Nghiên cứu trong giáo dục toán học đã chỉ ra rằng HS hay SV thường gặp nhiều khó khăn trong việc hiểu các khái niệm cơ bản của giải tích toán học (Cornu, 1991; Orton, 1983; Tall, 1996) [29], [69], [90]. Đặc biệt, HS và SV thường cảm thấy khó hiểu và gặp thách thức đối với khái niệm giới hạn. Vấn đề cốt yếu thường nằm ở khoảng cách giữa quan niệm trực quan của người học về giới hạn với định nghĩa hình thức của khái niệm này (Bagni, 2005; Cornu, 1991; Cottrill et al., 1996;
G ler, 2013) [15], [29] [30], [41].
Kumsa, Petterson và Andrews (2018) [53] đã tổng hợp và phân loại thành ba loại chướng ngại liên quan đến khái niệm giới hạn: chướng ngại tri thức luận (liên quan đến bản chất toán học của khái niệm), chướng ngại nhận thức (liên quan đến quá trình trừu tượng hoá và khái niệm hoá), và chướng ngại dạy học (liên quan đến bản chất việc dạy và học khái niệm). Chướng ngại tri thức luận gắn liền với bản chất toán học của khái niệm giới hạn. Về mặt lịch sử, khái niệm giới hạn, khái niệm giới hạn phát triển từ nhu cầu giải quyết việc tính toán diện tích, trước khi có định lí cơ bản của giải tích về liên hệ giữa đạo hàm và tích phân. Quá trình phát triển khái niệm giới hạn ở thời kỳ đầu đã khiến các nhà toán học phải gặp khó khăn với bốn chướng ngại tri thức luận chủ yếu là: sự thất bại trong việc kết nối giữa khía cạnh số học và hình học của khái niệm giới hạn; các khái niệm vô cùng lớn và vô cùng bé;
khía cạnh siêu hình của khái niệm giới hạn; và tính không đạt được về mặt vật lý của chính giới hạn (Cornu, 1991) [29]. Những sai lầm mà người học gặp phải trong khi giải các bài toán về giới hạn cũng có thể cung cấp bằng chứng về những chướng ngại tri thức luận này (Cornu, 1991) [29]. Chẳng hạn, khi khảo sát thực nghiệm về những chướng ngại tri thức luận mà SV đại học gặp phải, Moru (2008) [66] thấy rằng nhiều SV xem giới hạn như là giá trị của một hàm số.
Nguồn gốc chủ yếu của các chướng ngại tri thức luận không chỉ liên quan đến chính bản chất khái niệm giới hạn mà còn liên quan đến các khái niệm làm cơ sở cho sự phát triển và hình thức hoá khái niệm giới hạn. Chẳng hạn, bản chất đối ngẫu của ký hiệu được sử dụng để biểu diễn giới hạn cũng tạo nên các chướng ngại đối với người học (Gray & Tall, 1994) [37]. Biểu tượng ( ) có thể
được hiểu như là một quá trình sẽ không bao giờ dừng lại, là quá trình ―dần đến gần‖, nhưng cũng có thể biểu diễn một đối tượng tượng toán học (giá trị của giới hạn). Sự chuyển đổi từ cách nhìn giới hạn như một ―quá trình‖ mang tính động sang giới hạn như một ―đối tượng‖ mang tính tĩnh thường cũng gây ra những chướng ngại đối với người học.
Chướng ngại nhận thức là những chướng ngại gặp phải trong quá trình tri nhận kiến thức mới. Mallet (2013) [61] cho rằng một chướng ngại nhận thức là một tình huống ở đó một cấu trúc trí tuệ hiện tại là tương thích với một phạm vi nhưng lại gây ra những khó khăn cho việc học trong lĩnh vực hay phạm vi khác do tính không tương thích với tình huống hay khái niệm mới. Vì vậy, khi một HS gặp kiến thức mới, kiến thức trước đó của HS có thể không còn tương thích với kiến thức mới, từ đó đưa đến những xung đột nhận thức giữa kiến thức cũ và mới (Tall
& Vinner, 1981; Tall, 1991) [93], [89]. Nhiều chướng ngại nhận thức như vậy xuất hiện như là hệ quả của quá trình trừu tượng hoá liên quan đến việc hình thức hoá khái niệm đó. Chẳng hạn, nghiên cứu đã nhận dạng được sự khác nhau giữa định nghĩa hình thức của khái niệm giới hạn và hình ảnh giới hạn mà người học dùng trong tâm trí của họ, và nó gây ra những sự không tương thích (Tall &
Vinner, 1981) [93]. Khái niệm toán học càng trừu tượng thì những khó khăn về hiểu khái niệm mà người học gặp phải càng nhiều. Ngoài ra, khi được giới thiệu với kiểu biểu đạt hình thức khái niệm giới hạn, người học thường thấy khó khăn khi phải phân biệt giữa quá trình tìm ra giới hạn với giá trị giới hạn gắn liền với ký hiệu hình thức đó (Kidron, 2008) [52]. Người học có xu hướng có một cách nhìn quá trình về giới hạn hơn là cách nhìn đối tượng về khái niệm này, hệ quả là họ không thể thấy được tương tác lẫn nhau giữa hai cách nhìn (Bagni, 2005;
Parameswaran, 2007) [16], [70].
Các từ ngữ thường ngày được sử dụng khi giới thiệu khái niệm giới hạn và những lượng từ như ―với mọi‖ và ―tồn tại‖ trong định nghĩa hình thức có thể che mất việc hiểu những khái niệm mới thu nhận được của người học. Bản chất trừu tượng của khái niệm giới hạn và quá trình trừu tượng hoá liên quan đến hình thức hoá của khái niệm, sự không tương thích giữa hình ảnh khái niệm và định nghĩa khái niệm, bản chất đối ngẫu giữa khái cạnh quy trình và khía cạnh đối tượng của khái niệm giới hạn là gốc của những chướng ngại nhận thức.
Chướng ngại dạy học xuất hiện như là hệ quả của bản chất việc dạy và học một khái niệm, chẳng hạn như những cách thức mà khái niệm được giới thiệu trong các sách giáo khoa, thứ tự của các khái niệm liên quan và việc ra quyết định dạy học của giáo viên. Ví dụ, một số sách giới thiệu khái niệm giới hạn bằng đồ thị, một số sách khác giới thiệu khái niệm bằng lời hoặc trực quan, hoặc bằng
phương pháp đại số. Những tiếp cận khác nhau này ưu tiên những dạng kiến thức khác nhau và chúng có thể phù hợp hoặc không phù hợp với những định nghĩa và hình thức hoá về sau đối với khái niệm giới hạn. Chẳng hạn, đối với giới hạn , một số sách về giải tích ở đầu đại học trước tiên giới thiệu các bảng giá trị rồi sau đó được biểu diễn về mặt hình học để đi đến giá trị giới hạn một cách trực quan. Để hoàn thành một bảng giá trị như vậy, người học phải xấp xỉ các giá trị nhỏ, điều này thúc đẩy người học tin rằng giới hạn không chỉ là một quá trình xấp xỉ mà còn rằng các đại lượng khá nhỏ có thể bị bỏ qua. Thật vậy, việc dạy học nhấn mạnh khía cạnh quy trình hơn khía cạnh khái niệm về giới hạn có thể cho kết quả là người học hiểu khái niệm giới hạn như là những quy trình riêng biệt. Vấn đề này có thể được tránh thông qua việc dạy học nhấn mạnh sự kết nối giữa các biểu đạt hình học, số học, đại số và biểu đạt bằng lời của khái niệm giới hạn (Stewart, 2008) [87].
Theo Gray, Loud và Sokolowski (2009) [38], việc học giải tích toán học, với các khái niệm cơ bản như giới hạn, đạo hàm, tích phân đòi hỏi một khả năng hiểu các biến đại số như là các số được khái quát hoá và như là những đại lượng biến thiên liên quan nhau trong những mối quan hệ hàm. Gray et al. (2009) [47] gợi ý rằng ―dạy học giải tích nên tiếp tục nhấn mạnh những cách sử dụng biến khác nhau trong những ngữ cảnh khác nhau và cố gắng phát triển hiểu biết của người học về biến như là những đại lượng thay đổi và đồng biến thiên‖.
Theo Tall (1993) [92], người học thường gặp khó khăn với các khái niệm đạo hàm được ký hiệu dưới dạng tỉ số theo kiểu Leibnitz, bởi vì HS không biết liệu nó biểu đạt một phân số hay chỉ là một ký hiệu riêng lẻ. Chẳng hạn, trong ký hiệu dây chuyền kiểu
, HS thường tự hỏi liệu có thể xoá bỏ được hay không.
Một số nghiên cứu cho rằng khó khăn của HS khi học đạo hàm liên quan đến việc áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp (Maharaj, 2013; Tall, 1993) [60], [92]. Các nghiên cứu này gợi ý rằng giáo viên nên thiết kế các hoạt động học cho phép HS tìm kiếm nghĩa trong khi học các khái niệm đạo hàm và vi phân.
Nhiều nhà nghiên cứu (Tall, 1992, 1997, 2012; Stacey, 2006) [91], [19], [73]
đã nhấn mạnh rằng kĩ năng giải quyết vấn đề của người học trong khi học về đạo hàm và tích phân là chưa đủ, do họ xử lý chủ yếu khía cạnh đại số hơn là khía cạnh đồ thị của các vấn đề đặt ra. Ngoài ra, việc thiếu hụt mối liên hệ giữa các khía cạnh đại số và đồ thị cũng là một lý do khác gây nên những khó khăn của người học khi học về đạo hàm và tích phân. Việc thiếu hụt này cũng được nhìn thấy đối với SV đại học. Do đó, cần thiết phải sử dụng các tính chất của khía cạnh đồ thị trong dạy và học đạo hàm và tích phân cho SV những năm đầu đại học.