Chương 2. KHUNG LÝ THUYẾT THAM CHIẾU
2.6. Vận dụng tiếp cận giao tiếp - nhận thức vào phân tích giao tiếp toán học
Dựa trên nội dung của tiếp cận giao tiếp - nhận thức của Sfard (2008), chúng tôi vận dụng vào phân tích quá trình giao tiếp toán học của SV trong giải quyết vấn đề cộng tác theo nhóm nhỏ. Theo Sfard và Kieran (2001) [85], giao tiếp toán học hiệu quả được nhận ra khi ―các câu văn khác nhau của người tham gia giao tiếp gợi ra các đáp ứng hay câu trả lời hoà hợp, phù hợp với mong đợi của người nói‖.
Cụ thể hơn, chúng tôi tập trung phân tích các yếu tố sau của bản chất diễn ngôn của SV khi tham gia vào giao tiếp toán học. Chúng tôi cụ thể hoá các chỉ dấu của mỗi đặc trưng diễn ngôn theo Sfard (2008) thành khung nội dung phân tích như sau:
Bảng 2.4. Nội dung phân tích diễn ngôn
Cách sử dụng từ ngữ
• Sử dụng các thuật ngữ toán học, thuật ngữ đặc thù trong toán học trong mối liên hệ với nghĩa của chúng
• Quá trình chuyển từ các ngôn từ nói về hành động, quá trình sang đối tượng toán học (quá trình đối tượng hoá).
• Mức độ đối tượng hoá từ thấp đến cao của việc sử dụng từ ngữ (Gucler, 2013): thông thường (colloquial, nói về các khái niệm toán học theo nghĩa thông thường trong cuộc sống hằng ngày), thao tác (operational, nói về các khái niệm toán học như là những quá trình và hành động), đối tượng hoá (objectified, nói về các khái niệm toán học như là những đối tượng hay thực thể như đối tượng).
• Các giai đoạn trong việc sử dụng từ ngữ trong một diễn ngôn: sử dụng bị động, sử dụng dựa theo thủ tục, sử dụng dựa theo câu, và sử dụng đối tượng hoá.
Phương tiện hỗ trợ trực quan
• Các đối tượng toán học cụ thể được tạo ra và sử dụng trong quá trình giao tiếp (đồ thị, sơ đồ, bảng, đối tượng vật lý).
• Các biểu tượng, ký hiệu toán học được tạo ra và sử dụng trong quá trình giao tiếp.
• Cách các phương tiện hỗ trợ trực quan góp phần xác nhận các thuyết minh.
Thuyết minh xác nhận
• Các câu văn, đoạn văn mô tả các đối tượng toán học, mối quan hệ giữa các đối tượng toán học, qua đó các đối tượng này được xây dựng, xác nhận hay bác bỏ.
• Việc sử dụng các định nghĩa, định lí, tiên đề, quy tắc trong quá trình giao tiếp để xác nhận hay bác bỏ.
• Mối quan hệ giữa cái biểu đạt (signifier), các thể hiện của nó (realisations) và thuyết minh xác nhận.
• Diễn ngôn khám phá (explorative discourse) hay diễn ngôn nghi thức hoá (ritualised discourse).
Thủ tục
• Các quy tắc, quy trình được SV sử dụng trong giải quyết vấn đề.
• Các quy luật diễn ngôn của người tham gia giao tiếp trong thực hành định nghĩa một khái niệm toán học, xác nhận hay bác bỏ một đối tượng toán học.
Trong nghiên cứu này, chúng tôi chỉ tập trung chú ý phân tích ba thành tố đặc trưng của diễn ngôn là: cách sử dụng từ ngữ, phương tiện hỗ trợ trực quan, và thuyết minh xác nhận.
2.7. SUY LUẬN TOÁN HỌC VÀ SUY LUẬN SÁNG TẠO
Ball và Bass (2003) [18] cho rằng ―suy luận toán học không ít hơn một kĩ năng cơ bản‖ (p. 28). Thuật ngữ ―suy luận‖ (reasoning) được hầu hết các nhà giáo dục toán học sử dụng mà không định nghĩa nó, với một giả định rằng có một sự đồng thuận phổ quát về nghĩa của nó (Yackel và Hanna, 2003) [45]. Lithner (2008) [57] xem suy luận là đường hướng tư duy được lựa chọn để hình thành nên các khẳng định và đạt đến các kết luận trong quá trình giải quyết các nhiệm vụ. Nó không nhất thiết dựa trên logic hình thức, vì vậy không bị hạn chế vào việc chứng minh, và vì vậy có thể có suy luận không đúng. Suy luận có thể được xem như những quá trình tư duy, hoặc như là sản phẩm của những quá trình này, hoặc cả hai.
Phù hợp với các tiếp cận giao tiếp, ở đó dữ liệu về quá trình giao tiếp là trung tâm, ở đây chúng tôi xem suy luận như là sản phẩm của một quá trình lập luận, bắt đầu với một nhiệm vụ toán cần giải quyết và kết thúc bởi một câu trả lời.
Suy luận toán học có thể được định nghĩa là ―hành động rõ ràng biện minh cho các lựa chọn và kết luận bằng các lập luận toán học‖ (Boesen et al. 2014, p. 75) [22].
Phù hợp với tuyên bố này là khung suy luận sáng tạo toán học (Lithner, 2008) [57], xác định hai loại lý suy luận: suy luận sáng tạo và suy luận bắt chước. Kiểu suy luận thứ hai được thấy trong việc SV sử dụng các sự kiện đã ghi nhớ và các thuật toán đã ghi nhớ mà không xem xét ý nghĩa của chúng.
Suy luận bắt chước bao gồm hai dạng là suy luận nhớ lại (memorised reasoning, MR) và suy luận thuật toán (algorithmic reasoning, AR). Suy luận nhớ lại thoả mãn các điều kiện như sau: (1) việc lựa chọn chiến lược giải có nền tảng dựa trên sự nhớ lại một câu trả lời đầy đủ, (2) việc thực hiện chiến lược giải chỉ bao gồm việc viết ra lời giải.
Lithner quan niệm ―thuật toán‖ bao gồm tất cả các quy trình đã được chỉ rõ trước. Suy luận thuật toán phải đáp ứng hai điều kiện là: (1) việc lựa chọn chiến lược giải là sự nhắc lại một thuật toán tìm ra lời giải đã biết, ở đây không có nhu cầu sáng tạo nên một lời giải mới, (2) phần thực hiện chiến lược còn lại là tầm thường đối với người suy luận, chỉ một lỗi sai không cẩn thận cũng có thể khiến câu trả lời không đạt được.
Suy luận sáng tạo toán học (CMR) phải đáp ứng tất cả các tiêu chí sau:
1. Tính mới: Một dãy các lập luận mới được tạo ra hoặc một dãy lập luận bị lãng quên được tái tạo lại.
2. Tính hợp lý: Có những lập luận ủng hộ việc lựa chọn chiến lược và / hoặc thực hiện chiến lược thúc đẩy lý do tại sao các kết luận là đúng hoặc hợp lý.
3. Nền tảng toán học: Các lập luận dựa trên các tính chất toán học nội tại của các thành phần tạo nên suy luận.
Suy luận sáng tạo toán học không nhất thiết phải là một thách thức đối với người học như kiểu giải quyết vấn đề. Tuy nhiên, trong hầu hết các nghiên cứu, suy luận toán học sáng tạo rất hiếm gặp ở người học và suy luận tương tự chiếm ưu thế.
2.8. CỘNG TÁC TRONG GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ TOÁN HỌC
Khi SV làm việc cùng nhau và cố gắng cùng nhau suy nghĩ, ―sự tác động lẫn nhau của các ý tưởng‖ (Martin & Towers, 2015) [63] sẽ thúc đẩy sự hiểu biết chung về vấn đề. Sự hiểu biết được chia sẻ là kết quả hợp tác của SV từ sự tương tác trong các quy trình hợp tác trong đó hai hoặc nhiều SV cùng làm việc để giải quyết một vấn đề và cố gắng tạo ra một kết quả chung (Roschelle và Teasley, 1995) [79]. Phù hợp với quan điểm về việc SV kết hợp các ý tưởng thành một quan niệm chung để giải quyết một vấn đề toán học, Roschelle và Teasley (1995) [79] định nghĩa cộng tác là một ―hoạt động đồng bộ, phối hợp là kết quả của một nỗ lực liên tục nhằm xây dựng và duy trì một quan niệm chung về một vấn đề‖.
Cách SV tham gia vào các quá trình hợp tác liên quan đến việc duy trì và thúc đẩy sự hợp tác tốt như thế nào (Child & Shaw, 2016) [27] và các quá trình hợp tác rất quan trọng để nghiên cứu các tương tác của SV đối với động lực của toán học trong giải quyết vấn đề. SV cố gắng tạo ra và duy trì sự hiểu biết chung, thông qua phối hợp ngôn ngữ và hành động (ví dụ: Baker, 2015; Roschelle & Teasley, 1995; Sarmiento &
Stahl, 2008), đòi hỏi những gì Roschelle & Teasley (1995) gọi là quá trình hợp tác xây dựng, giám sát và sửa chữa. Xây dựng quy trình hợp tác có nghĩa là đề xuất các ý tưởng để bắt đầu hợp tác hoặc nó có thể là sự tiếp tục hoặc kết thúc của công việc hợp tỏc (Alrứ & Skovsmose, 2004; Child & Shaw, 2018; Roschelle & Teasley, 1995). Vớ dụ: nếu một đồng nghiệp chấp nhận ý tưởng được đề xuất, chẳng hạn như chiến lược giải quyết vấn đề hoặc thực hiện một thuật toán, một SV sẽ góp phần xây dựng sự hiểu biết chung. SV cũng có thể đọc to và chỉ ra vấn đề cần giải quyết. Đôi khi, một đồng nghiệp lắng nghe một gợi ý hoặc đặt câu hỏi về một ý tưởng, điều này rất quan trọng để theo dõi sự hiểu biết chung của các nhóm (Roschelle & Teasley, 1995). Một câu hỏi về một ý tưởng có thể dẫn đến một hành động giám sát, chẳng hạn như một lời giải thích.
Nếu một lời giải thích không có ý nghĩa hoặc một ý tưởng được đề xuất có vẻ sai xuất hiện, thì SV có thể gặp phải sự khác biệt giữa các quan điểm (Dillenbourg, 1999) [31].
Nhưng nếu SV cố gắng khôi phục sự hiểu biết chung của họ về vấn đề, họ đang trong quá trình hợp tác sửa chữa (Roschelle & Teasley, 1995). Do đó, các hành động quan trọng để sửa chữa sự hiểu biết được chia sẻ là thương lượng và sửa chữa những cách diễn giải mâu thuẫn, chẳng hạn như diễn giải hoặc lặp lại một câu nói bằng lời của chớnh một người (Alrứ & Skovsmose, 2004) [14].
Một SV có thể tham gia vào công việc nhóm bằng cách đóng góp ý kiến hoặc bằng cách lắng nghe các đồng nghiệp. Việc tham gia có thể bao gồm việc tích cực tìm cách giải quyết công việc đang làm, bằng cách tự mình nỗ lực, bao gồm các phỏng đoán, thử nghiệm và các con đường sai, và các sơ suất có thể dẫn đến việc đánh giá kết quả toán học của chính họ (Freudenthal, 1991) [36]. Tuy nhiên, một SV khác hoặc cùng một SV, trong một hoàn cảnh khác hoặc trong một nhóm khác, có thể không đưa
ra đề xuất và hành động, hoặc lắng nghe tích cực. Vì nhiều lý do khác nhau, một SV có thể từ chối tham gia vào một nhóm cộng tác. Do đó, bản chất của cơ quan thực hiện của SV sẽ thay đổi trong các tương tác và tình huống khác nhau (Gresalfi và cộng sự, 2009). Có một số quan điểm có thể nghiên cứu khi tập trung vào cơ quan thực hành của SV trong toán học. Carlsen, Erfjord, Hundeland và Monaghan (2016) [24] chỉ ra cách các nền văn hóa, con người và hiện vật khác nhau định hình hành động và quyết định của SV, và do đó, quyền tự quyết của họ. Gresalfi và cộng sự. (2009) [28] quan tâm đến sự tham gia của SV trong các hoạt động trong lớp học. Trọng tâm này liên quan đến hành động của SV tuân thủ hoặc kiềm chế (Sengupta-Irving, 2016) [21], cũng như về các cơ hội có sẵn để hành động, từ một đồng nghiệp hoặc từ một giáo viên (Langer- Osuna, 2018) [55]. Khía cạnh thứ hai liên quan đến việc phân phối đại lý (Gresalfi và cộng sự, 2009). Một giáo viên có thể phân phối thông qua quyền hạn của mình đối với nhóm nhất định (Engle & Conant, 2002) [34], hoặc có thể xảy ra xung đột xã hội giữa các thành viên trong nhóm, do đó ngăn cản quá trình nói chuyện và hoạt động của SV (Langer-Osuna, 2018).
Bảng 2.5. Tổng quan về các yếu tố trọng tâm của quá trình hợp tác Các quy trình hợp tác để xây dựng và duy trì sự hiểu biết chung
Xây dựng Giám sát Sửa chữa
Chấp nhận ý tưởng Gợi ý làm
Nêu vấn đề
Chỉ ra các tính chất toán học
Hỏi những câu hỏi Giải thích một ý tưởng Quan sát và phản hồi một cách giải thích và ý tưởng của người khác
Đàm phán
Chỉnh sửa các cách diễn giải mâu thuẫn
Đề xuất phản đối Cải cách
Các khía cạnh được đề cập về quyền hạn của giáo viên, xung đột xã hội hoặc các nền văn hóa và hiện vật khác nhau có liên quan đến việc nghiên cứu sự hợp tác và lý luận toán học của SV. Tuy nhiên, để tập trung khía cạnh quyền tự quyết vào sự tương tác giữa SV - SV, nghiên cứu này xem quyền tự quyết của SV là sự tham gia của họ trong việc đưa ra các lập luận toán học hoặc không đưa ra các lập luận toán học (Gresalfi và cộng sự, 2009). Để điều tra lập luận của SV khi cộng tác giải toán, một khuôn khổ về cách thể hiện quyền tự quyết của SV trong các thực hành diễn ngôn (Mueller và cộng sự, 2012) [51] được thông qua. Khung này dựa trên định nghĩa về cơ quan của Gresalfi et al. (2009) và gợi ý rằng SV có thể thực hiện các bài tập khác nhau. Chia sẻ lẫn nhau là hoạt động đồng xây dựng các lập luận của SV, nơi tất cả những người tham gia đóng góp ý kiến của họ. Do đó, các ý tưởng, đề xuất và hành động đều là những yếu tố quan trọng để xây dựng lập luận từ cơ sở và chỉ tồn tại nhờ tất cả những đóng góp của những người tham gia (Mueller và cộng sự, 2012). Cơ quan chia sẻ tương phản là cơ quan cá nhân của SV, nơi SV là đại lý chính hoặc đại lý phụ. SV có thể hành động với cơ quan chính khi đưa ra lập luận cuối cùng dựa trên sự sửa chữa từ một đồng nghiệp hoặc đồng hóa lập luận của đồng nghiệp hoặc bằng
cách hiểu ý tưởng sai sót hoặc thiếu sót của đồng nghiệp. Tác nhân thứ cấp tạo ra các đầu vào ảnh hưởng đến lập luận ban đầu. Các đầu vào này là các sửa chữa hoặc các đối số mở rộng hoặc thiếu sót, được tạo bởi tác nhân chính thành đối số cuối cùng (Mueller và cộng sự, 2012).
2.9. MỤC TIÊU VÀ CÂU HỎI NGHIÊN CỨU
Một số nghiên cứu đã có liên quan đến tiếp cận giao tiếp - nhận thức của Sfard (2008) đều chủ yếu sử dụng tiếp cận này để phân tích việc dạy học toán diễn ra trong một ngữ cảnh lớp học, hoặc phân tích đặc trưng nghị luận toán học về một khái niệm cụ thể nào đó trong các sách giáo khoa. Nghiên cứu của chúng tôi cũng sử dụng khung lý thuyết là tiếp cận giao tiếp - nhận thức của Sfard (2008), nhưng chúng tôi tập trung xem xét việc giải quyết vấn đề về giải tích ở đầu đại học của SV trong ngữ cảnh làm việc theo nhóm nhỏ. Chúng tôi nhấn mạnh phân tích diễn ngôn của SV (và người hướng dẫn) thông qua việc giải quyết vấn đề theo nhóm nhỏ.
Mục tiêu tổng quát của nghiên cứu này là xem xét đặc trưng giao tiếp toán học của SV liên quan đến các khái niệm của giải tích ở đầu đại học từ cách nhìn của lý thuyết giao tiếp - nhận thức của Sfard (2008). Mục tiêu cụ thể được phát biểu qua các câu hỏi nghiên cứu sau đây.
Câu hỏi 1: Đặc trưng việc sử dụng từ ngữ và phương tiện hỗ trợ trung gian trực quan trong giao tiếp toán học của SV khi giải quyết vấn đề cộng tác về giải tích là gì và được thể hiện như thế nào?
Câu hỏi 2: Đặc trưng của thuyết minh xác nhận và thói quen trong giao tiếp toán học của SV khi giải quyết vấn đề cộng tác về giải tích là gì và được thể hiện như thế nào?
Câu hỏi 3: Đặc trưng của suy luận toán học (suy luận bắt chước và suy luận sáng tạo) của SV trong giao tiếp toán học khi giải quyết vấn đề cộng tác về giải tích là gì và được thể hiện như thế nào?
TIỂU KẾT CHƯƠNG 2
Trong chương 2, chúng tôi trình bày tiếp cận giao tiếp - nhận thức đề xuất bởi Sfard (2008), Suy luận toán học và suy luận sáng tạo (Lithner, 2008). Chúng tôi phân tích các thành tố đặc trưng cho một diễn ngôn trong quá trình giao tiếp theo tiếp cận giao tiếp - nhận thức là cách sử dụng từ ngữ (Word use), các phương tiện trung gian trực quan (Visual mediators), thói quen (Routines), thuyết minh xác nhận (Endorsed narratives). Bên cạnh đó chúng tôi cũng phân tích hai loại suy luận toán học của SV đó là suy luận sáng tạo và suy luận bắt chước. Từ đó, chúng tôi xây dựng và sử dụng bảng các chỉ dấu cụ thể của các thành tố đặc trưng cho một diễn ngôn toán học trong quá trình giao tiếp để giải quyết vấn đề về giải tích để làm khung lý thuyết để thiết kế công cụ thực nghiệm và để phân tích dữ liệu thực nghiệm. Trong chương 3, chúng tôi trình bày thiết kế nghiên cứu, công cụ nghiên cứu, phân tích tiên nghiệm công cụ nghiên cứu được thiết kế.