Chương 3. NỘI DUNG VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
3.4.3. Phân tích tiên nghiệm
Mục đích:
- Tìm hiểu về mức độ hiểu của SV về cực trị của hàm số.
- Thông qua thảo luận nhóm, cách trình bày hiểu biết của bản thân trên phiếu học tập để ghi nhận lại cách SV sử dụng từ ngữ, phương tiện hỗ trợ trực quan, thủ tục làm và suy luận toán học khi nói về cực trị của hàm số.
Đối với bài toán này SV có thể trả lời như sau:
Hướng 1: SV nắm rõ khái niệm cực đại, cực tiểu hàm số
Hàm số ( ) liên tục, có ( ) ( ) ( ) nên ( ( )) là điểm cực tiểu.
Hướng 2: SV nắm rõ, hiểu rõ dấu nguyên hàm và vẽ được bảng biến thiên.
Từ đồ thị hàm số ( ) ta có bảng biến thiên:
Hình 3.10. Bảng biến thiên Vậy hàm số đạt cực tiểu tại điểm ( ( )).
Hướng 3: SV nhìn dáng đồ thị suy ra đồ thị nguyên hàm.
Dựa vào dáng điệu đồ thị hàm số ( ) là hàm bậc 3 với hệ số nên hàm ( ) là hàm bậc 4 với hệ số . Mà ( ) đổi dấu 1 lần khi vượt qua nên hàm số ( ) đạt cực tiểu tại . Vậy điểm ( ( )) là điểm cực tiểu.
- Cách sử dụng từ ngữ: nhiều thuật ngữ toán học được sử dụng như như ―cực tiểu‖, ―nguyên hàm‖, ―cực đại‖, ―bảng biến thiên‖, ―đồ thị‖, ―nghịch biến‖,
―khoảng‖, ―cực trị‖. Trong đó, các thuật ngữ như ―bảng biến thiên‖, ―nguyên hàm‖
là những thuật ngữ không có sẵn trong đề bài toán.
- Phương tiện trung gian trực quan: đồ thị và các ký hiệu toán học.
- Kiểu thủ tục được hình thành và cách sử dụng của SV làm bài toán: khám phá, hành vi, nghi thức.
- Suy luận toán học: Loại suy luận AR/MR và CMR.
Bài toán 2.
Mục đích:
- Tìm hiểu về mức độ hiểu của SV về ý nghĩa hình học của công thức
∫ ( ) ( ) ( ) và mối liên hệ của nó về sự biến thiên giá trị của hàm số nguyên hàm trên trục tung.
- Thông qua thảo luận nhóm, cách trình bày hiểu biết của bản thân trên phiếu học tập để ghi nhận lại cách SV sử dụng từ ngữ, phương tiện hỗ trợ trực quan, thủ tục làm khi nói về ý nghĩa hình học mối liên hệ giữa đồ thị hàm số và sự biến thiên của giá trị nguyên hàm.
Đối với bài toán này SV có thể trả lời như sau:
Ý nghĩa hình học và mối liên hệ từ đồ thị hàm ( ) và đồ thị hàm số nguyên hàm ( ) ∫ ( ) là tổng diện tích vùng trong không gian Oxy được giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ), trục hoành và hai đường thẳng , sao cho phần diện tích nằm phía trên trục hoành của hình giới hạn được cộng vào tổng diện tích, phần diện tích nằm dưới trục hoành của hình giới hạn được trừ vào tổng diện tích.
Hình 3.11. Ý nghĩa hình học
Phần tổng diện tích được tính từ ∫ ( ) là sự thay đổi giá trị của hàm số ( ) trên trục tung từ ( ) ( ).
Hình 3.12. Minh họa bằng hình học
- Cách sử dụng từ ngữ: nhiều thuật ngữ toán học được sử dụng như như ―cực tiểu‖, ―nguyên hàm‖, ―đồ thị‖, ―nghịch biến‖, ―khoảng‖. Trong đó, các thuật ngữ như ―bảng biến thiên‖, ―nguyên hàm‖, ―số gia‖.
- Phương tiện trung gian trực quan: đồ thị và các ký hiệu toán học.
- Kiểu thủ tục được hình thành và cách sử dụng của SV làm bài toán: khám phá, hành vi, nghi thức.
- Suy luận toán học: Loại suy luận AR/MR và CMR.
Bài toán 3.
Mục đích:
- Tìm hiểu về mức độ hiểu của SV về đồ thị hàm số và đồ thị hàm số nguyên hàm của nó khi biết điều kiện ban đầu.
- Tìm hiểu (hướng dẫn) mức độ nắm rõ của SV về cách xác định sự biến thiên giá trị của hàm số nguyên hàm để vẽ được đồ thị hàm số nguyên hàm.
- Thông qua hoạt động nhóm để giải bài toán 3, ghi nhận lại cách SV sử dụng từ ngữ, phương tiện hỗ trợ trực quan, cách Thuyết minh xác nhận.
Đối với bài toán này SV có thể trả lời như sau:
Cách suy luận để vẽ được mà không cần tìm biểu thức ( ).
Dựa vào đồ thị hàm số ( ) ta có nhận xét sau:
+ ( ) *
; ( ) *
; ( ) [ + ∫ ( ) ( ) ( ); ∫ ( ) ( ) ( )
+ ∫ ( ) ( ) ( ); + ∫ ( ) ( ) ( ) Vì ( ) nên suy ra ( ) , ( ) , ( ) , ( ) . Do đó ta có cách vẽ như sau:
Đồ thị ( ) trên đoạn [ ] bắt đầu từ điểm ( ) đi xuống đến điểm ( ) và đạt cực tiểu tại đó; đồ thị ( ) đi lên đến điểm ( ) và đạt cực đại tại đó; đồ thị đi xuống đến điểm ( ) và đạt cực tiểu tại đó; đồ thị ( ) đi lên đến điểm ( ).
Vẽ đồ thị ( ):
Hình 3.13. Đồ thị hàm số
Trình bày một cách suy luận khác để vẽ được đồ thị hàm số ( ):
Trong khoảng ( ) đồ thị ( ) hàm số là một đường thẳng có phương trình .
Trong khoảng ( ) đồ thị ( ) hàm số là một đường thẳng có phương trình .
Trong khoảng ( ) đồ thị ( ) hàm số là một đường thẳng có phương trình .
Vì ( ) liên tục nên ( ) liên tục và ( ) do đó ( ) {
[ ) ( ] [ ]
- Cách sử dụng từ ngữ: nhiều thuật ngữ toán học được sử dụng như như ―đồ thị hàm số‖, ―cực trị‖, ―nguyên hàm‖, ―parabol‖, ―nguyên hàm‖, ―diện tích tam giác‖, ―đồng biến‖, ―nghịch biến‖, ―cực tiểu‖, ―trục hoành‖, ―bảng biến thiên‖ cũng như các từ ngữ thông thường với một nghĩa đặc thù trong toán học như ―bảng biến thiên‖, ―cực trị‖, ―nguyên hàm‖, ―cực đại‖, ―cực tiểu‖ trong cuộc hội thoại trên.
- Phương tiện trung gian trực quan: đồ thị và các ký hiệu toán học.
- Kiểu thủ tục được hình thành và cách sử dụng của SV làm bài toán: khám phá, hành vi, nghi thức.
- Suy luận toán học: Loại suy luận AR/MR và CMR.
Bài toán 4.
Mục đích:
- Tìm hiểu về mức độ hiểu của SV về đồ thị hàm số và đồ thị hàm số nguyên hàm của nó khi biết điều kiện ban đầu.
- Tìm hiểu (hướng dẫn) mức độ nắm rõ của SV về cách xác định sự biến thiên giá trị của hàm số nguyên hàm để vẽ được đồ thị hàm số nguyên hàm.
- Thông qua hoạt động nhóm để giải bài toán 3, ghi nhận lại cách SV sử dụng từ ngữ, phương tiện hỗ trợ trực quan, cách Thuyết minh xác nhận.
Đối với bài toán này SV có thể trả lời như sau:
Cách suy luận để vẽ được mà không cần tìm biểu thức ( ):
Dựa vào đồ thị hàm số ( ) ta có nhận xét:
+ ( ) ( ); ( ) ( ); ( ) . + ∫ ( ) ( ) ( ); ∫ ( ) ( ) ( ) + ∫ ( ) ( ) ( ); ∫ ( ) ( ) ( )
Vì ( ) nên suy ra ( ) , ( ) , ( ) , ( ) . Do đó đồ thị hàm số ( ) trên [ ] được vẽ như sau:
Bắt đầu từ điểm ( ) đồ thị hàm số ( ) đi xuống đến điểm ( ), đồ thị ( ) tiếp tục đi xuống đến điểm ( ) và đạt cực tiểu tại đó; đồ thị hàm số ( ) đi lên đến điểm ( ) và tiếp tục tăng đến điểm ( ).
Vẽ đồ thị ( ):
Hình 3.14. Đồ thị hàm số
Trong khoảng ( ) đồ thị hàm số ( ) là một đường thẳng có phương trình
Trong khoảng ( ) đồ thị hàm số ( ) là một đường thẳng có phương trình
Trong khoảng ( ) đồ thị hàm số ( ) là một đường thẳng có phương trình
Vì ( ) liên tục nên ( ) liên tục và ( ) nên ( ) {
[ ) [ ) [ ]
- Cách sử dụng từ ngữ: nhiều thuật ngữ toán học được sử dụng như như ―đồ thị hàm số‖, ―diện tích‖, ―nguyên hàm‖, ―vô cùng‖, ―nguyên hàm‖, ―diện tích tam giác‖ cũng như các từ ngữ thông thường với một nghĩa đặc thù trong toán học như
―bảng biến thiên‖, ―đường cong‖, ―điểm‖, ―đoạn thẳng‖ trong cuộc hội thoại trên.
- Phương tiện trung gian trực quan: đồ thị và các ký hiệu toán học.
- Kiểu thủ tục được hình thành và cách sử dụng của SV làm bài toán: khám phá, hành vi, nghi thức.
- Suy luận toán học: Loại suy luận AR/MR và CMR.
Bài tập 5.
Mục đích:
- Tìm hiểu mức độ hiểu biết của SV về đồ thị hàm số và đồ thị hàm số nguyên hàm của nó.
- Tìm hiểu (hướng dẫn) mức độ nắm rõ của SV về cách xác định sự biến thiên giá trị của hàm số nguyên hàm để có thể phác thảo được đồ thị hàm số nguyên hàm.
- Thông qua hoạt động nhóm để giải bài toán 4, ghi nhận lại cách SV sử dụng từ ngữ, phương tiện hỗ trợ trực quan, cách thuyết minh xác nhận.
Đối với bài toán này SV có thể trả lời như sau:
Dựa vào đồ thị hàm số ( ) đã cho ta có nhận xét:
+ ( ) [ ( ) ( ); ( ) ( ) + ( )
+ ∫ ( ) ; ∫ ( ) ; ∫ ( ) khi
+Vì ( ) nên điểm xuất phát vẽ đồ thị ( ) là điểm ( ) giảm xuống đến gần điểm ( ) và đạt cực tiểu tại đó; đồ thị đi lên đến gần điểm ( ) đồng thời đạt cực đại tại đó; đồ thị đi xuống và tiệm cận với đường thẳng .
Hình 3.15. Đồ thị hàm số
- Cách sử dụng từ ngữ: nhiều thuật ngữ toán học được sử dụng như như ―đồ thị hàm số‖, ―cực trị‖, ―nguyên hàm‖, ―xấp xỉ‖, ―nguyên hàm‖, ―diện tích tam giác‖, ―đồng biến‖, ―nghịch biến‖, ―cực tiểu‖, ―trục hoành‖, ―vô cùng‖ cũng như các từ ngữ thông thường với một nghĩa đặc thù trong toán học như ―bảng biến thiên‖, ―nguyên hàm‖, trong cuộc hội thoại trên.
- Phương tiện trung gian trực quan: đồ thị và các ký hiệu toán học.
- Kiểu thủ tục được hình thành và cách sử dụng của SV làm bài toán: khám phá, hành vi, nghi thức.
- Suy luận toán học: Loại suy luận AR/MR và CMR.
Bài 6.
Mục đích:
- Kiểm tra SV về mối liên hệ giữa đồ thị hàm số và đồ thị nguyên hàm.
- Thông qua đồ thị của hàm số, SV nắm được dáng điệu và sự biến thiên giá trị của hàm số nguyên hàm.
- Ghi nhận lại cách SV sử dụng từ ngữ, thủ tục, phương tiện hỗ trợ trực quan, thuyết minh xác nhận thông qua hoạt động nhóm khi tìm đáp án bài 6.
Đối với bài này, SV có thể giải như sau:
Từ giả thiết ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ∫ ( )
Vì ( ) [ ] nên hàm số ( ) tăng từ ( ) ( ) Vậy đáp án là hình vẽ B.
- Cách sử dụng từ ngữ: nhiều thuật ngữ toán học được sử dụng như như ―đồ thị hàm số‖, ―diện tích hình phẳng‖, ―nguyên hàm‖, ―tăng‖, ―giảm‖, ―tam giác‖,
―đồng biến‖, ―hình chữ nhật‖ cũng như các từ ngữ thông thường với một nghĩa đặc thù trong toán học như ―nguyên hàm‖, ―đồ thị hàm số‖. Quá trình đối tượng hóa, tức quá trình chuyển từ ngôn từ chỉ các hành động và quá trình sang ngôn từ chỉ đối tượng toán học, được thể hiện qua một số câu như: ― ( ) ( ) chính là
∫ ( ) , đó cũng là phần diện tích trên hình vẽ‖, ―Phần diện tích này chia ra hai khoảng là tam giác và hình chữ nhật‖.
- Kiểu thủ tục được hình thành và cách sử dụng của SV làm bài toán: khám phá, hành vi, nghi thức.
- Suy luận toán học: Loại suy luận AR/MR và CMR.