Chương 3. NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
3.3.3. Phân tích tiên nghiệm
Mục đích:
- Tìm hiểu về mức độ hiểu của SV về cực trị của hàm số tại một điểm.
- Thông qua thảo luận nhóm, cách trình bày hiểu biết của bản thân trên phiếu học tập để ghi nhận lại cách SV sử dụng từ ngữ, phương tiện hỗ trợ trực quan, thủ tục làm khi nói về cực trị của hàm số tại một điểm.
Đối với bài toán này chúng ta có 3 cách giải như sau:
Cách 1: Tìm phương trương trình parabol đi qua 3 điểm ( ) ( ) và ( ) ta được phương trình
Ta có ( ) ( )
Cách 2: Gọi lần lượt là góc giữa hai tiếp tuyến và . Ta có thể tính được hệ số góc theo công thức
;
. Ta có ( ) ( )
Cách 3: Tìm được đường thẳng là đường thẳng đi qua ( ), ( ) nên đường thẳng . Như vậy ( ) .
Tìm được đường thẳng là . Do đó ( ) .
- Cách sử dụng từ ngữ: nhiều thuật ngữ toán học được sử dụng như như ―đồ thị hàm số‖, ―tiếp tuyến‖, ―góc‖, ―parabol‖, ―hệ số góc‖, ―tan‖, ―đường thẳng‖ cũng như các từ ngữ thông thường với một nghĩa đặc thù trong toán học như ―điểm‖,
―hướng xuống dưới‖, ―đoạn‖, ―đường thẳng‖ trong cuộc hội thoại trên. Quá trình đối tượng hoá, tức quá trình chuyển từ ngôn từ chỉ các hành động và quá trình sang ngôn từ chỉ đối tượng toán học, được thể hiện qua một số câu như: ―vì đường thẳng hướng xuống dưới nên hệ số góc âm‖.
- Phương tiện trung gian trực quan: đồ thị và các ký hiệu toán học.
- Kiểu thủ tục được hình thành và cách sử dụng của SV làm bài toán: khám phá, hành vi, nghi thức.
- Suy luận toán học: Loại suy luận AR và CMR.
Bài toán 2.
Mục đích:
- Tìm hiểu mức độ hiểu biết của SV về tính đồng biến, nghịch biến, lồi lõm và giới hạn tại vô cực của hàm số.
- Tìm hiểu mức độ hiểu biết của SV về cách xác định các đường tiệm cận của hàm số.
- Thông qua hoạt động nhóm để giải bài toán này, ghi nhận lại cách SV sử dụng từ ngữ, phương tiện hỗ trợ trực quan, cách thuyết minh xác nhận
Đối với bài toán này SV có thể trả lời như sau:
- Cách suy luận để vẽ được mà không cần tìm biểu thức hàm ( )
+ ( ) trên ( ) nên hàm số đồng biến trên khoảng ( ), do đó ta chọn đồ thị là đường cong đi lên trên khoảng ( ).
+ ( ) trên ( ) nên hàm số nghịch biến trên khoảng ( ), do đó ta chọn đồ thị là đường cong đi xuống trên khoảng ( ).
+ ( ) trên ( ) và ( ) nên ta chọn đồ thị là đường cong có bề lõm quay lên trên trên các khoảng ( ) và ( ).
+ ( ) trên ( ) nên ta chọn đồ thị là đường cong có bề lõm quay xuống trên khoảng ( ).
+ ( ) nên ta chọn đồ thị có đường tiệm cận ngang là đường thẳng khi .
+ ( ) nên ta chọn đồ thị có đường tiệm cận ngang là đường thẳng khi .
- Do đó ta có cách vẽ đồ thị như sau:
Trước hết ta vẽ đường tiệm cận ngang (đường chấm). Sau đó ta vẽ đồ thị tiến sát tiệm cận này ở xa về phía bên trái, đồng biến đến điểm cực đại và nghịch biến sát trục hoành xa về bên phải. Ta cũng biết đồ thị có điểm uốn khi và . Chú ý ta vẽ đường cong quay bề lõm bên trên khi và , và có bề lõm quay xuống khi .
Hình 3.5. Đồ thị hàm số
- Cách sử dụng từ ngữ: nhiều thuật ngữ toán học được sử dụng như như ―đồ thị hàm số‖, ―nghịch biến‖, ―đồng biến‖, ―cực đại‖, ―cực tiểu‖, ―tiệm cận‖,
―đường thẳng‖ cũng như các từ ngữ thông thường với một nghĩa đặc thù trong toán học như ―lồi‖, ―lõm‖, ―khoảng‖, ―đường cong‖. Trong đoạn hội thoại trên, SV đã dùng các thuật ngữ như ―trên khoảng‖. Từ ngữ này cho thấy SV đang sử dụng sự sắp xếp không gian để tổ chức lại các thực thể hướng đến giải quyết vấn đề đặt ra. Các câu văn như ―Vì ( ) và ( ) nên hai đường là tiệm cận ngang‖, ―tìm các điểm đặc biệt tại ‖ thể hiện hai quá trình và hành động nhằm hướng đến đối tượng hóa thực thể ―đồ thị hàm số‖.
- Phương tiện trung gian trực quan: đồ thị và các ký hiệu toán học.
- Kiểu thủ tục được hình thành và cách sử dụng của SV làm bài toán: khám phá, hành vi, nghi thức.
- Suy luận toán học: Loại suy luận AR/MR và CMR.
Bài toán 3.
Mục đích:
- Tìm hiểu (hướng dẫn) mức độ nắm rõ của SV về cực trị.
- Thông qua hoạt động nhóm để giải bài toán 3, ghi nhận lại cách SV sử dụng từ ngữ, phương tiện hỗ trợ trực quan, cách thuyết minh xác nhận.
Đối với bài toán này chúng ta có 2 cách giải bằng cách lập bảng biến thiên hoặc dựa vào đồ thị. SV có thể giải như sau:
Ta có ( ) ( )
Cách 1: Ta có ( ) ( ) [
( ) ( ) *
Bảng biến thiên:
Hình 3.6. Bảng biến thiên Nên chọn đáp án .
Cách 2:
Ta có ( ) ( ) nên đồ thị của hàm số ( ) là phép tịnh tiến của đồ thị hàm số ( ) theo phương Oy xuống dưới 1 đơn vị.
Hình 3.7. Đồ thị hàm số tịnh tiến
Ta thấy giá trị hàm số ( ) đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua điểm nên chọn đáp án .
- Cách sử dụng từ ngữ: nhiều thuật ngữ toán học được sử dụng như như ―đồ thị hàm số‖, ―nghịch biến‖, ―cực trị‖, ―cực đại‖, ―cực tiểu‖, ―tiệm cận‖, ―đường thẳng‖ cũng như các từ ngữ thông thường với một nghĩa đặc thù trong toán học như
―tịnh tiến‖, ―nghiệm kép‖, ―đạo hàm‖, ―chiều biến thiên‖.
- Phương tiện trung gian trực quan: Các ký hiệu và biểu tượng toán học được hình thành và sử dụng trong quá trình giao tiếp toán học: ( ) ( ) ,
( )
- Kiểu thủ tục được hình thành và cách sử dụng của SV làm bài toán: khám phá, hành vi, nghi thức.
- Suy luận toán học: Loại suy luận AR/MR và CMR.
Bài toán 4.
Mục đích:
- Tìm hiểu về mức độ hiểu của SV về vi phân của hàm số.
- Thông qua thảo luận nhóm, cách trình bày hiểu biết của bản thân trên phiếu học tập để ghi nhận lại cách SV sử dụng từ ngữ, phương tiện hỗ trợ trực quan, thủ tục làm khi nói về giới hạn của hàm số tại một điểm, giới hạn vô cùng.
Đối với bài toán này SV có thể trả lời như sau:
1) Phân biệt sự khác nhau giữa số gia và vi phân của hàm số theo ba cách sau:
a) Bằng ngôn ngữ thông thường:
là hiệu giữa ( ) và ( ); là hiệu giữa ( ) và ( ) khi khá bé.
b) Bằng công thức toán học: ( ) ( ); ( ) c) Bằng biểu diễn hình học:
Hình 3.8. Minh họa bằng hình học
2) Cho hàm số ( ) có đạo hàm trên khoảng ( ) và ( ).
Hãy giải thích tại sao khi rất nhỏ (khi đó ta ký hiệu thay cho ) thì ta có thể xấp xỉ ( ) ( ) bởi vi phân của hàm số ( ).
a) Giải thích về mặt hình học:
Hình 3.9. Minh họa bằng hình học
b) Giải thích về mặt công thức (dựa vào mối liên hệ giữa và ):
( )
- Cách sử dụng từ ngữ: nhiều thuật ngữ toán học được sử dụng như như ―đồ thị hàm số‖, ―vi phân‖, ―đồng biến‖, ―cực đại‖, ―cực tiểu‖, ―đạo hàm‖, ―đường thẳng‖, ―số gia‖, ―vô cùng bé‖ cũng như các từ ngữ thông thường với một nghĩa đặc thù trong toán học như ―đoạn‖, ―khoảng‖, ―đường cong‖.
- Phương tiện trung gian trực quan: đồ thị và các ký hiệu toán học.
- Kiểu thủ tục được hình thành và cách sử dụng của SV làm bài toán: khám phá, hành vi, nghi thức.
- Suy luận toán học: Loại suy luận AR/MR và CMR.