2.2. Rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp cho học sinh
2.2.1. Giải toán về tỉ số phần trăm
Trong chương trình Toán 5, nội dung giải toán về tỉ số phần trăm gồm có:
- Bài toán tìm tỉ số phần trăm của hai số.
- Bài toán tìm một số phần trăm của một số.
- Bài toán tìm một số biết một số phần trăm của nó.
Sau khi học sinh được làm quen với các khái niệm về tỉ số, tỉ số phần trăm, các em có cơ sở để giải các bài toán về tỉ số phần trăm, đó là các dạng bài toán nêu trên. Tỉ số phần trăm là một kiến thức mới mẻ so với các lớp học dưới, mang tính trừu tượng cao.
Mảng kiến thức về giải toán về tỉ số phần trăm là dạng toán khó, trừu tượng, đa dạng và chương trình rộng. Dạy học về giải toán về tỉ số phần trăm không chỉ củng cố các kiến thức toán học liên quan mà giúp các em gắn học với hành, gắn nhà trường với thực tế lao động và sản xuất của xã hội. Qua việc học các bài toán về tỉ số phần trăm học sinh sẽ được vận dụng vào việc tính toán thực tế như: Tính tỉ số phần trăm các loại học sinh (theo giới tính hoặc học lực,…) trong lớp mình, trong trường, tính tiền vốn, tiền lãi khi mua bán hàng hóa hoặc gửi tiền tiết kiệm; tính sản phẩm làm được theo kế hoạch dự định,… Đối với học sinh Tiểu học, các em đã làm quen với ba dạng toán
cơ bản trong chương trình. Từ việc phân tích vẽ những sơ đồ cụ thể, các em dễ dàng tìm ra cách giải cho bài toán. Ví dụ: bài toán về tìm hai số khi biết tổng và hiệu, tổng và tỉ, hiệu và tỉ giữa hai số,…Nhưng không phải lúc nào ta cũng tóm tắt và vẽ được sơ đồ của bài toán như bài toán về tỉ số phần trăm.
Tuy các em đã biết cách tìm tỉ số phần trăm của hai số song việc áp dụng vào giải toán cũng như vào thực tế tính toán thì vẫn gặp những khó khăn. Yêu cầu đặt ra khi dạy phần giải toán này là học sinh phải nắm được ba dạng toán cơ bản:
+ Tìm tỉ số phần trăm của hai số.
+ Tìm một số phần trăm của một số.
+ Tìm một số khi biết một số phần trăm của nó.
Việc áp dụng phương pháp phân tích - tổng hợp trong giải toán phần này nhằm giúp các em nắm vững ba dạng toán cơ bản này để khi gặp những bài toán mang tính tổng hợp, ẩn thì các em có thể nhìn ra dạng toán, đưa về bài toán cơ bản hay một số bài toán khác có liên quan đến tỉ số phần trăm và giải được.
Dạng 1: Tìm tỉ số phần trăm của hai số:
Đây là dạng toán cơ bản, làm cơ sở cho các dạng toán về tỉ số phần trăm.
Để giải các bài tập về dạng toán này, học sinh vận dụng kiến thức về tỉ số đã học ở lớp 4 (là thương của phép chia thứ nhất cho số thứ hai) và kiến thức về tỉ số phần trăm mới học để giải bài toán. Học sinh sử dụng thao tác tư duy phân tích tổng hợp để phân tích làm yêu cầu của để bài, tường minh cái đã cho và đưa ra đường lối giải cho bài toán. Đồng thời tổng hợp lại bài toán qua cách trình bày lời giải cũng như khắc sâu được cách giải của dạng toán tổng quát.
Bài toán 1 (bài 3/75): Một lớp học có 25 học sinh, trong đó có 13 học sinh nữ. Hỏi số học sinh nữ chiếm bao nhiêu phần trăm số học sinh của lớp học đó?
Bài toán này là bài toán đơn giản, vấn đề ở đây là phải giúp các em làm rõ yêu cầu của đề bài: Số học sinh nữ chiếm bao nhiêu phần trăm số học sinh của lớp học đó ?. Đó chính là tìm tỉ số phần trăm của số học sinh nữ và số học sinh cả lớp. Khi đi vào giải toán học sinh sẽ lúng túng khi không hiểu yêu cầu này của đề bài.
Giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích đề toán:
+ Bài toán yêu cầu tìm gì ? (số học sinh nữ chiếm bao nhiêu phần trăm số học sinh của lớp học đó)
+ Em hiểu yêu cầu của đề bài như thế nào ? (Nếu số học sinh cả lớp được chia thành 100 phần bằng nhau thì số học sinh nữ chiếm bao nhiều phần)
+ Tìm số học sinh nữ chiếm bao nhiêu phần trăm số học sinh của lớp học đó nghĩa là ta tìm gì ? (ta lập tỉ số của số học sinh nữ và số học sinh của cả lớp)
+ Bài toán cho gì ? (lớp có 25 học sinh, số học sinh nữ là 13) Hướng dẫn các em tóm tắt đề toán:
Lớp có: 25 học sinh Lớp có: 25 học sinh
Nữ có :13 học sinh (hoặc) Nữ có: 13 học sinh Nữ chiếm……% ? Tỉ số:
lớp Cả
Nữ = ….%
Hai cách tóm tắt đều ngắn gọn, nhưng khi nhìn vào cách tóm tắt thứ hai học sinh dễ dàng thấy ngay hướng giải quyết của bài toán là tỉ số giữa số học sinh nữ với số học sinh cả lớp rồi viết tỉ số đó dưới dạng tỉ số phần trăm. Đây chính là yêu cầu phải đạt được khi giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích đề toán và tóm tắt đề toán sao cho bài toán trở nên đơn giản, học sinh dễ tìm thấy cách giải quyết và đã đưa bài toán về đúng dạng của nó.
Từ việc phân tích trên, khi học sinh đã nắm được bản chất của bài toán, khắc sâu kiến thức về tỉ số phần trăm, kiến thức khi giải toán về dạng toán
này, giáo viên sẽ hướng dẫn các em cách tổng hợp bài toán (tức là bài giải và cách trình bày) như sau:
Tỉ số phần trăm học sinh nữ so với học sinh cả lớp là:
13 : 25 = 0,52 0,52 = 52 %
Đáp số: 52 %
Bài toán 2 (bài 2/76): Theo kế hoạch, năm vừa qua thôn Hòa An phải trồng 20 ha ngô. Đến hết tháng 9 thôn Hòa An trồng được 18 ha và hết năm trồng được 23,5 ha ngô. Hỏi:
a. Đến hết tháng 9 thôn Hòa An đã thực hiện được bao nhiêu phần trăm kế hoạch cả năm.
b. Đến hết năm thôn Hòa An đã thực hiện được bao nhiêu phần trăm và vượt mức kế hoạch cả năm bao nhiêu phần trăm.
Tương tự bài trên, để giúp cho học sinh nắm được bản chất của bài toán cũng như hướng giải bài này. Giáo viên giúp các em tư duy thông qua hệ thống câu hỏi để phân tích bài toán như sau:
+ Bài toán yêu cầu ta tìm gì ? (tỉ số phần trăm số ha thôn Hòa An đã thực hiện đến hết tháng 9 so với số ha kế hoạch cả năm và tỉ số phần trăm số ha thôn Hòa An đã thực hiện đến hết năm so với kế hoạch cả năm, vượt mức kế hoạch bao nhiêu phần trăm)
+ Bài toán cho gì ? (số ha ngô theo kế hoạch thực hiện là 20 ha, số ha ngô thôn Hòa An thực hiên đến hết tháng 9 là 18 ha, số ha ngô thôn Hòa An đã thực hiện hết năm là 23,5 ha)
+ Muốn tìm tỉ số phần trăm số ha thôn Hòa An đã thực hiện đến hết tháng 9 so với số ha kế hoạch cả năm ta làm như thế nào ? (ta lấy 18 : 20 x 100 = 0,9 = 90 %)
+ Tương tự muốn biết đến hết năm thôn Hòa An đã thực hiện được bao nhiêu phần trăm ta làm như thế nào ? (tức là đến hết năm thôn Hòa An đã
thực hiện được bao nhiêu phần trăm so với kế hoạch: ta lấy 23,5 : 20 x 100 = 1,175 = 117,5 %)
+ Kế hoạch thực hiện đến hết năm của thôn Hòa An tương ứng với bao nhiêu phần trăm ? (100%)
+ Vậy vượt mức kế hoạch cả năm bao nhiêu phần trăm ? (Ta xem số ha ngô kế hoạch đến hết năm thực hiện là 100 % và số ha ngô đã thực hiện là 117,5 %. Vậy vượt mức là: 117,5% - 100% = 17,5%, tức lấy số phần đã thực hiện được trừ đi số phần trăm kế hoạch đề ra)
Tổng hợp: Ta đi ngược lại của quá trình phân tích (giải các bài toán đơn trên) sẽ được bài giải cho bài toán và cách trình bày sau:
a. Tỉ số phần trăm ha ngô đến hết tháng 9 thôn Hòa An đã thực hiện so với kế hoạch cả năm là:
18 : 20 = 0,9 0,9 = 90 %
b. Số phần trăm ha ngô đến hết năm thôn Hòa An đã thực hiện là:
23,5 : 20 = 1,175 1,175 = 117,5 %
Số phần trăm đến hết năm thôn Hòa An đã thực hiện vượt mức so với kế hoạch là:
117,5 – 100 = 17,5 %
Đáp số: a. 90%; b. 117,5%, 17,5%
Với dạng toán tìm tỉ số phần trăm của hai số, việc giúp các em áp dụng cách tính vào trong một bài toán đóng vai trò rất quan trọng. Để áp dụng đúng cách tính và nhận dạng được dạng toán thì việc phân tích tổng hợp đề toán đóng vai trò quan trọng. Và điều quan trọng ở đây là sau khi hướng dẫn các em phân tích chi tiết bài toán để tìm hướng giải thì ngoài việc tổng hợp lại cách giải của bài toán mà còn phải khắc sâu cho các em cách giải, cách trình bày và lập luận cho dạng toán này. Đặc biệt các em phải nắm vững cách tìm tỉ số phần trăm của hai số:
Muốn tìm tỉ số phần trăm của hai số ta làm như sau:
+ Tìm thương của hai số.
+ Nhân thương đó với 100 rồi viết thêm kí hiệu % vào phía bên phải tích tìm được.
Dạng 2: Tìm một số phần trăm của một số.
Dạng toán này dựa trên kiến thức đã thu được khi giải các bài tập ở dạng toán 1. Đây là dạng toán tìm số, một số phần trăm của một số.
Bài toán 1 (bài 1/77):
a. Tìm 15 % của 320 kg.
b. Tìm 24 % của 235 m2 c. Tìm 0,4 % của 350
Phân tích: Tiến hành phân tích bài toán như sau:
+ Từ yêu cầu của bài toán, hãy cho biết đây là dạng toán gì ? (tìm một số phần trăm của một số)
+ Bài toán yêu cầu ta làm gì ?
a. Tìm một số khi biết số đó là 15 % của 320 kg.
b. Tìm một số khi biết số đó là 24 % của 235 m2. c. Tìm một số khi biết số đó là 0,4 % của 350.
+ Muốn tìm một số phần trăm của một số theo dữ kiện bài toán đã cho ta làm như thế nào ?
a. Ta lấy 320 : 100 x 15 hoặc 320 x 15 : 100 b. Ta lấy 235 : 100 x 24 hoặc 235 x 24 : 100 c. Ta lấy 350 : 100 x 0,4 hoặc 350 x 0,4 : 100
+ Nhận xét gì về dữ kiện đã cho của ba câu a, b. c ? (Chúng khác nhau ở đơn vị của các số)
Giáo viên lưu ý khi trình bày, số tìm được phải có đơn vị đó tương ứng đã cho.
Sau khi phân tích và đi được đến hướng giải của bài toán, yêu cầu học sinh tổng hợp lại, tư duy ngược lại quá trình phân tích để trình bày bài toán và rút ra cách giải đúng, hay và ngắn gọn cũng như mẹo làm nhanh cho bản thân.
Cách trình bày:
a. 320 : 100 x 15 = 48 kg (hoặc 320 x 15 : 100 = 48 kg) b. 235 : 100 x 24 = 56,4 m2 (hoặc 235 x 24 : 100 = 56,4 m2) c. 350 : 100 x 0,4 = 1,4 (hoặc 350 x 0,4 : 100 = 1,4)
Bài toán 2 (bài 3/77): Một xưởng may đã dùng hết 345m vải để may quần áo, trong đó số vải may quần chiếm 40%. Hỏi số vải may áo là bao nhiêu mét ?
Cũng dạng toán này nhưng khi áp dụng vào giải bài toán cụ thể sẽ xuất hiện các tình huống toán học và công việc phân tích giúp các em gỡ rối và đưa bài toán trở thành dạng toán đã học để giải một cách dễ dàng hơn. Đặc biệt học sinh sẽ tìm ra nhiều cách giải hay cho bài toán để tìm ra cách giải ngắn gọn nhất, đúng nhất.
Tiến hành hướng dẫn học sinh phân tích bài toán như sau:
+ Bài toán yêu cầu ta làm gì ? (Tìm số mét vải dùng may áo)
+ Bài toán cho ta biết gì ? (số mét vải đã dùng may quần áo là: 345m, số vải may quần chiếm 40 %)
+ Số vải may quần chiếm 40% nói lên điều gì ? (Tức là tống số vải mà xưởng may dùng để may áo và may quần được chia làm 100 phần bằng nhau thì số vải may quần chiếm 40 phần)
Ta có sơ đồ: Số vải may quần/ Tống số vải may áo quần =
100 40 =
345 mét)
?(
...
Việc phân tích này giúp học sinh hiểu được con số 40%.
+ Muốn tìm số mét vải dùng để may áo ta làm như thế nào ? Tóm tắt bài toán:
Tống số vải dùng: 345 m vải
May quần chiếm: 40%
May áo: …mét vải ?
Để giúp các em tư duy tìm hướng giải cho bài toán, ta sẽ cho các em suy nghĩ và đưa ra ý tưởng dựa trên phần tóm tắt và phân tích ở trên.
Bài toán này sẽ có các hướng giải như sau:
+ Hướng 1: Muốn tìm số mét vải dùng để may áo ta tìm số mét vải đã dùng để may quần, sau đó lấy tổng số vải đã dùng trừ đi số vải đã may quần ta được số vải may áo. Để tìm số mét vải dùng may quần ta áp dụng cách tìm một số phần trăm của một số (vì đề bài cho số vải dùng may quần chiếm 40%).
+ Hướng 2: Vì bài toán cho số vải dùng may quần chiếm 40% nên ta có thể tìm số mét vải may áo thông qua cách tìm một số phần trăm của một số.
Ta có tổng số vải đã dùng là 100%, số vải may quần chiếm 40% vậy số vải may áo sẽ chiếm 100% - 40% = 60%, lúc này ta chỉ cần áp dụng cách tìm một số phần trăm của một số để tìm đáp số cho bài toán. Tức là ta đã đưa về đúng dạng toán đã học.
Học sinh sẽ tự tổng hợp và trình bày bài toán theo cách của mình:
Cách 1 (theo hướng 1):
Số mét vải may quần là:
345 x 40 : 100 = 138 (m) Số mét vải may áo là:
345 – 138 = 207 (m)
Đáp số: 207m
Cách 2 (theo hướng 2):
Số phần trăm chỉ số vải may áo là:
100 – 40 = 60 %
Số mét vải may áo là:
345 x 60 : 100 = 207 (m)
Đáp số: 207m
Như vậy việc phân tích - tổng hợp giúp các em tìm hiểu kĩ đề toán, nắm được yêu cầu của bài toán cũng như ý nghĩa của các dữ kiện bài cho. Nó không những giúp các em tìm ra cách giải của bài toán mà còn giúp các em tìm ra nhiều cách giải hay, sáng tạo.
Sau khi phân tích dạng toán này, học sinh sẽ nắm vững và sử dụng thành thạo cách giải dạng toán. Tuy nhiên đay là dạng toán không có cách giải tổng quát, cách giải của dạng toán này dựa vào bài toán mẫu sách giáo khoa. Khi tiến hành phân tích bài toán giúp học sinh nắm bản chất của bài toán chính là giúp các em nắm cách tính cho dạng toán tránh rập khuôn theo mẫu mà các em giải toán trên cơ sở tư duy đưa bài toán về dạng đã học.
Dạng 3: Tìm một số khi biết một số phần trăm của nó.
Cũng như dạng toán tìm một số phần trăm của một số, đây là dạng toán không có qui tắc cho cách giải tổng quát. Các em tiến hành nắm dạng toán và cách giải dựa vào mẫu. Tuy nhiên, khi đi vào các bài toán cụ thể trong các tình huống, trường hợp khác nhau, học sinh không tránh khỏi sự lúng túng.
Chính vì vậy, học sinh phải nắm được bản chất của dạng toán, của bài toán thông qua quá trình phân tích – tổng hợp bài toán chớ không phải rập khuôn theo mẫu một cách máy móc. Trên cơ sở bài toán mẫu, giáo viên tiến hành hướng dẫn học sinh giải toán với mục đích cao nhất là không chỉ học sinh giải được bài toán mà học sinh phải nắm được bản chất của bài toán, biết dạng toán mình đang giải.
Bài toán 1 (bài 3a/79): Tìm một số biết 30% của nó là 72.
Phân tích:
+ Bài toán yêu cầu gì ? (tìm một số)
+ Bài toán cho gì ? (một số phần trăm của nó: 30% của của số đó là 72)
+ Để tìm một số khi biết một số phần trăm của nó ta làm như thế nào?
Ta có: 30% của số đó là 72, vậy 1% của số đó là: 72 : 30 = 2,4 Suy ra: 100% của số đó sẽ là: 2,4 x 100 = 240, tức là số cần tìm.
Vậy: số có 30% của nó là 72 là số 240.
Tổng hợp: ta có cách giải cho dạng toán tìm một số khi biết một số phần trăm của nó như sau: một số phần trăm của nó chia cho số phần trăm rồi nhân thương với 100 ta sẽ tìm được số đó.
Cách trình bày:
72 : 30 x 100 = 240
Bài toán 2 (bài 2/78): Kiểm tra sản phẩm của một xưởng may, người ta thấy có 732 sản phẩm đạt chuẩn, chiếm 91,5% tổng số sản phẩm. Tính tổng số sản phẩm.
Hướng dẫn học sinh phân tích bài toán:
+ Bài toán hỏi gì ? (tổng số sản phẩm của xưởng may)
+ Bài toán cho biết gì ? (sản phẩm đạt chuẩn là 732 sản phẩm chiếm 91,5%)
+ Phân tích: Sản phẩm đạt chuẩn là 732 sản phẩm chiếm 91,5% em hiểu như thế nào ? (tức là ta có 91,5% của tổng sản phẩm bằng 732 sản phẩm) + Bài toán yêu cầu tìm tống số sản phẩm tức là tìm cả số sản phẩm đạt chuẩn và số sản phẩm không đạt chuẩn.
+ Tổng số sản phẩm của xưởng may chiếm bao nhiêu phần trăm ? (100%)
Sơ dồ minh họa:
Sản phẩm đạt chuẩn = 91,5% = 732
Tống số sản phẩm = 100% = …sản phẩm ?
Hướng dẫn học sinh tóm tắt đề toán (đây là khâu quan trọng bởi nếu không tóm tắt được bài toán , tức là không nắm bản chất cũng như dạng toán đồng thời không giải được bài toán)
Bài toán có thể tóm tắt như sau:
Sản phẩm đạt chuẩn: 91,5% : 732 sản phẩm Tổng số sản phẩm: 1005 : … sản phẩm ?