Chương 5. LÝ GIẢI, BÀN LUẬN
5.2. Đặc trưng suy luận toán học của sv qua giải quyết vấn đề cộng tác về giới hạn
5.3.1. Về đặc trưng việc hình thành và sử dụng từ ngữ và phương tiện hỗ trợ
Trong quá trình giao tiếp, SV sử dụng một sự kết hợp hợp lý giữa thuật ngữ toán học và từ ngữ thông thường. SV đã hình thành và sử dụng nhiều thuật ngữ toán học đa dạng để giải quyết từng bài toán cụ thể. Các thuật ngữ toán học chủ yếu liên quan đến việc giải quyết các bài toán liên quan đến mối liên hệ giữa đồ thị hàm số và đạo hàm, như "tiếp tuyến", "parabol", "hệ số góc"... Từ ngữ được sử dụng phần lớn là hướng đến đối tượng toán học, cho thấy một mức độ đối tượng hóa trong diễn ngôn toán học của SV. Bằng cách sử dụng từ ngữ trong giao tiếp, SV cũng có khả năng tổ chức lại các thực thể liên quan nhằm giải quyết vấn đề đặt ra.
Các SV không chỉ sử dụng từ ngữ mà còn hình thành và sử dụng các phương tiện trung gian trực quan khác nhau để hỗ trợ trong quá trình giao tiếp và giải quyết vấn đề. Các đồ thị và ký hiệu đạo hàm được SV tạo ra vừa là kết quả của quá trình tư duy và giao tiếp của nhóm, vừa mang ý nghĩa hỗ trợ trong quá trình tìm kiếm lời giải. Các công thức và ký hiệu đạo hàm thường xuyên được sử dụng trong cả ba bài toán để giải quyết vấn đề liên quan đến mối quan hệ giữa đồ thị hàm số và đạo hàm.
Đối với các SV, sử dụng các phương tiện trung gian trực quan là một cách để tổ chức các thực thể liên quan và giải quyết vấn đề hiệu quả hơn. Nhóm 2 có nhiều phương tiện hỗ trợ trung gian trực quan như đồ thị, công thức, bảng giá trị, bảng biến thiên, và các phương tiện này hỗ trợ cho các thuyết minh xác nhận của SV trong quá trình giải quyết vấn đề.
5.3.2. Về đặc trƣng của thuyết minh xác nhận và thủ tục của SV
Trong chương 4, chúng tôi phân tích mối liên hệ giữa cách biểu đạt, cách thể hiện, quy trình thực hiện và thuyết minh xác nhận tương ứng để nghiên cứu đặc tính của thuyết minh được hình thành bởi SV trong quá trình giao tiếp. Việc đưa ra các yếu tố này vào mối quan hệ giúp chúng tôi hiểu được các thuyết minh (xác nhận hoặc không xác nhận) của SV trong quá trình giải quyết vấn đề. Tổng thể, SV thể hiện khả năng khám phá hơn là tuân theo nghi thức trong giao tiếp để giải quyết vấn đề về mối quan hệ giữa đồ thị hàm số và đồ thị đạo hàm. Mặc dù một số thuyết minh chưa được SV xác nhận rõ ràng bằng cách chỉ ra căn cứ toán học, nhưng chúng đều là những tường thuật đúng về mặt toán học.
Chúng tôi đã tập trung vào những chỉ dấu như cách SV giải quyết vấn đề, quy trình sử dụng trong quá trình giải quyết vấn đề, và cách SV sử dụng ngôn từ để định nghĩa, xác minh hay bác bỏ các khái niệm trong thực hành giao tiếp, để
phân tích các kiểu thủ tục được hình thành trong quá trình này. Chúng tôi đã xác định được 3 thủ tục cho cả Nhóm 1 và Nhóm 2, mỗi thủ tục có tính chất khám phá, nghi thức và hành vi.
5.3.3. Về diễn ngôn và giao tiếp toán học của SV trong dạy học toán
Ở mức độ tổng thể, khả năng diễn đạt và giao tiếp bằng ngôn ngữ toán học của các cá nhân trong quá trình trao đổi (như giáo viên, SV và hướng dẫn viên) được đánh giá dựa trên các chỉ số như mức độ trừu tượng hóa trong sử dụng ngôn ngữ, tính xác thực của việc trình bày, mục tiêu của các bài thuyết trình, phong cách và độ linh hoạt của các phương pháp sử dụng. Sau nhiều lần thực nghiệm, chúng tôi đã nhận thấy rằng, khả năng diễn đạt và giao tiếp toán học của các SV tham gia nghiên cứu rất đa dạng và phong phú. Khả năng làm việc nhóm để giải quyết các vấn đề cũng đã đóng một vai trò quan trọng trong việc thúc đẩy khả năng diễn đạt và tư duy toán học của SV. Bên cạnh đó, sự hiểu biết tốt về giải tích từ khóa đầu đại học cũng là một yếu tố quan trọng trong quá trình hình thành khả năng này.
Lý thuyết tiếp cận giao tiếp - nhận thức của Sfard (2008) giúp phân tích giao tiếp toán học của SV một cách chặt chẽ và liên kết với nội dung toán học và quá trình học tập. Phương pháp này giải thích bản chất và đặc điểm diễn ngôn của người tham gia giao tiếp, đưa ra cái nhìn sâu sắc về quá trình giao tiếp toán học. Điều này rất hữu ích trong việc phân tích quá trình giao tiếp toán học trong giảng dạy toán học.
5.4. ĐẶC TRƢNG SUY LUẬN TOÁN HỌC CỦA SV QUA GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CỘNG TÁC VỀ ĐẠO HÀM
Khi giải các bài toán liên quan đến đạo hàm, SV đã sử dụng CMR và AR quen thuộc hoặc AR phân định trong công việc của họ. Họ đã cố gắng tìm ra một cách giải phù hợp, thường bằng cách cố gắng ghi nhớ, hoặc dựa trên những suy luận hời hợt khác. Phương pháp được thực hiện từng bước, hầu như không có nỗ lực xác minh hoặc đánh giá các thuật toán hoặc kết quả. Trong số các tình huống mà các SV sử dụng các thuật toán không thành công, phần đáng chú ý nhất là hầu như không cố gắng tìm hiểu lý do tại sao thuật toán không thành công hoặc liệu nó có thể được sửa đổi cho phù hợp với tình huống hiện tại hay không. Sự thiếu thốn này dường như cũng là một trong những lý do chính đằng sau những khó khăn của họ. AR phân cách lặp lại được tìm thấy trong suy luận toán học của SV trong khi giải bài toán 1 theo cách 2. Họ thay đổi nhanh chóng giữa các thuật toán và tỏ ra khá khéo léo trong công việc của mình. Vấn đề là họ hiếm khi có bất kỳ thuộc tính nội tại nào làm nền tảng cho các lựa chọn thuật toán của họ, và do đó, thành công có thể xảy ra phụ thuộc vào hai điều: nếu thuật toán được chọn sẽ giải quyết được nhiệm vụ và nếu thuật toán được làm chủ đủ tốt bởi SV. Ví dụ, nhóm sinh giải bài toán 2 đã thử các cách giải khác nhau chỉ trong vài phút. Lựa chọn đầu tiên sẽ giải quyết được nhiệm vụ nếu cô ấy đã thành thạo toàn bộ thuật toán chứ không chỉ phần đầu tiên.
5.5. ĐẶC TRƢNG GIAO TIẾP TOÁN HỌC CỦA SV QUA GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CỘNG TÁC VỀ NGUYÊN HÀM
Trong nghiên cứu này, chúng tôi phân tích đặc trưng giao tiếp và suy luận toán học của SV khi giải quyết vấn đề trong dạy học chủ đề ―nguyên hàm‖. Nghiên cứu hướng đến trả lời hai câu hỏi sau: - Giao tiếp toán học của SV trong giải quyết các vấn đề về nguyên hàm có những đặc trưng như thế nào dựa trên tiếp cận giao tiếp - nhận thức của Sfard (2008)?; - Những kiểu suy luận toán học nào của SV được thể hiện trong quá trình giao tiếp để giải quyết vấn đề? Từ đó, chúng tôi đã đặt ra các câu hỏi nghiên cứu sau:
Câu hỏi 1: Đặc trưng việc sử dụng từ ngữ và phương tiện hỗ trợ trung gian trực quan trong giao tiếp toán học của SV khi giải quyết vấn đề công tác về nguyên hàm là gì và được thể hiện như thế nào?
Câu hỏi 2: Đặc trưng của thuyết minh xác nhận và thủ tục trong giao tiếp toán học của SV khi giải quyết vấn đề cộng tác về nguyên hàm là gì và được thể hiện như thế nào?
Câu hỏi 3: Đặc trưng của suy luận toán học của SV trong giao tiếp toán học khi giải quyết vấn đề cộng tác về nguyên hàm là gì và được thể hiện như thế nào?
5.5.1. Về đặc trưng việc hình thành và sử dụng từ ngữ và phương tiện hỗ trợ trung gian trực quan của SV
Trong quá trình giao tiếp, SV đã sử dụng một số thuật ngữ toán học phù hợp để giải quyết các bài toán liên quan đến đồ thị hàm số và đồ thị nguyên hàm, như
"diện tích", "tích phân", "parabol", "đường thẳng"... Các thuật ngữ này phản ánh mức độ đối tượng hoá trong diễn ngôn toán học của SV. Họ cũng sử dụng các phương tiện hỗ trợ trực quan, bao gồm đồ thị, công thức, bảng giá trị và bảng biến thiên để giải quyết các vấn đề.
Việc sử dụng các phương tiện hỗ trợ này là kết quả của quá trình tư duy và giao tiếp của nhóm SV. Đồng thời, chúng cũng hỗ trợ cho quá trình tư duy và giúp SV tổ chức lại các thực thể liên quan để giải quyết vấn đề.
SV đã hình thành và sử dụng các ký hiệu nguyên hàm trong quá trình giải quyết bài toán, vừa mang ý nghĩa diện tích và ý nghĩa theo công thức Newton- Leibnitz. Các ký hiệu này là một phương tiện trực quan trung gian phù hợp và được mong đợi ở SV để giải quyết các vấn đề toán học.
Các phương tiện trung gian trực quan, như đồ thị, công thức, bảng giá trị và bảng biến thiên, đã giúp SV hình thành và hỗ trợ các thuyết minh xác nhận trong quá trình giải quyết vấn đề. Tất cả những điều này đã đóng góp vào sự thành công của SV trong quá trình học và giải quyết các bài toán toán học.
5.5.2. Về đặc trƣng của thuyết minh xác nhận và thủ tục của SV
Để xem xét đặc trưng của thuyết minh xác nhận được hình thành bởi SV trong quá trình giao tiếp, trong chương 4, chúng tôi tập trung phân tích mối quan hệ giữa cái biểu đạt, cách thể hiện của cái biểu đạt, quy trình thực hiện và thuyết minh xác nhận tương ứng. Việc đặt trong mối quan hệ như vậy cho phép chúng tôi hiểu được
các thuyết minh (xác nhận hoặc không xác nhận) của người học trong quá trình giao tiếp để giải quyết vấn đề. Nhìn chung, diễn ngôn của các SV mang tính khám phá hơn là mang tính tuân theo nghi thức trong quá trình giao tiếp để giải quyết vấn đề về mối quan hệ giữa đồ thị hàm số và đồ thị nguyên hàm. Một số thuyết minh chưa được SV xác nhận một cách tường minh (bằng cách chỉ rõ căn cứ toán học), nhưng đó đều là những tường thuật đúng về mặt toán học. Đặc biệt, đối với bài toán 5 của các Nhóm, chúng tôi ghi nhận một sự xung đột giao tiếp - nhận thức (theo nghĩa của Sfard, 2008) trong diễn ngôn của SV giữa cái cũ (nguyên hàm và diện tích hữu hạn) và cái mới (nguyên hàm và diện tích không hữu hạn). Các SV đã vượt qua xung đột, và điều này cho phép chúng ta hiểu được sự phát triển tư duy toán của các em trong giao tiếp toán học.
Để phân tích được các kiểu thủ tục được hình thành trong quá trình giao tiếp, chúng tôi đã tập trung vào các chỉ dấu như: những quy trình được SV sử dụng trong quá trình giải quyết vấn đề, cách SV giải quyết vấn đề như thế nào, và các quy luật ngôn từ của SV trong thực hành giao tiếp liên quan đến định nghĩa một khái niệm, xác minh hay bác bỏ một khái niệm. Chúng tôi xác định và gọi tên được 3 thủ tục đối với các nhóm. Nhìn chung các thủ tục này có tính khám phá, phá, nghi thức, hành vi vì đều hướng đến kết quả hơn là tuân theo các nghi thức sẵn có trong giải toán.
Chúng tôi đã tập trung vào việc phân tích các đặc trưng của thuyết minh xác nhận được hình thành bởi SV trong quá trình giao tiếp để giải quyết vấn đề toán học. Chúng tôi quan tâm đến mối quan hệ giữa các yếu tố như biểu đạt, cách thể hiện, quy trình thực hiện và thuyết minh xác nhận. Bằng cách đặt các yếu tố này vào mối quan hệ với nhau, chúng tôi có thể hiểu được cách mà SV đưa ra các thuyết minh xác nhận hoặc không xác nhận trong quá trình giao tiếp.
Chúng tôi nhận thấy rằng trong quá trình giao tiếp, diễn ngôn của SV thường mang tính khám phá hơn là tuân theo các nghi thức. Những thuyết minh của SV đôi khi không được xác nhận một cách tường minh bằng căn cứ toán học, nhưng chúng vẫn đúng về mặt toán học. Chúng tôi cũng quan tâm đến các thủ tục được hình thành trong quá trình giao tiếp và đã xác định được ba loại thủ tục chính: thủ tục khám phá, thủ tục phá và thủ tục nghi thức. Các thủ tục này đều hướng đến kết quả hơn là tuân theo các nghi thức sẵn có trong giải toán.
Chúng tôi cũng quan tâm đến các chỉ dấu trong quá trình giao tiếp, bao gồm quy trình giải quyết vấn đề, cách SV giải quyết vấn đề và các quy luật ngôn từ liên quan đến định nghĩa một khái niệm, xác minh hay bác bỏ một khái niệm. Chúng tôi hy vọng rằng những phân tích này sẽ giúp chúng ta hiểu được cách mà các SV phát triển tư duy toán trong quá trình giao tiếp.
5.5.3. Về diễn ngôn và giao tiếp toán học của SV trong dạy học toán
Các yếu tố trong diễn ngôn và giao tiếp toán học của các người tham gia giao tiếp (bao gồm giáo viên, SV, và người hướng dẫn) có thể được đánh giá thông qua việc sử dụng từ ngữ đối tượng hoá, việc xác nhận các tường thuật, mục tiêu của các đoạn
thuyết minh, kiểu thủ tục và mức độ linh hoạt. Thực nghiệm đã cho thấy diễn ngôn và giao tiếp toán học của SV có sự đa dạng và phong phú, đồng thời giải quyết vấn đề cộng tác theo nhóm nhỏ đã thúc đẩy giao tiếp và tư duy toán của SV. Bên cạnh đó, nền tảng toán học tương đối tốt cũng là một yếu tố cấu thành quan trọng. Khung lý thuyết tiếp cận giao tiếp - nhận thức của Sfard (2008) cho phép chúng ta phân tích được giao tiếp toán học của SV thông qua việc phân tích bản chất và đặc trưng diễn ngôn của các người tham gia giao tiếp. Đây là một tiếp cận tiềm năng và có nhiều ứng dụng trong việc phân tích quá trình giao tiếp toán học trong dạy học toán.
5.6. ĐẶC TRƢNG SUY LUẬN TOÁN HỌC CỦA SV QUA GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CỘNG TÁC VỀ NGUYÊN HÀM
Thử các phương pháp giải khác nhau là một cách tiếp cận khá hợp lý của nhóm SV khi giải hai bài toán trên, nhưng nếu sự hiểu biết về khái niệm và bản chất các bài toán không đầy đủ, các lựa chọn sẽ trở nên ngẫu nhiên về mặt toán học và việc suy luận các bài toán trở nên khó thực hiện. Có một số tình huống, chủ yếu trong bài toán 1 chủ yếu dựa vào sự tương tác của họ với người phỏng vấn. Điều này được phân loại là AR có hướng dẫn, vì tất cả các lựa chọn chiến lược quan trọng đều do người phỏng vấn đưa ra hoặc là kết quả của một câu hỏi hoặc nhận xét từ người phỏng vấn. CMR ít xuất hiện với một vài trường hợp trọng cuộc hội thoại trên (ví dụ trong bài toán 1 phác thảo đồ thị nguyên hàm ( ) thì SV tìm phương trình của ( )). Dường như đôi khi SV không thử CMR, và đôi khi sự hiểu biết về khái niệm của họ không đủ cho CMR. Sự hiểu biết khái niệm về năng lực và khả năng CMR có thể được kết nối với nhau, vì CMR đòi hỏi sự hiểu biết khái niệm cơ bản.
5.7. ĐÓNG GÓP CỦA NGHIÊN CỨU
Trong phạm vi nghiên cứu này, chúng tôi đã đạt được những kết quả và đóng góp như sau:
Trong nghiên cứu này, chúng tôi đã đề cập đến việc sử dụng lý thuyết giao tiếp - nhận thức của Sfard (2008) và suy luận toán học Lithner (2008) để phân tích đặc trưng giao tiếp toán học của SV trong quá trình học toán. Nghiên cứu cho thấy lý thuyết giao tiếp - nhận thức và suy luận toán học mang đến một công cụ hiệu quả và có ý nghĩa để thấy rõ hơn tính đa dạng và phong phú, vai trò của diễn ngôn toán học trong quá trình giao tiếp để học toán và giải quyết vấn đề toán học đồng thời giải thích nguồn gốc và hệ quả của các kiểu lý luận toán học khác nhau trong quá trình học toán.
Tiếp cận giao tiếp - nhận thức (Sfard, 2008) và suy luận toán học Lithner (2008) có thể được sử dụng rộng rãi hơn để xem xét giao tiếp toán học của SV và giáo viên trong dạy học bất kỳ chủ đề toán học nào. Bốn yếu tố đặc trưng của tiếp cận này phù hợp để phân tích và giải thích diễn ngôn về các đối tượng và thực thể toán học. Nghiên cứu của chúng tôi góp phần gợi lên và thúc đẩy vấn đề phát triển giao tiếp trong thực hành dạy học toán giải tích ở đầu đại học.
Những kết quả ban đầu chúng tôi thu nhận được từ nghiên cứu này có thể góp phần trong việc vận dụng lý thuyết giao tiếp-nhận thức của Sfard (2008) và suy luận