MỘT SỐ KỸ THUẬT KIỂM SOÁT QUÁ TRÌNH
9.1 KIỂM ĐỒ PHÁT HIỆN DỊCH CHUYỂN NHỎ
Kiểm đồ Shewhart chỉ dựa vào điểm cuối, không dựa vào toàn bộ các điểm nên kém nhạy với dịch chuyển nhỏ dưới 1,5 độ lệch chuẩn. Khi tăng độ nhạy phát hiện dịch chuyển bởi luật nhạy hóa kiểm đồ, mà thật ra là cố gắng dựa vào toàn bộ các điểm, sẽ làm giảm tính đơn giản, dễ dùng của Biểu đồ kiểm soát Shewhart, đồng thời phải chịu giảm khoảng báo động giả ARLo.
Phần này giới thiệu một số kiểm đồ phát hiện dịch chuyển nhỏ bao gồm:
- Kiểm đồ trung bình dịch chuyển - MACC.
- Kiểm đồ trung bình dịch chuyển trọng số hàm mũ - EWMA.
- Kiểm đồ tổng tích lũy - CUSUM.
1- Kiểm đồ tổng tích lũy
a- Nguyên lý kiểm đồ tổng tích lũy
Nhằm kiểm soát trung bình quá trình μ, ta xây dựng đại lượng trung bình tích lũy đến mẫu i như sau:
1 i o j o j i
1 j
i (x ) (x ) C
C −
=
+ μ
−
= μ
−
=∑
trong đó: x - trung bình ở mẫu j; μj o - giá trị mục tiêu.
Giá trị ban đầu Co có thể chọn bằng 0. Trung bình tích lũy Ci là biến ngẫu nhiên và phụ thuộc vào trung bình quá trình μ. Khi quá trình trong kiểm soát ở giá trị mục tiêu μo, Ci sẽ là biến bước ngẫu nhiên với kỳ vọng bằng 0. Khi quá trình dịch chuyển, Ci sẽ trôi. Khi μ tăng (μ > μo), Ci sẽ trôi lên theo chiều dương. Khi μ giảm (μ < μo), Ci trôi xuống theo chiều âm. Dựa vào trung bình tích lũy có thể kiểm soát trung bình quá trình, đó là nguyên lý của kiểm đồ tổng tích lũy - CUSUM.
Ngoài ra, kiểm đồ tổng tích lũy còn dùng để kiểm soát biến thiên quá trình, kiểm soát lỗi, tỷ lệ hư hỏng. Tổng tích lũy chứa thông tin nhiều mẫu nên kiểm đồ CUSUM hiệu quả khi phát hiện dịch chuyển nhỏ. Kiểm đồ còn hiệu quả với cỡ mẫu đơn vị (n = 1) nên dùng nhiều trong công nghiệp hóa chất và quá trình với cỡ mẫu kiểm soát thường là 1 hay sản xuất rời rạc với các thiết bị kiểm tra tự động từng sản phẩm.
Biểu đồ CUSUM gồm hai loại là CUSUM dạng bảng - TCUSUM và CUSUM mặt nạ hình V – VCUSUM; phần sau khảo sát chủ yếu là TCUSUM.
b- Kiểm đồ tổng tích lũy dạng bảng TCUSUM
Phần này trình bày cách sử dụng TCUSUM để kiểm soát trung bình quá trình. Giả sử đặc tính chất lượng X có phân bố chuẩn với kỳ vọng μ0, độ lệch chuẩn σ. Xét với cỡ mẫu đơn vị, độ lệch dương Ei+ và độ lệch âm Ei- với khoảng cách K từ trị mục tiêu μo ở mẫu thứ i định nghĩa như sau:
( )
( o ) i
i
o i i
x K E
K x
E
−
− μ
=
+ μ
−
=
− +
Trong đó K là giá trị tham chiếu, thường được chọn là phân nửa của khoảng dịch chuyển muốn dò:
K μ12−μo
=
Trong đó μ1 là dịch chuyển cần phát hiện:
δσ + μ
= μ1 o
δ - độ lớn dịch chuyển tương đối.
Từ đó:
K = δσ2
Tổng tích lũy độ lệch dương Ci+ và tổng tích lũy độ lệch âm Ci- đến mẫu thứ i định nghĩa như sau:
[ ]
[ −− −]
−
+ +− +
+
=
+
=
i 1 i i
i 1 i i
E C
, 0 max C
E C
, 0 max C
Với các điều kiện đầu: Co+ =Co− =0
Để ý rằng các tổng tích lũy độ lệch Ci+ và Ci- tích lũy độ lệch từ giá trị mục tiêu μo với khoảng cách K, hai đại lượng này là không âm.
Khi một trong hai tổng tích lũy độ lệch vượt quá một khoảng quyết định H thì quá trình được xem là ngoài kiểm soát. Việc chọn lựa các giá trị K và H ảnh hưởng đến hoạt động của biểu đồ kiểm soát và sẽ được xét ở phần sau. Một giá trị thường chọn của khoảng quyết định là 5 lần độ lệch chuẩn σ.
Khi quá trình dịch chuyển, TCUSUM còn giúp ước lượng trung bình quá trỡnh nhử sau:
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
>
−
− μ
>
+ + μ
= μ
−
−
−
+ +
+
H C khi N , K C
H C khi N ,
K C ˆ
i i o
i i o
Trong đó N+, N- lần lượt là số chu kỳ liên tiếp mà Ci+, Ci- dương.
Cần biết rằng các luật nhạy hóa kiểm đồ không dùng cho CUSUM. Với cỡ mẫu n > 1, ta vẫn dùng các biểu thức trên nhưng thay X bởi X và σ bởi σX. Ví dụ 9.1 Xem một quá trình có các tham số μo = 10, σ = 1. Độ lớn dịch chuyển quá trình quan tâm là 1 sigma hay giá trị ngoài kiểm soát của trung bình quá trình là μ1 = 11. Giá trị tham chiếu và khoảng cho phép được chọn là K = 1/2 và H = 5. Với cỡ mẫu đơn vị, các 30 mẫu được thu thập như ở bảng sau:
i xi i xi i xi
1 9,45 11 9,03 21 10,90 2 7,99 12 11,47 22 9,33 3 9,29 13 10,51 23 12,29 4 11,66 14 9,4 24 11,50 5 12,16 15 10,08 25 10,6 6 10,18 16 9,37 26 11,08 7 8,04 17 10,62 27 10,38 8 11,46 18 10,31 28 11,62 9 9,20 19 8,52 29 11,31 10 10,34 20 10,84 30 10,52
Từ các giá trị thu thập ta tính được các độ lệch, tổng tích lũy, số lần tổng tích lũy dương như ở bảng sau:
i xi xi - 10,5 Ci+ N+ 9,5 - xi Ci- N-
1 9,45 -1,05 0 0 0,05 0,05 1 2 7,99 -2,51 0 0 1,51 1,56 2 3 9,29 -1,21 0 0 0,21 1,77 3 4 11,66 1,16 1,16 1 -2,16 0 0 5 12,16 1,66 2,82 2 -2,66 0 0 6 10,18 -0,32 2,5 3 -0,68 0 0 7 8,04 -2,46 0,04 4 1,46 1,46 1
8 11,46 0,96 1,00 5 -1,96 0 0 9 9,20 -1,3 0 0 0,3 0,3 1 10 10,34 -0,16 0 0 -0,84 0 0 11 9,03 -1,47 0 0 0,47 0,47 1 12 11,47 0,97 0,97 1 -1,97 0 0 13 10,51 0,01 0,98 2 -1,01 0 0 14 9,4 -1,1 0 0 0,1 0,1 1 15 10,08 -0,42 0 0 -0,58 0 0 16 9,37 -1,13 0 0 0,13 0,13 1 17 10,62 0,12 0,12 1 -1,12 0 0 18 10,31 -0,19 0 0 -0,81 0 0 19 8,52 -1,98 0 0 -0,98 0,98 1 20 10,84 0,34 0,34 1 -1,34 0 0 21 10,90 0,4 0,74 2 -1,4 0 0 22 9,33 -1,17 0 0 0,17 0,17 1 23 12,29 1,79 1,79 1 -2,79 0 0 24 11,50 1,00 2,79 2 -2,0 0 0 25 10,6 0,1 2,89 3 -1,1 0 0 26 11,08 0,58 3,47 4 -1,58 0 0 27 10,38 -0,12 3,35 5 -0,88 0 0 28 11,62 1,12 4,47 6 -2,12 0 0 29 11,31 0,81 5,28 7 -1,81 0 0 30 10,52 0,02 5,30 8 -1,02 0 0
Từ bảng ta thấy tổng tích lũy dương ở mẫu 29 C+29 là 5,28 vượt quá giới hạn 5 nên ta xem quá trình ra ngoài kiểm soát ở mẫu này. Mặt khác số lần tích lũy dương N+ là 7 nên quá trình bắt đầu dịch chuyển trước đó 7 mẫu hay là ở mẫu 22. Trung bình quá trình sau khi dịch chuyển được ước lượng như sau:
25 , 7 11
28 , 5 5 , 0 0 , N 10 K C29
o + + = + + =
μ
=
μ ++
2- Kiểm đồ trung bình dịch chuyển trọng số hàm mũ
Kiểm đồ trung bình dịch chuyển trọng số hàm mũ - EWMA được Roberts giới thiệu vào 1959 - là một loại kiểm đồ dò dịch chuyển nhỏ, dễ xây dựng và vận hành hơn kiểm đồ CUSUM.
Xem đặc tính chất lượng X với kỳ vọng μ, độ lệch chuẩn σ. Với cỡ mẫu đơn vị, đại lượng trung bình dịch chuyển trọng số hàm mũ xác định đến mẫu i như sau:
( ) i 1
i
i x 1 z
z = λ + −λ −
Trong đó λ là hằng số thỏa điều kiện 0 < λ [ 1 và giá trị ban đầu của trung bình là giá trị mục tiêu của trung bình quá trình:
zo = μo
Sau khi biến đổi:
( ) i j ( )i o
1 i
0 j
i 1 jx 1 z
z =λ − −λ − + −λ
∑=
Ta thấy, zi là trung bình có trọng số của các mẫu xi,..., x1, trọng số của mẫu i – j (xi-j) là λ(1 – λ)j. Để ý rằng có thể kiểm tra tổng các trọng số bằng 1.
Nếu các mẫu Xi là độc lập thì phương sai của trung bình zi là:
( )
[ 2i]
2
2z 1 1
2
i ⎟ − −λ
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ λ
− σ λ
= σ
Khi quá trình trong kiểm soát, kỳ vọng của trung bình zi là μ0. Kiểm đồ trung bình dịch chuyển trọng số hàm mũ EWMA có đường tâm và các giới hạn kiểm soát như sau:
( )
[ 2i]
o 1 1
L 2
LCL − −λ
λ
− σ λ
− μ
=
CL =μo
( )
[ 2i]
o 1 1
L 2
UCL − −λ
λ
− σ λ + μ
=
Trong đó L là khoảng cách từ đường tâm đến các giới hạn kiểm soát. Khi số cỡ mẫu đủ lớn (i → ∞) thì các giới hạn kiểm soát tiến đến các giá trị sau:
λ
− σ λ
− μ
= L 2
LCL o
λ
− σ λ + μ
= L 2
UCL o
Với cỡ mẫu n > 1, ta vẫn sử dụng các công thức trên và thay xi bởi x , i σ bởi
x = σn
σ .
Ví dụ 9.2 Một quá trình với các tham số μo = 10, σ = 1 được kiểm soát bởi kiểm đồ EWMA với λ = 0,1, L = 2,7, số liệu thu thập xi trong 30 mẫu như ở bảng sau:
i xi i xi i xi
1 9,45 11 9,03 21 10,90 2 7,99 12 11,47 22 9,33 3 9,29 13 10,51 23 12,29 4 11,66 14 9,4 24 11,50 5 12,16 15 10,08 25 10,6 6 10,18 16 9,37 26 11,08 7 8,04 17 10,62 27 10,38 8 11,46 18 10,31 28 11,62 9 9,20 19 8,52 29 11,31 10 10,34 20 10,84 30 10,52
Với các số liệu ta tính được các trung bình zi các giới hạn kiểm soát tương ứng, như ở bảng sau, để ý rằng khi i đủ lớn các giới hạn kiểm soát tiến đến các giá trị sau: LCL = 9,38, UCL = 10,62.
i xi zi LCLi UCLi
1 9,45 9,945 9,73 10,27 2 7,99 9,7495 9,636752 10,36325 3 9,29 9,70355 9,575997 10,424 4 11,66 9,899195 9,532538 10,46746 5 12,16 10,12528 9,500098 10,4999 6 10,18 10,13075 9,47529 10,52471 7 8,04 9,921673 9,456024 10,54398 8 11,46 10,07551 9,440905 10,55909 9 9,20 9,987955 9,428952 10,57105 10 10,34 10,02316 9,419451 10,58055 11 9,03 9,923844 9,411867 10,58813 12 11,47 10,07846 9,405795 10,5942 13 10,51 10,12161 9,400922 10,59908 14 9,4 10,04945 9,397004 10,603 15 10,08 10,05251 9,393849 10,60615 16 9,37 9,984256 9,391305 10,6087 17 10,62 10,04783 9,389252 10,61075 18 10,31 10,07405 9,387595 10,61241 19 8,52 9,918643 9,386255 10,61374 20 10,84 10,01078 9,385172 10,61483
21 10,90 10,0997 9,384297 10,6157 22 9,33 10,02273 9,383588 10,61641 23 12,29 10,24946 9,383015 10,61698 24 11,50 10,37451 9,382551 10,61745 25 10,6 10,39706 9,382176 10,61782 26 11,08 10,46535 9,381872 10,61813 27 10,38 10,45682 9,381626 10,61837 28 11,62 10,57314 9,381426 10,61857 29 11,31 10,64682 9,381265 10,61873 30 10,52 10,63414 9,381134 10,61887
Cũng như CUSUM, EWMA cũng hiệu quả trong phát hiện dịch chuyển nhỏ nhưng lại không phát hiện dịch chuyển lớn nhanh như kiểm đồ SHEWHART. Tuy nhiên EWMA hiệu quả hơn CUSUM trong phát hiện dịch chuyển lớn, nhất là khi chọn λ > 0,1. Nhằm cải thiện hiệu quả của EWMA trong phát hiện dịch chuyển lớn, ta dùng Kiểm đồ SHEWHART EWMA, là sự kết hợp của hai loại kiểm đồ SHEWHART và EWMA, khoảng giới hạn của kiểm đồ SHEWHART trong trường hợp này có thể mở rộng đến 3,25 thậm chí là 3,5 độ lệch chuẩn.
3- Kiểm đồ trung bình dịch chuyển
Một dạng trung bình theo thời gian đơn giản là trung bình dịch chuyển với khoảng w ở thời điểm i được định nghĩa như sau:
w x x
Mi xi + i−1 + + i−w+1
= L
Phương sai của trung bình dịch chuyển Mi định bởi:
( ) ( ) w
w x 1 w V
M 1
V i 2
1 w i j
2 2
i 1 w i
j j
i = 2 ∑ = ∑σ = σ
+
−
= +
−
=
Nếu μ0 là trị mục tiêu của trung bình quá trình, được dùng như đường tâm của kiểm đồ thì các giới hạn kiểm soát 3-sigma của Mi là:
w UCL =μo + 3σ
w LCL =μo − 3σ
Cần lưu ý rằng với i < w thì w sẽ thay bởi i trong các biểu thức trên.
Ví dụ 9.3 Xem quá trình có μo = 10, σ = 1, số liệu thu thập được xi trong 30 mẫu như ở bảng sau.
i xi i xi i xi
1 9,45 11 9,03 21 10,90 2 7,99 12 11,47 22 9,33 3 9,29 13 10,51 23 12,29 4 11,66 14 9,4 24 11,50 5 12,16 15 10,08 25 10,6 6 10,18 16 9,37 26 11,08 7 8,04 17 10,62 27 10,38 8 11,46 18 10,31 28 11,62 9 9,20 19 8,52 29 11,31 10 10,34 20 10,84 30 10,52
Chọn kiểm đồ MACC với w = 5. Trung bình dịch chuyển Mi, và các giới hạn kiểm soát tính được như ở bảng sau. Để ý rằng, với i < 5, giới hạn thay đổi theo mẫu, với i > 5 giới hạn là không đổi như sau:
LCL = 8,66, UCL = 11,34
i xi Mi UCLi LCLi
1 9,45 9,45 13 7 2 7,99 8,72 12,12132 7,87868 3 9,29 8,91 11,73205 8,267949 4 11,66 9,5975 11,5 8,5 5 12,16 10,11 11,34164 8,658359 6 10,18 10,256 11,34164 8,658359 7 8,04 10,266 11,34164 8,658359 8 11,46 10,7 11,34164 8,658359 9 9,20 10,208 11,34164 8,658359 10 10,34 9,844 11,34164 8,658359 11 9,03 9,614 11,34164 8,658359 12 11,47 10,3 11,34164 8,658359 13 10,51 10,11 11,34164 8,658359 14 9,4 10,15 11,34164 8,658359 15 10,08 10,098 11,34164 8,658359 16 9,37 10,166 11,34164 8,658359 17 10,62 9,996 11,34164 8,658359 18 10,31 9,956 11,34164 8,658359 19 8,52 9,78 11,34164 8,658359 20 10,84 9,932 11,34164 8,658359 21 10,90 10,238 11,34164 8,658359 22 9,33 9,98 11,34164 8,658359 23 12,29 10,376 11,34164 8,658359
24 11,50 10,972 11,34164 8,658359 25 10,6 10,924 11,34164 8,658359 26 11,08 10,96 11,34164 8,658359 27 10,38 11,17 11,34164 8,658359 28 11,62 11,036 11,34164 8,658359 29 11,31 10,998 11,34164 8,658359 30 10,52 10,982 11,34164 8,658359