Chương 2. KHUNG LÝ THUYẾT THAM CHIẾU
2.2. Tiếp cận giao tiếp - nhận thức
Gần đây, nhiều nhà nghiên cứu giáo dục quan tâm đến khía cạnh giao tiếp trong quá trình dạy và học. Ngày nay, giao tiếp trong lớp học và hoạt động diễn ngôn (discourse) là những vấn đề trọng tâm trong các nghiên cứu giáo dục (Tabach
& Nachlieli, 2016) [88]. Một số lý thuyết trong nghiên cứu giáo dục quan niệm rằng tư duy được thể hiện qua giao tiếp, một số lý thuyết khác cho rằng tư duy chính là một dạng tương đương của giao tiếp. Sfard (2008) [83] xem tư duy như là giao tiếp với chính bản thân mình. Để nhấn mạnh tính thống nhất của giao tiếp và tư duy, Sfard (2008) [83] sử dụng thuật ngữ giao tiếp - nhận thức (commognition), như là một sự kết hợp giữa giao tiếp (communication) và nhận thức (cognition). Trong công trình ―Thinking as communicating: Human development, the growth of discourses, and mathematizing‖ của mình, Sfard (2008) [83] đề xuất và phát triển một tiếp cận diễn ngôn (discursive approach), gọi là tiếp cận giao tiếp đối với nhận thức, gọi tắt là tiếp cận giao tiếp - nhận thức (commognitive approach).
Tiếp cận giao tiếp - nhận thức của Sfard (2008) [83] gần gũi với các quan niệm hiện đại có tính xã hội - văn hóa đối với việc học. Đối với các quan niệm kiến tạo cơ bản, việc học được xem như quá trình thu nhận (learning as acquisition), trong đó nhấn mạnh bản chất cá nhân của việc học, xem đó là quá trình thu nhận các dạng thức trí tuệ thông qua hai cơ chế là đồng hoá và điều ứng. Ngược lại, tiếp cận giao tiếp - nhận thức xem việc học như một quá trình tham gia (learning as participation). Trong quan niệm này, việc học được xem như sự thay đổi trong diễn ngôn của cá nhân (tức là sự thay đổi trong cách cá nhân giao tiếp) qua việc tham gia vào một cộng đồng thực hành (Lave &
Wenger, 1991). Việc học là một quá trình qua đó mà người học trở thành những người tham gia chủ đạo hơn trong các hoạt động diễn ngôn. Giả thuyết cơ bản của tiếp cận giao tiếp - nhận thức đối với việc học cho rằng ―Học toán là sự khởi xướng với các diễn ngôn toán học liên quan đến những thay đổi nghị luận trọng yếu đối với người học, và dạy toán cần phải hướng đến thúc đẩy những thay đổi đó‖ (Sfard, 2008, pp.
133-134). Giao tiếp qua ngôn ngữ nói hoặc viết, và việc thao tác trên các đối tượng vật lý là những phương tiện chủ yếu đi đến mục đích nghị luận của việc dạy và học.
Trong tiếp cận giao tiếp - nhận thức đối với việc học của Sfard (2008) [83]
đơn vị phân tích chủ đạo là diễn ngôn. Diễn ngôn (discourse) được định nghĩa như là ―các dạng khác nhau của giao tiếp được đặc trưng bởi đối tượng của nó, kiểu phương tiện trung gian được sử dụng, những quy tắc được sử dụng bởi những người tham gia, và vì vậy xác định nên những cộng đồng giao tiếp khác nhau‖ (Sfard, 2008, p. 93). Theo quan niệm này, toán học được xem là một dạng diễn ngôn có tính đặc thù, được phân biệt bởi bốn đặc trưng cốt yếu sau (Bảng 2.1):
Cách sử dụng từ ngữ (Word use): Đặc trưng này đề cập đến việc sử dụng từ vựng toán học trong diễn ngôn của người tham gia giao tiếp. Nó bao gồm việc sử dụng các thuật ngữ đặc thù toán học (chẳng hạn như tô pô), cũng như các từ ngữ thông thường với một nghĩa đặc thù trong toán học (như là ―giới hạn‖, ―liên tục‖,
―mở‖, ―nhóm‖). Một đặc trưng quan trọng trong việc sử dụng từ ngữ trong diễn ngôn toán học là sự đối tượng hóa (objectification), xuất hiện qua quá trình cô đọng (reification), tức quá trình thay thế các ngôn từ nói về hành động (action) và quá trình (process) thành các ngôn từ liên quan đến đối tượng (object). Qua việc đối tượng hóa, chúng ta nhận ra tính tương đồng giữa những quá trình khác nhau trong một ngôn từ và thống nhất thành dưới một tên gọi cho đối tượng toán học được đề cập.
Phương tiện trung gian trực quan (Visual mediators): Đặc trưng này đề cập đến tất cả các đối tượng trực quan được tạo ra và sử dụng cho việc giao tiếp toán học. Nó bao gồm các đối tượng cụ thể (đồ thị, sơ đồ, đối tượng vật lý) và những biểu tượng như trong hệ thống ký hiệu toán học hình thức. Chẳng hạn, phương tiện trung gian trực quan của đối tượng đạo hàm của một hàm số có thể là biểu thức
( ) hoặc một đồ thị trong mặt phẳng tọa độ.
Thuyết minh xác nhận (Endorsed narratives): Thuyết minh xác nhận đề cập đến dãy các các lời văn (utterances) về các đối tượng toán học và mối quan hệ của chúng mà người tham gia giao tiếp xem như là đúng. Các định nghĩa, định lí, tiên đề là những tường thuật xác nhận của diễn ngôn toán học.
Thói quen (Routines): Thói quen (hay Thông lệ, Thủ tục) là tập hợp các quy tắc tổng hợp mô tả các quy luật diễn ngôn trong hành động của người tham gia giao tiếp khi họ thực hiện các tường thuật về toán học. Thói quen bao gồm các thực hành có tính lập lại, được sử dụng theo những cách đặc thù bởi cộng đồng (chẳng hạn như định nghĩa, đặt giả thuyết, chứng minh, ước lượng, khái quát hóa, trừu tượng hóa). Sfard phân chia thành ba loại thói quen: hành vi (deeds), nghi thức (rituals) và khám phá (explorations).
Bảng 2.1. Các đặc trưng của diễn ngôn toán học theo tiếp cận giao tiếp - nhận thức (Sfard, 2008)
Đặc trƣng Mô tả ngắn gọn Mô tả chi tiết
Sử dụng từ ngữ
Việc sử dụng từ ngữ biểu thị cho các đối tượng toán học
Những người đối thoại (người nói) khác nhau có thể sử dụng một từ nào đó theo những cách khác nhau. Đây là một vấn đề rất quan trọng, vì nó ảnh hưởng lớn đến cách người dùng nhìn nhận thế giới.
Phương tiện trung gian trực quan
Các phương tiện giao tiếp phi ngôn ngữ
(không bằng lời)
Do mọi người chú ý đến các yếu tố trực quan theo những cách cụ thể phụ thuộc vào ngữ cảnh, các phương tiện trung gian cần được xem như là một phần của một quá trình tư duy hơn là những phương tiện bổ trợ biểu đạt suy nghĩ đã có từ trước.
Thuyết minh xác nhận
Các câu văn mà người nói xác nhận là đúng
Các thuyết minh (tường thuật) xác nhận của người học thường khác với những gì mà cộng đồng toán học chuyên nghiệp xác nhận là đúng
Thói quen
Quy luật có tính lặp lại ổn định trong diễn ngôn
Những quy luật có thể tìm thấy trong việc sử dụng từ ngữ và phương tiện trung gian trực quan của người nói, hoặc trong quá trình tạo ra và xác nhận các thuyết minh.
Theo Park (2016) [72], bằng việc giải thích tư duy toán học của người học qua cách nhìn giao tiếp - nhận thức này, Sfard (2008) đề cập đến sự phát triển của các đối tượng toán học - thông qua những thay đổi trong các đặc trưng của diễn ngôn về các đối tượng. Tiếp cận giao tiếp - nhận thức của đặc trưng việc học như là nỗ lực của các cá nhân để kết nối một ―khái niệm‖ mới với các đối tượng quen thuộc bằng cách bắt chước trước tiên diễn ngôn của những người tham gia giao tiếp có kinh nghiệm, rồi sau đó tham gia dần dần vào quá trình nghị luận bằng cách nói và giao tiếp nhiều hơn
với những người tham gia giao tiếp, hay với chính bản thân mình. Việc học thành công sẽ cho kết quả thể hiện ở mối quan hệ giữa ―khái niệm‖ mới (các đối tượng trừu tượng hơn) và các đối tượng quen thuộc (các đối tượng cụ thể có liên quan), tương tự như điều đã được các nhà toán học phát triển trong lịch sử của khái niệm đó.
Theo tiếp cận giao tiếp - nhận thức của Sfard (2008) [83], trong quá trình phát triển tư duy toán học của một người, các đặc trưng của diễn ngôn sẽ thay đổi. Cụ thể là, người học, tức là những người tương đối mới đối với diễn ngôn, áp dụng một quy trình hành động, được gọi là thói quen (routine), mà trước đây đã làm với các đối tượng quen thuộc, cho phạm vi rộng hơn của các đối tượng toán học. Điều này có thể dẫn đến một sự thể hiện khác về một quy trình hành động cần áp dụng và thời điểm áp dụng nó (chẳng hạn như từ ―phép trừ như là hành động lấy đi một số lượng đối tượng từ một số lượng đối tượng nhiều hơn‖ đến ―phép trừ như là một toán tử hai ngôi trên các cặp số nguyên‖). Kết quả là, những gì được cho là đúng, được gọi là một thuyết minh (tường thuật) xác nhận, về các đối tượng có thể phải thay đổi đối với khái niệm mới (chẳng hạn từ ―phép trừ làm một số nhỏ lại‖ đến
―phép trừ có thể làm một số trở nên lớn hơn‖). Việc HS không quen thuộc với các đặc điểm của diễn ngôn của những người tham gia có kinh nghiệm (ví dụ như giáo viên), bao gồm cả cách sử dụng từ ngữ và các yếu tố trung gian trực quan, có thể dẫn đến sự bất hòa trong giao tiếp, điều mà Sfard (2008) [83] gọi là xung đột nhận thức. Thông qua giao tiếp với người khác, HS giải quyết những xung đột như vậy bằng cách dần dần điều chỉnh cách diễn đạt của mình (p. 145).
2.3. ĐỐI TƢỢNG TOÁN HỌC VÀ SỰ THỂ HIỆN
Tiếp cận giao tiếp - nhận thức của Sfard (2008) [83] quan niệm rằng các đối tượng toán học được kiến tạo theo cách nghị luận (thông qua giao tiếp và diễn đạt). Lưu ý rằng không phải tất cả đối tượng trong diễn ngôn của người học đều là đối tượng toán học theo nghĩa của tiếp cận giao tiếp - nhận thức. Vì vậy, trong phạm vi nghiên cứu này, chúng tôi dùng từ đối tượng theo nghĩa đáp ứng yêu cầu định nghĩa đối tượng toán học của Sfard, những trường hợp còn lại được dùng với thuật ngữ thực thể toán học.
Do đó, một đặc trưng chủ yếu của khái niệm đối tượng toán học theo Sfard (2008) là mối quan hệ giữa cái biểu đạt (signifier) và sự thể hiện (realisation) của nó. Sfard gợi ý rằng, chẳng hạn khi giải một phương trình tuyến tính bằng phương pháp đại số, người học sẽ thực hiện từ cái biểu đạt (dưới dạng biểu tượng hay từ ngữ). Mỗi cái biểu đạt mang một nghĩa và ý nghĩa cụ thể nào đó đối với người học.
Nghĩa đó tạo ra câu trả lời (dạng viết hoặc nói), gọi là sự thể hiện. Vì vậy, một cái biểu đạt hỗ trợ trung gian về nghĩa giữa một thực thể và một thực thể khác. Chuỗi các cái biểu đạt và sự thể hiện chúng được xem như các nhánh của một cây (cây thể hiện), và sự thể hiện cuối cùng là lời giải của bài toán.
Một cái biểu đạt có thể dẫn đến nhiều sự thực hiện khác nhau đối với những người khác nhau. Chẳng hạn, một vài SV có thể nói về số hạng ― ‖ như là một đối tượng toán học và thao tác trên nó, nhưng đối với một số SV khác, ― ‖ và ― ― có thể là những phương tiện biểu diễn trực quan tách rời, và vì vậy nó có thể biểu đạt các phép toán tách rời mà không thể được xác nhận. Theo Sfard, một đối tượng toán học gồm một cái biểu đạt toán học (ký hiệu) cùng với cây thực hiện của nó.
Chẳng hạn, cây thực hiện đối với việc giải phương trình tuyến tính như Bảng 2.2 (Roberts & Le Roux, 2019 [78]; Hồ Hữu Nghĩa, 2021) [5].
Giao tiếp toán học vì vậy phụ thuộc rất nhiều vào cách sử dụng, diễn đạt những cái biểu đạt của người giao tiếp, chẳng hạn như việc sử dụng từ ngữ của họ. Cách sử dụng từ đa dạng của những người giao tiếp tạo nên một thử thách hay của giao tiếp toán học, và là một kiểu thử thách mà Sfard gọi là xung đột giao tiếp - nhận thức.
Để xem liệu diễn ngôn của người học về phương trình tuyến tính có được đối tượng hoá, nghĩa là liệu người học có đang thao tác với các đối tượng toán học, chúng ta cần xem xét liệu các thuyết minh (tường thuật) mà các em xây dựng để biện minh mối quan hệ giữa cái biểu đạt và sự thể hiện của nó có được xác nhận hay không. Trong bảng 2.2. dưới đây, sự thể hiện đầu tiên được biện minh bằng cách thêm số đối của vào biểu thức trên mỗi vế của dấu bằng. Sự biện minh này là một phần của thuyết minh (narrative), có thể được xác nhận bởi vì tính tương đương của phương trình được bảo toàn.
Bảng 2.2. cho thấy mối quan hệ mang tính lặp lại và được xác nhận giữa những cái biểu đạt (signifiers) và những thực hiện (realisations) đối với cách giải đại số của phương trình.
Bảng 2.2. Quan hệ giữa cái biểu đạt (signifier), sự thể hiện (realisation) và thuyết minh xác nhận (endorsed narrative) đối với cách giải đại số của phương trình 2x+7 = 13
(Roberts & Le Roux, 2019)
Cái biểu đạt Sự thể hiện Thuyết minh xác nhận Nghiệm của phương trình
Áp dụng số đối của +7 vào hai vế của phương trình Nghiệm của phương trình
Cộng thêm các số hạng giống nhau
Nghiệm của phương trình
Áp dụng nghịch đảo của 2 vào hai vế của phương trình Nghiệm của phương trình
Theo Sfard (2008) [83], các khám phá (explorations) là những dạng thủ tục phức tạp nhất. Diễn ngôn mang tính khám phá được đặc trưng bởi những đoạn tường thuật về các đối tượng toán học mà có thể xác nhận được bằng các tiên đề, định nghĩa và định lí. Các nghi thức (rituals) được đặc trưng bởi những thủ tục chặt chẽ được xác định bởi giáo viên hoặc sách giáo khoa. Diễn ngôn mang tính nghi thức chỉ giới hạn liên quan đến biện minh làm như thế nào, nhưng không đề cập đến làm khi nào và tại sao lại làm như vậy. Vì toán học là một hệ thống tái sinh, người học trước hết bắt chước theo người khác, làm cho các nghi thức dần trở thành một cái có thể chấp nhận trong quá trình học. Điều này kéo theo rằng các thủ tục của họ được hỗ trợ trung gian bằng nghị luận bởi giáo viên. Người học sẽ dần dần đạt được việc hiểu về vấn đề ―tại sao‖ và ―khi nào‖, là những yếu tố tạo nên bước chuyển từ diễn ngôn có tính nghi thức sang diễn ngôn có tính khám phá.
Quỹ đạo ở đó người học chuyển về phía đạt được diễn ngôn khám phá là khá phức tạp. Sfard (2008) phân biệt bốn giai đoạn trong việc sử dụng từ ngữ trong một diễn ngôn: sử dụng bị động, sử dụng dựa theo thủ tục, sử dụng dựa theo câu, và sử dụng đối tượng hoá. Sử dụng bị động các thuật ngữ toán học thường gắn liền với một gặp gỡ ban đầu với một từ khóa hay một câu. Một khi người học bắt đầu sử dụng thuật ngữ trong ngữ cảnh các thủ tục toán học, nó sẽ trở thành sử dụng theo thủ tục. Khi niềm tin của người học với thuật ngữ mở rộng hơn, nó trở thành sử dụng dựa theo câu.
Cuối cùng, người học sẽ sử dụng những từ đó như những danh từ, qua các ngữ cảnh khác nhau, và như vậy là theo một cách đã được đối tượng hoá. Một người học sẽ được khởi xướng với các diễn ngôn khám phá thông qua việc sử dụng đối tượng hoá các từ vựng và phương tiện hỗ trợ trực quan (từ giáo viên và sách giáo khoa).
Bảng 2.3. Tiêu chuẩn để đánh giá diễn ngôn (Roberts và Le Roux (2019)) Diễn ngôn khám phá Diễn ngôn nghi thức Mức độ đối tượng hoá
Việc sử dụng từ ngữ và phương tiện hỗ trợ biểu thị cho đối tượng toán học
Việc sử dụng từ ngữ và phương tiện trực quan biểu thị cho lời nói và hành động trên các thực thể.
Các từ khóa được dùng hướng đến đối tượng
Việc sử dụng các từ khoá định hướng đến thủ tục và câu.
Người học sử dụng được nhiều hơn một biểu diễn của đối tượng toán học trong quá trình giải quyết vấn đề
Người học chỉ sử dụng một biểu diễn của đối tượng toán học trong quá trình giải quyết vấn đề
Phạm vi mà các thuyết minh của người học được xác nhận Các thuyết minh về tính chất và cấu trúc
của các đối tượng toán học được xác nhận
Các thuyết minh về các thực thể và mối quan hệ giữa các thực thể không được xác nhận
Mục tiêu
Hình thành nên một thuyết minh xác nhận về các đối tượng toán học
Hoàn thành một quy trình dẫn đến giải quyết vấn đề.
Thủ tục
Diễn ngôn của SV mang tính thuyết phục nội tại, phụ thuộc vào các tính chất toán học
Diễn ngôn của SV phụ thuộc vào các yếu tố bên ngoài (giáo viên, sách giáo khoa)
Người học làm việc độc lập Người học phụ thuộc vào sự hỗ trợ (người dẫn dắt hay các phương tiện hỗ trợ)
Mức độ linh hoạt
Người học thực hiện một số biến đổi chấp nhận được đối với quá trình giải quyết vấn đề
Người học tuân theo quy trình theo một cách nghiêm ngặt và xác định chặt chẽ.
Mức độ đúng đắn
Người học nhận ra các thuyết minh không được xác nhận đúng và sửa chữa chúng
Người học không nhận ra các thuyết minh không được xác nhận hoặc không sửa chữa được chúng.
2.4. VÍ DỤ VỀ CÁC ĐẶC TRƢNG NGHỊ LUẬN LIÊN QUAN ĐẾN KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM
Sau đây chúng tôi làm rõ bốn đặc trưng nghị luận của diễn ngôn toán học liên quan đến khái niệm đạo hàm theo tiếp cận giao tiếp - nhận thức của Sfard (2008).
Việc làm rõ các đặc trưng này được dựa trên các văn bản trình bày về đạo hàm thường thấy trong các giáo trình giải tích hay sách giáo khoa, không phải dựa trên dữ liệu thực nghiệm về giao tiếp giữa các cá nhân. Chúng tôi chủ yếu tham khảo từ công trình của Park (2015) [71].
• Việc sử dụng từ ngữ và phương tiện trung gian trực quan:
o Cách nhìn đạo hàm theo từng điểm: đạo hàm của hàm số tại một điểm được mô tả với các từ ―tốc độ thay đổi tức thời‖ và ―độ dốc của tiếp tuyến‖ của một hàm số hay đồ thị hàm số tại một điểm, thường được hỗ trợ trung gian trực quan bởi một đường thẳng tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Trong kiểu ký hiệu hình thức, nó thường được hỗ trợ trung gian trực quan bởi giới hạn của một thương các số gia.
Giới hạn của thương hai số gia này có thể nhìn như một quá trình, một kết quả hay một toán tử. Ví dụ, nếu ta xét ( ), thì thường các số gia ( ) ( )
có thể minh hoạ bởi một đường cát tuyến, giới hạn ( ) ( )
được minh hoạ bởi nhiều đường cát tuyến, và cuối cùng kết quả của quá trình này được viết là ( ), và được trình bày kèm với một đường tiếp tuyến trên đồ thị. Giới hạn này cũng có thể xem như