Video 2: Ý nghĩa hình học của dao hàm
2.3.1.2. Hoạt động hình thành Mối liên hệ giữa ý nghĩa vật lí và ý nghĩa
hình học của đạo hàm
Khi học về đạo hàm, các em HS thường nhìn nhận các ý nghĩa của đạo hàm một cách độc lập, thiểu sự liên kết, đo đó, với mong muôn giúp các em HS liên kết được hai
ý nghĩa này với nhau, chúng tôi đã đặt ra bài toán Con rái cá. Đây là bài toán được đặt
ra ở mức độ Phân tích, đòi hỏi các em phải vận dụng những kiến thức đã được học từ
video va từ những hoạt động đã học trên lớp vận dụng vào day.
e Nội dung bài toán “Con rai cá”
84
Một con rai cá bơi trên mặt nước có đô thị biểu diễn hàm số quãng đường di chuyên
theo thời gian trong 60 giây đầu như sau:
(Quảng coờng tsảs |
⁄ TN gem Gài
a) Dựa vào đô thị, em hãy cho biết với t = 20 giây và t = 40 giây thì con rai cá đó có vận tốc tại thời điểm nào lớn hơn?
b) Giả sử hàm số quãng đường của con rai cá được cho bởi công thức s(t) = =.
Hay xac dinh van tốc của con rai cá đó tại t = 40 giây.
e Phân tích tiên nghiệm cho câu a của bài toán
a, Các biến didactic
% Biến VI: Lưới ô vuông trong mặt phẳng tọa độ
Giá trị: Có — Không có lưới ô vuông.
Giá trị lựa chọn: Có lưới ô vuông.
Việc có lưới ô vuông đề HS có thê vẽ xap xi các đường tiếp tuyến và dựa vào số ô vuông đẻ tính được tan a. Từ đó so sánh được các vận tốc tại hai thời điểm.
* Biến V2: Đồ thị và hàm số
Giá trị: Cho biết dạng đồ thị được cho bởi ham số nao: Không cho biết dạng đỗ thị được cho bởi hàm số nảo.
Giá trị lựa chọn: Không cho biết dang đồ thị được cho bởi ham số nao.
Trong bài toán nay chúng tôi không cho cụ thé đô thị này là của hàm số bậc may,
với mục đích có thé loại trừ đi được chiến lược “khéi phục” hảm số để tìm vận tốc tại
hai thời điểm yêu cầu.
b. Chiến lược mà HS có thể dùng
Theo yêu cầu dé can tinh vận tốc của một vật đang di chuyên, các em có thé sẽ sử dụng công cụ ý nghĩa vật lý của đạo hàm đẻ giải quyết, nhưng khi sử dụng công cụ nảy, chúng ta cần có một hàm số cụ thẻ, hay hàm số phải được cho bởi công thức thì
85
mới có thê dùng được định nghĩa của đạo ham dé tinh. Tuy nhiên bai toán này chúng tôi
không cho trước các em hàm số của đô thị, vì thế các em phải vận dụng thêm ý nghĩa hình học của đạo hàm. Và thông qua kiến thức mới chúng tôi đã cung cấp cho các em
trong hoạt động hình thành ý nghĩa hình học của đạo ham, các em sẽ đi tìm tan a, từ đó
có thé tinh được đạo ham tại hai điểm và so sánh được vận tốc tức thời tại hai thời điểm, từ đó sẽ hình thành nên được môi liên kết giữa hai ý nghĩa của đạo hàm. Thông qua tiễn trình suy nghĩ như trên, các em HS có thé sẽ sử dụng các chiến lược sau đây dé giải quyết bài toán.
S1: “Khôi phục” hàm số.
Đây là chiến lược có thé đúng trong bài toán này, bởi vì hàm số chúng tôi sử dụng
là ham bậc hai có đỉnh tại gốc toa độ O và có di qua diém đặc biệt (40; 50). Nhưng do
dé bài không cho rõ đây 1a 46 thị của hàm số bậc may nên việc “khôi phục” hàm số ban đầu như thé này không han đúng. Bởi có rat nhiều hàm số cũng sẽ những khúc đường cong “tương tự” như đường cong trên đẻ.
S2: Nhìn “độ đốc” của đồ thị và dự đoán.
Đây là một chiến lược đã sử dung ý nghĩa đạo hàm như một công cụ ngầm an dé
so sánh vận tốc tại hai thời điểm. Nhưng vì chiến lược này chỉ dừng lại ở mức nhìn hình
dang của đồ thị và dự đoán nên vẫn chưa được xem là chiến lược tỗi ưu.
s% S3: Vẽ tiếp tuyến
Đây là chiến lược tôi ưu đề giải quyết Quảng diving (su
bài toán này, vì khi các em đã biết được sử dụng tiếp tuyến đề tinh vận tốc tức thai thì các em đã có thé tự hình thành cho mình mối liên kết giữa hai ý nghĩa của đạo ham. Sau khi đã
vẽ được hai tiếp tuyến của tại hai điểm trên đỗ
thị, HS sẽ so sánh hệ số góc của hai tiếp tuyến đó, từ đó có thê nhận định được vận tốc tại thời
điểm nào lớn hơn. Ở đây các em có thẻ tính cụ E1E11ETER)
thê các giá trị tan a, ; tan az hoặc các em chi
so sánh hai giá trị a); @2 và sử dụng tính đồng
86
biến của ham tan dé so sánh vận tốc tại hai thời điểm.
¢ $3.1: Vẽ tiếp tuyến và “Đếm số ô vuông".
Khi vẽ tiếp tuyến tại hai điểm trên đồ thị, các em có thé vẽ xap xi theo cac 6 vuông trên lưới đã cho, va dé tính tan @ thì các em có thé đếm số 6 vuông va dùng ti số lượng giác trong tam giác đề tính được tan.
© ,$3.2: Vẽ tiếp tuyến và sử dụng thước dé do góc.
Tương tự như S3.2, sau khi xác định được hai tiếp tuyến, các em có thể có hai
chiến lược nhỏ trong chiến lược này, đó là:
S3.2a: Nhìn “độ nghiêng " của đường thẳng dé đưa ra nhận định về độ dốc của đường thắng. Đây là một chiến lược mà các em đang sử dụng khái niệm độ dốc của đường thăng như một công cụ ngầm ân.
S3.2b: Sư dụng thước đo độ để đo các gúc ứ, đa.
Câu b của bài toán được xây dựng nhằm mục đích giúp các em HS kiểm tra lại xem đáp án câu a đã giải đúng hay chưa bằng việc vận dụng ý nghĩa vật lý của đạo ham
và sử dụng công thức định nghĩa của đạo hàm dé tính.
2.3.1.3. Hoạt dong Luyện tập
Trong phần luyện tập dé các em có thé củng cô lại các kiến thức vừa được, chúng tôi đưa ra hai bài toán, cụ thể:
Bài tập 1: Dùng định nghĩa dé tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) y = “— tại xq =2:
b) y = ax? + bx + c trên R.
Bài tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ham số y = = tại điểm có tung
Bài tập 1: Nội dung câu a của bài tập này được xây dựng nham giúp các em làm quen
với việc tính được đạo hàm của ham phân thức hữu tỉ bằng định nghĩa. Đồng thời đẻ giá
trị đạo ham của hàm số tại x) = 2 con làm kết quả dé giải quyết yêu cầu của Bai tập 2
được nhanh chóng hơn.
§7
Nội dung câu b của bai tập được xây dựng nhằm giúp các em củng cô việc tính đạo hàm trên một khoảng, đồng thời kết quả của bài toán được dùng trong tiết học dé sử dung cho bài toán Tau lượn siêu tốc ở phan van dung.
Bài tập 2: Do đã được tinh dao hàm của hàm số tại xạ = 2 ở Bai tập 1, nên trong phan tập này, các em chỉ cần xác định được ba giá trị cần tính dé thé vào phương trình của
tiếp tuyến.
Cả hai bài tập được xây dựng không chỉ nhằm mục đích củng cô kiến thức đã học, ma còn giúp cho việc tính hệ số góc bằng đạo ham được thông qua nhanh hơn, do trong nội dung bai học này HS chỉ được tinh đạo hàm bang định nghĩa nên đối với những bài tập tìm hệ số góc hay viết phương trình tiếp tuyến của đô thị hàm số thì việc tính thông qua định nghĩa sẽ kha dai va kha mất thời gian, vì thế dé tiết kiệm thời gian tô chức dạy học nhưng van day đủ nội dung nên chúng tôi đã tích hợp việc tìm hệ số góc của tiếp tuyến thông qua các bài tập tìm đạo hàm của hàm số ở Bài tập 1.
2.3.1.4. Hoạt động Vận dung
Trong hoạt động vận dụng nảy, để đưa ra những ứng dụng của việc tính đạo ham thông qua các van dé thực tế cũng như liên kết với những nội dung đã được dé cập trên
video, chúng tôi đã xây dựng hai bài toán tương ứng với hai ứng dụng của đạo ham trong
vật lý và trong hình học vảo giảng dạy. Cụ the:
Bài toán vi sinh vật: Gia sử tại một phòng thi nghiệm, các nhà khoa hoc đang nghiên
cứu về loại vi khuẩn. Người ta lấy một mẫu vi khuẩn trong mẻ nuôi cấy đó, theo quan sát và thông kế, họ ước tính được số lượng W(£) tại nhiệt độ e°C được tính bằng công thức N(t) = —10¢? + 500¢ + 10. Hãy tính tốc độ tăng trưởng của loại vi khuẩn này
tại nhiệt độ ¢ = 15°C và tại t = 20°C.
Bài toán tàu lượn siêu tốc: Một kĩ sư
thiết kế một đường ray tàu lượn, tại một khúc đường ray, mặt cắt của nó gồm một
cung đường cong có dang parabol, đoạn...
đốc lên L, và đoạn dốc xuống L¿ là
và không bị đôi hướng đột ngột thì L, và Lạ phải là những tiếp tuyển của cung parabol tại các điểm chuyên tiếp P và Q va P,Q cách nhau một khoảng 40m theo phương
88
ngang. Giả sử gốc tọa độ đặt tai P va phương trình của parabol la y = ax? + bx +,
trong đó x tinh bằng mét. Hãy xác định a,b,c trong phương trình của parabol trên.
(Tham khảo bài tập SGK Kết nỗi tri thức, lớp II, tập 2).
phải đi tìm đạo hàm của hàm số y = ax? + bx + c, và việc tính đạo ham của ham sé này đã được HS thực hiện ớ Bài tập 1b. Vi thé chúng tôi cho phép HS sử dung trực tiếp
vào bải toán này mà không cần phải tính lại.
2.3.2. Kế hoạch bài day