Cho ψ là 1 hàm Wavelet, là 1 hàm có chuẩn L2 và thỏa mãn điều kiện tương thích [3]: , 1 ( ) a b t b t a a ψ = ψ − (3.1) Với a là hệ số tỷ lệ, b là hệ số dịch chuyển.
Biến đổi wavelet liên tục CWT được xác định là tổng trên toàn khoảng thời gian của tín hiệu nhân theo tỷ lệ, dịch mức của hàm Wavelet ψ
, ( , ) ( ). a b( ). C a b ∞ f t ψ t dt −∞ = ∫ (3.2) Kết quả CWT là rất nhiều các hệ số Wavelet C, là hàm của tỷ lệ và vị trí.
Định tỷ lệ : Các hệ số tỷ lệ cho thấy sự nén giãn của các Wavelet. Hệ số tỷ lệ càng
nhỏ, Wavelet càng được nén mạnh hơn, vì thế càng có khả năng biểu diễn tín hiệu có thành phần tần số cao hơn. Ngược lại, hệ số tỷ lệ càng nhỏ, Wavelet càng được dãn ra, vì thế càng có khả năng biểu diễn tín hiệu có thành phần tần số thấp hơn. Do đó, có sự tương ứng giữa tỷ lệ Wavelet và tần số tín hiệu được thể hiện trong phân tích Wavelet :
• Hệ số tỷ lệ thấp tương ứng với tần số cao.
• Hệ số tỷ lệ cao tương ứng với tần số thấp.
Ta đề cập đến tín hiệu sin như là ví dụ, thì ành huởng của hệ số tỷ lệ khá dễ thấy, hệ số tỷ lệ làm việc một cách chính xác cùng với wavelet. Hệ số tỷ lệ càng nhỏ thì wavelet càng được nén nhiều hơn.
Hình 3.1: Sự nén – giãn của hàm Wavelet phụ thuộc vào hệ số tỷ lệ
Từ các biểu đồ ta thấy rõ ràng là, đối với một tín hiệu sin sin(ωt), hệ số tỷ lệ a liên hệ với tần số radian ω. Tương tự, với phân tích wavelet, hệ số tỷ lệ liên hệ với tần số của tín hiệu.
Dịch chuyển: Dịch một Wavelet hiểu đơn giản là làm trễ bản thân nó. Về mặt toán
học, sự trễ của một hàm f(t) đi k được biểu diễn bởi f(t – k):
a) Hàm Wavelet ψ (t) b) Hàm Wavelet được trì hoãn ψ (t – k )
Hình 3.2: Sự dịch chuyển hàm Wavelet v Các bước thực hiện biến đổi Wavelet liên tục [17]:
Biến đổi wavelet liên tục (CWT) là tổng toàn miền thời gian của tín hiệu được nhân bởi các hệ số tỷ lệ (Scaled), các phiên bản dịch chuyển (Shifted) của wavelet. Quá trình này tạo ra các hệ số wavelet là hàm của biến tỷ lệ và vị trí.
Nó thực sự là một quá trình hết sức đơn giản. Thật vậy, đây là 5 bước để thực hiện phép biến đổi wavelet liên tục CWT:
Bước 1: Lấy một hàm wavelet và so sánh nó với phần bắt đầu của tín hiệu gốc. Bước 2: Tính toán giá trị C, đặc trưng cho sự tương quan của Wavelet với phần bắt
đầu của tín hiệu. C càng lớn thì sự tương quan càng lớn. Chính xác hơn, nếu năng lượng của tín hiệu và Wavelet bằng nhau, C có thể hiểu là hệ số tương quan. Lưu ý là kết quả phụ thuộc vào dạng của Wavelet ta chọn.
Bước 3: Dịch Wavelet sang bên phải và lặp lại bước 1 và 2 cho đến khi đi hết tín hiệu
Bước 4: Lấy tỷ lệ (kéo dãn) wavelet và lặp lại các bước từ 1 đến 3.
Bước 5: Lặp lại các bước từ 1 đến 4 cho mọi tỷ lệ.
Khi ta hực hiện, ta sẽ có các hệ số được tạo ra từ các hệ số tỷ lệ khác nhau bởi những phần khác nhau của tín hiệu. Các hệ số này là kết quả của phép hồi quy của tín hiệu gốc được thực hiện trên wavelet.