giải bài tốn bằng cách lập PT sau:
* Dạng 1: Toán chuyển động: + Ba đại lượng: S, v, t. + Quan hệ: S v t= . , t S v = , v S t = .
+ Chú ý bài tốn canơ: vxi dịng = vthực + v nước. Vngược dòng = vthực – vnước.
* Dạng 2: Toán về quan hệ giữa các số:
10
ab= a b+
100 10
abc= a+ b c+
Điều kiện 0< ≤a 9; 0≤b c, ≤9. * Dạng 3: Toán làm chung, làm riêng: + Qui ước: Cả công việc là 1 đơn vị.
+ Tìm trong 1 đơn vị thời gian đối tượng tham gia bài toán thực hiện được bao nhiêu phần công việc.
A: Khối lượng công việc. n: Năng suất làm việc. t: Thời gian làm việc.
* Dạng 4: Toán năng suất:
+ Gồm 3 đại lượng: Tổng sản phẩm, năng suất, thời gian. + Quan hệ: Tổng sản phẩm = Năng suất x thời gian.
* Dạng 5: Dạng toán về tỉ lệ, chia phần, tăng giảm, thêm bớt tỉ số các đại lượng a. Kỹ năng biểu thị mối liên hệ giữa các đại lượng.
b. Biểu diễn các tỷ lệ dưới dạng: Phần trăm, thập phân, tỷ lệ thức... c. Các tính chất của tỷ lệ thức.
d. Sự tăng giảm, thêm bớt qua các biểu thức. * Dạng 6: Dạng tốn có nội dung hình học:
Ngồi kiến thức chung, đối với HS cần nhớ các kiến thức sau:
a. Cơng thức tính diện tích, chu vi hình quen thuộc (tam giác, tam giác vng, hình chữ nhật, hình vng, hình thang....).
b. Các hệ thức lượng trong tam giác vng... * Dạng 7: Tốn có nội dung vật lí, hóa học
a. Cơng thức tính nhiệt lượng: Qtoả = C.m(t1-t2) Qthu = C.m(t2-t1) b. Nồng độ dung dịch: % ct .100% dd m C m = c. Nồng độ mol/l: CM M V =
d. Tính theo phương trình hố học, cơng, cơng suất.
Ngồi ra, khi gặp một bài tốn bất kì khơng thuộc những dạng tốn trên, một u cầu khơng kém phần quan trọng đó là phải đọc kĩ đề bài, tự mình biết
ghi tóm tắt đề bài, nếu tóm tắt được đề bài là các em đã hiểu được nội dung, yêu cầu của đề bài, từ đó biết được đại lượng đã cho, đại lượng nào chưa biết, mối quan hệ giữa các đại lượng. Hướng dẫn cho HS: tóm tắt đề bài như thế nào để làm bài tốn, tốt lên dạng tổng qt của PT thì HS sẽ lập được các PT dễ dàng. Khó khăn nhất đối với HS là bước lập PT, HS thường không biết chọn đối tượng nào là ẩn, điều kiện của ẩn ra sao? Điều này có thể khắc sâu cho HS là ở những bài tập đơn giản thì thường “bài tốn u cầu tìm đại lượng nào thì chọn đại lượng đó làm ẩn”. Muốn lập được PT bài tốn khơng bị sai thì một yêu cầu quan trọng nữa là phải nắm chắc đối tượng tham gia vào bài, mối quan hệ của các đối tượng này lúc đầu thế nào, lúc sau như thế nào?
Ví dụ 11:
Anh Hùng đi xe đạp từ nhà đến Hà Nội theo con đường dài 48km. Lúc về anh đi theo con đường khác ngắn hơn 13km. Do đường khó đi nên vận tốc chỉ bằng 5
6 vận tốc lúc đi. Tuy nhiên thời gian về vẫn ít hơn thời gian đi 1 2 giờ. Tính vận tốc lúc đi của anh Hùng?
Hướng dẫn học sinh: a. Phân tích bài tốn:
- Nhận dạng bài toán: Toán chuyển động. HS thấy rõ hai q trình chuyển động đi và về.
- Có 3 đại lượng tham gia: S, v, t.
- Mối liên hệ giữa hai quá trình: Svề + 13 = Sđi
vvề = 5
6vđi
tvề = tđi - 1
b. Công thức sử dụng: S v t= . ; t s