2.2. Rèn luyện khả năng phân tích, tổng hợp cho học sinh
2.2.2. Giải toán về chuyển động đều
Bài toán toán chuyển động đều là một trong những dạng toán quan trọng trong quá trình dạy học giải toán trong chương trình môn Toán ở Tiểu học nói chung và chương trình toán lớp 5 nói riêng. Nội dung giải toán về chuyển động đều gồm có:
- Tính vận tốc.
- Tính quãng đường.
- Tìm thời gian hoặc xác định thời điểm đến.
Trong chương trình Toán lớp 5 những bài toán về chuyển động đều chiếm một số lượng tương đối lớn. Đây là dạng toán tương đối khó đối với học sinh. Học tốt dạng toán này giúp học sinh rèn kĩ năng đổi đơn vị đo thời gian, kĩ năng tính toán, khả năng phân tích tổng hợp, óc quan sát, trí tượng tượng tạo điều kiện phát triển óc sáng tạo.
Để bổ trợ cho giải toán học sinh được học cung cấp hệ thống các công thức về tính vận tốc, thời gian, quãng đường như sau:
- Công thức tính vận tốc của một chuyển động:
“Muốn tính vận tốc ta lấy quãng đường chia cho thời gian”
v = s : t
(vận tốc là v, quãng đường là s, thời gian là t) - Công thức tính quãng đường của một chuyển động:
“Muốn tính quãng đường ta lấy vận tốc nhân với thời gian”
s = v x t
(vận tốc là v, quãng đường là s, thời gian là t) - Công thức tính thời gian của một chuyển động:
“Muốn tính thời gian ta lấy quãng đường chia cho vận tốc”
t = s : v
(vận tốc là v, quãng đường là s, thời gian là t)
- Đồng thời giúp học sinh nắm vững mối quan hệ giữa các đại lượng vận tốc, quãng đường, thời gian:
+ Khi đi cùng vận tốc thì quãng đường tỉ lệ thuận với thời gian (Quãng đường càng dài thì thời gian càng lâu).
+ Khi đi cùng thời gian thì quãng đường tỉ lệ thuận với vận tốc (Quãng đường càng dài thì vận tốc càng lớn)
+ Khi cùng quãng đường thì thời gian tỉ lệ nghịch với vận tốc (Thời gian ngắn thì vận tốc nhanh, thời gian dài thì vận tốc chậm)
- Ngoài ra chương trình Toán 5 còn giới thiệu hai bài toán về chuyển động đều của hai vật chuyển động (hay của hai động tử). Đó là:
+ Hai động tử chuyển động ngược chiều nhau: Trên cùng một quãng đường, hai động tử chuyển động ngược chiều nhau và khởi hành cùng một lúc để gặp nhau thì:
Tổng vận tốc = vận tốc 1 + vận tốc 2
Thời gian gặp nhau = quãng đường : tổng vận tốc Quãng đường = tổng vận tốc x thời gian gặp nhau Tổng vận tốc = quãng đường : thời gian gặp nhau
+ Hai động tử chuyển động cùng chiều: Hai động tử chuyển động cùng chiều trên cùng một quãng đường và khởi hành cùng một lúc để đuổi kịp nhau thì:
Thời gian đuổi kịp = hiệu quãng đường (khoảng cách lúc đầu):
hiệu vận tốc
Hiệu quãng đường (khoảng cách lúc đầu) = thời gian đuổi kịp x hiệu vận tốc
Hiệu vận tốc = hiệu quãng đường (khoảng cách lúc đầu) : thời gian đuổi kịp
+ Hai động tử chuyển động ngược chiều rời xa nhau: Hai động tử khởi hành cùng một lúc từ một địa điểm chạy ngược chiều để rời xa nhau thì:
Khoảng cách rời xa nhau = tổng vận tốc x thời gian Thời gian = khoảng cách rời xa nhau : tổng vận tốc Tổng vận tốc = khoảng cách x thời gian
- Chuyển động trên dòng sông:
Vận tốc thực: Vận tốc tàu khi nước lặng Vận tốc xuôi: Vận tốc tàu khi đi xuôi dòng Vận tốc ngược: Vận tốc tàu khi ngược dòng
Vận tốc xuôi dòng = vận tốc thực + vận tốc dòng nước Vận tốc ngược dòng = vận tốc thực - vận tốc dòng nước
Vận tốc dòng nước = (vận tốc xuôi dòng - vận tốc ngược dòng):2 Dạng 1: Tính vận tốc, quãng đường, thời gian của chuyển động
a. Bài toán áp dụng công thức các yếu tố đề cho đã tường minh.
Đây là dạng toán đơn giản nhất, học sinh dễ dàng vận dụng hệ thống công thức để giải. Tuy nhiên, nhiều học sinh còn lúng túng trong vận dụng công thức, đặc biệt là lưu ý đơn vị thời gian phải tương ứng với đơn vị vận tốc theo yêu cầu. Để giúp các em giải tốt bài toán, việc hướng dẫn các em phân tích – tổng hợp đề toán sẽ khả năng tư duy phát hiện và vận dụng cách tính ngay cho bài toán của mình.
Bài toán 1(bài 1/171)
a. Tìm vận tốc của một ô tô biết ô tô đó đi được 120km trong thời gian 2 giờ 30 phút.
b. Bình đi xe đạp với vận tốc 15 km/giờ từ nhà đến bến xe mất nửa giờ. Hỏi nhà Bình cách bến xe bao nhiêu kilômét ?
c. Một người đi với vận tốc 5 km/giờ và đi được quãng đường 6km.
Hỏi người đó đã đi trong thời gian bao lâu ? Phân tích bài toán:
a. Phân tích:
- Đây là dạng toán gì ? (dạng toán tìm vận tốc)
- Bài toán cho ta biết gì ? (quãng đường và thời gian ô tô đi là 120km và 2 giờ 30 phút)
- Tính vận tốc theo đơn vị nào ? (km/giờ)
- Bài toán này ta sử dụng công thức tính nào ? (Công thức tính vận tốc: v = s : t.
Tổng hợp lại qui trình phân tích trên ta sẽ được cách giải và trình bày bài toán như sau:
Đổi: 2 giờ 30 phút = 2,5 giờ Vận tốc của ô tô là:
120 : 2,5 = 48 (km/giờ) b. Phân tích:
- Bài toán hỏi gì ? (nhà Bình cách bến xe bao nhiêu kilômét)
- Nhà Bình cách bến xe bao nhiêu kilômét tức là quãng đường Bình đã đi xe đạp từ nhà đến bến xe. Vậy đây là dạng toán gì ? (dạng toán tìm quãng đường)
- Bài toán cho biết gì ? (vận tốc đi của Bình là 15 km/giờ và mất thời gian là nửa giờ)
- Nửa giờ tức là bao nhiêu giờ ? (0,5 giờ)
- Để giải bài toán này ta làm như thế nào ? (sử dụng công thức tính quãng đường: S = v x t)
Tổng hợp lại ta được bài giải:
Đổi: nửa giờ = 0,5 giờ Nhà Bình cách bến xe là:
15 x 0,5 = 7,5 (km) c. Phân tích:
- Bài toán cho biết gì ? (một người đi với vận tốc 5 km/giờ và đi được quãng đường 6km)
- Bài toán hỏi gì ? (Hỏi người đó đã đi trong thời gian bao lâu ?) - Đây là dạng toán gì ? (dạng toán tìm thời gian)
- Tính thời gian theo dơn vị nào ? (giờ)
- Để giải bài toán ta áp dụng công thức gì? (t = S : v) Tổng hợp lại ta được bài giải:
Thời gian người đó đi bộ là:
6 : 5 = 1,2 (giờ) = 1 giờ 12 phút
Tổng hợp chung: Đây là các bài toán đơn về chuyển động đều (tìm vận tốc, quãng đường, thời gian của chuyển động). Đối với các dạng toán này, từ việc phân tích đề toán, các dữ liệu đã cho của bài toán, để giải dạng toán này ta áp dụng các qui tắc, kiến thức đã học sau:
+ Muốn tính vận tốc ta lấy quãng đường chia cho thời gian. Gọi vận tốc là v, quãng đường là S, thời gian là t, ta có:
v = s : t
+ Muốn tính quãng đường ta lấy vận tốc nhân với thời gian.
s= v x t
+ Muốn tính thời gian ta lấy quãng đường chia cho vận tốc.
t = s : v
Bài toán 2 (bài 1/141): Tính độ dài quãng đường bằng ki–lô–mét rồi viết vào ô trống:
v 32,5 km/giờ 210 m/phút 36 km/giờ
t 4 giờ 7 phút 40 phút
S ? ? ?
Phân tích:
+ Bài toán yêu cầu ta làm gì ? (tính độ dài quãng đường bằng ki – lô – mét rồi viết vào ô trống)
+ Vậy đây là dạng toán gì ? (Dạng toán số - toán tính quãng đường khi biết vận tốc và thời gian)
+ Bài toán cho ta biết gì ? (bài toán cho biết vận tốc và thời gian) + Áp dụng công thức nào để tính độ dài quãng đường ? (S = v x t)
+ Nhận xét đơn vị tương ứng của vận tốc và thời gian của các cột.
(Đơn vị vận tốc và thời gian tương ứng nhau, lưu ý cột 4 thì đơn vị vận tốc thời gian tương ứng)
+ Trước khi tính ta phải làm gì ? (kiểm tra đơn vị các dữ liệu và qui đổi về đơn vị tính tương ứng)
Tổng hợp ta có cách tính sau:
Cột 1: S = 32,5 x 4 = 130 km Cột 2: S = 210 x 7 = 1470 m
Cột 3: Đổi 40 phút = 2/3 giờ (hoặc 36 km/giờ = 0,6 km/phút) S = 36 x 2/3 = 24 km
Từ kết quả trên ta hoàn thành bảng sau:
v 32,5 km/giờ 210 m/phút 36 km/giờ
t 4 giờ 7 phút 40 phút
S 130 km 1470 m 24 km
Như vậy cũng là dạng toán tính quãng đường (toán số) nhưng hình thức trình bày khác nhau. Nhưng cách tính là hoàn toàn giống nhau, việc phân tích giúp các em tư duy đưa về dạng toán để áp dụng cách tính tương tự. Lưu ý cho các em đơn vị đo của các đại lượng.
Cách giải chung:
- Nắm vững đề bài.
- Xác định công thức áp dụng.
- Lưu ý đơn vị đo.
b. Các bài toán áp dụng công thức có các yếu tố đề cho chưa tường minh.
Bài toán 1(bài 4/140): Một xe máy đi từ 6 giờ 30 phút đến 7 giờ 30 phút được quãng đường 40 km. Tính vận tốc của xe máy ?
Yêu cầu học sinh đọc kĩ đề bài.
Để giải bài toán này ta tiến hành hướng dẫn học sinh phân tích bài toán để tìm hướng giải như sau:
- Bài toán cho biết gì ? (Một xe máy đi từ 6 giờ 30 phút đến 7 giờ 45 phút được quãng đường 40 km)
- Bài toán hỏi gì ? (vận tốc của xe máy)
- Để tính vận tốc của xe máy cần biết các yếu tố nào ? (Quãng đường, thời gian xe máy đi)
- Muốn tính thời gian xe máy đi ta cần biết các yếu tố nào ? (Thời gian xuất phát và thời gian đến nơi của xe máy)
Giúp học sinh nắm rõ quá trình phân tích đề toán bằng sơ đồ sau:
Để tổng hợp cách làm và cách trình bày bài toán ta đi ngược lại của quá trình phân tích ta được sẽ cách làm bài toán theo sơ đồ sau:
Học sinh trình bày bài giải:
Thời gian xe máy đi trên đường là:
7 giờ 45 phút – 6 giờ 30 phút = 1 giờ 15 phút Đổi: 1 giờ 15 phút = 5/4 giờ
Vận tốc của xe máy là:
Vận tốc của xe máy
Quãng đường Thời gian xe máy đi
Thời gian xuất phát Thời gian đến nơi
Thời gian xuất phát Thời gian đến nơi
Thời gian xe máy đi trên đường
Quãng đường
Vận tốc của xe máy
40 : 5/4 = 32 (km/giờ)
Đáp số: 32 km/giờ
Lưu ý học sinh: Khi tính bài toán này, hướng dẫn học sinh cách tính thời gian đi trên đường bằng lấy thời gian đến nơi trừ thời gian xuất phát.
Bài toán 2 (bài 4/166): Một ô tô đi từ Hà Nội lúc 6 giờ 15 phút và đến Hải Phòng lúc 8 giờ 56 phút. Giữa đường ô tô nghỉ 25 phút. Vận tốc của ô tô là 45 km/giờ. Tính quãng đường từ Hà Nội đến Hải Phòng.
Tương tự bài toán 1, sau khi yêu cầu học sinh đọc kĩ đề bài, hướng dẫn học sinh tiến hành phân tích bài toán để tìm cách giải:
+ Bài toán cho biết gì ? (Một ô tô đi từ Hà Nội lúc 6 giờ 15 phút và đến Hải Phòng lúc 8 giờ 56 phút. Giữa đường ô tô nghỉ 25 phút. Vận tốc của ô tô là 45 km/giờ)
+ Bài toán hỏi gì ? (Tính quãng đường từ Hà Nội đến Hải Phòng) + Muốn tính quãng đường từ Hà Nội đến Hải Phòng ta cần biết các yếu tố nào ?( vận tốc và thời gian ô tô đi trên đường)
+ Vận tốc của ô tô là bao nhiêu ? (45km/giờ)
+ Để biết thời gian đi trên đường của ô tô ta cần biết các yếu tố nào ? (Thời gian xuất phát, thời gian đến nơi, thời gian nghỉ)
Sơ đồ phân tích:
Quãng đường Hà Nội – Hải Phòng
Vận tốc ô tô Thời gian đi trên đường
Thời gian
xuất phát Thời gian đến nơi Thời gian nghỉ
Tổng hợp: Đây là dạng toán tính quãng đường nhưng dữ kiện thời gian không tường minh. Đối với dạng toán này ta phải tính thời gian ô tô đã đi rồi mới tính quãng đường ô tô đi.
Từ sơ đồ phân tích ta lập được sơ đồ tổng hợp cách giải như sau:
Trình bày bài giải:
Thời gian ô tô đã đi là:
8 giờ 56 phút – 6 giờ 15 phút + 25 phút = 2 giờ 6 phút Đổi: 2 giờ 16 phút =
15 34 giờ
Quãng đường từ Hà Nội đến Hải Phòng dài:
45 x
15
34= 102 (km)
Đáp số: 102 km
Lưu ý: Nếu xe nghỉ dọc đường thì thời gian đi đường bằng thời gian đến nơi trừ đi thời gian xuất phát và thời gian nghỉ dọc đường.
Sau khi phân tích dạng toán này thông qua phương pháp phân tích – tổng hợp ta được cách giải đối với bài toán chuyển động có một động tử: Đối với bài toán có một động tử tìm vận tốc, quãng đường, thời gian của chuyển động,
Thời gian xuất phát Thời gian đến nơi Thời gian nghỉ
Thời gian đi trên đường Vận tốc ô tô
Quãng đường Hà Nội – Hải Phòng
ngoài việc áp dụng công thức tính, ta phải làm rõ các yếu tố không tường minh mà đề bài toán đã cho làm điều kiện cho việc giải toán. Để làm rõ yếu tố này yêu cầu học sinh phải đọc kĩ đề bài, phân tích dữ liệu.
c. Bài toán dựa vào mối quan hệ giữa quãng đường, vận tốc và thời gian.
Bài toán: Trên quãng đường AB nếu đi xe máy với với vận tốc 36 km/giờ thì hết 3 giờ. Hỏi nếu đi xe đạp với vận tốc 12 km/giờ thì hết bao nhiêu thời gian ?
Phân tích bài toán như sau:
+ Bài toán hỏi gì ? (Thời gian xe đạp đi trên quãng đường AB)
+ Bài toán cho biết gì ? (Trên quãng đường AB, xe máy đi với với vận tốc 36 km/giờ và thời gian đi là 3 giờ, vận tốc của xe đạp là 12 km/giờ)
+ Để tính thời gian xe đạp đi trên quãng đường AB ta cần biết các yếu tố nào ? ( Vận tốc của xe đạp và độ dài quãng đường AB)
+ Vận tốc của xe đạp bằng bao nhiêu ? (12 km/giờ)
+ Quãng đường AB dài bao nhiêu ? (ta lấy vận tốc của xe máy nhân với thời gian đi quãng đường AB)
+ Dựa vào mối quan hệ giữa vận tốc và thời gian khi đi trên cùng một quãng đường. Nếu vận tốc nhanh thì thời gian đi hết ít, ngược lại nếu vận tốc chậm thì thời gian đi hết nhiều. Vận tốc giảm bao nhiêu lần thì thời gian tăng bấy nhiêu lần.
Từ phần phân tích trên, bài toán này sẽ có hai cách giải như sau:
Cách 1: Theo các bước:
+ Tính quãng đường AB.
+ Tính thời gian xe đạp đi hết quãng đường.
Quãng đường AB dài:
36 x 3 = 108 (km)
Thời gian xe đạp đi hết quãng đường AB là:
108 : 12 = 9 (giờ)
Đáp số: 9 giờ
Cách 2: Theo các bước:
+ Tính số lần vận tốc xe máy gấp vận tốc xe đạp.
+ Tính thời gian xe đạp đi hết quãng đường.
Số lần vận tốc xe máy gấp vận tốc xe đạp là:
36 : 12 = 3 (lần)
Thời gian xe đạp đi hết quãng đường AB là:
3 x 3 = 9 (giờ)
Đáp số: 9 giờ Dạng 2: Các bài toán về hai động tử.
a. Bài toán về hai động tử chuyển động ngược chiều gặp nhau:
Bài toán 1 (bài 1b/145): Quãng đường AB dài 276km. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc, một xe đi từ A đến B với vận tốc 42 km/giờ, một xe đi từ B đến A với vận tốc 50 km/giờ. Hỏi kể từ lúc bắt đầu đi, sau mấy giờ hai ô tô gặp nhau ?
Phân tích:
+ Bài toán hỏi gì ? (Hỏi kể từ lúc bắt đầu đi, sau mấy giờ hai ô tô gặp nhau ?)
+ Hai ô tô gặp nhau nghĩa là cả hai ô tô đi hết quãng đường 276km từ hai chiều ngược nhau.
+ Muốn tính thời gian hai ô tô gặp nhau ta làm như thế nào ?
+ Mỗi giờ hai ô tô đi được bao nhiêu ki-lô-mét ? (42 + 50 = 92 km) + Sau mấy giờ hai ô tô gặp nhau ? (276 : 92 = 3 giờ)
Tổng hợp:
Đối với bài toán tính thời gian gặp nhau của hai động tử chuyển động ngược chiều ta lấy quãng đường chia cho tổng vận tốc.
Cách trình bày:
Tổng vận tốc của hai ô tô là:
42 + 50 = 92 (km/giờ) Hai ô tô sẽ gặp nhau sau:
276 : 92 = 3 (giờ) Đáp số: 3 giờ
Bài toán 2 (bài 3/172): Hai ô tô xuất phát từ A và B cùng một lúc và đi ngược chiều nhau, sau 2 giờ chúng gặp nhau. Quãng đường AB dài 180 km.
Tìm vận tốc của mỗi ô tô biết vận tốc ô tô đi từ A bằng
3
2 vận tốc ô tô đi từ B.
Phân tích:
+ Bài toán hỏi gì ? (tìm vận tốc của mỗi ô tô)
+ Bài toán cho biết gì ? (Hai ô tô đi xuất phát từ A và B cùng một lúc, đi ngược chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ, quãng đường AB = 180km, vận tốc ô tô đi từ A bằng
3
2 vận tốc ô tô đi từ B.
+ Muốn tính vận tốc của mỗi ô tô ta phải tính gì trước ? (tính tổng vận tốc của hai ô tô chuyển động ngược chiều)
+ Muốn tính tổng vận tốc của hai ô tô ta thực hiện phép tính gì ? (lấy quãng đường chia cho thời gian đi để gặp nhau)
+ Có tổng vận tốc và dữ kiện vận tốc ô tô đi từ A bằng
3
2vận tốc ô tô đi từ B. Vậy bài toán thuộc dạng toán nào ta đã học ? (dạng toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ của chúng)
Tổng hợp:
Dạng toán chuyển động ngược chiều, tính vận tốc của hai động tử, ta sẽ phân tích và đưa chúng về dạng toán tìm hai số khi biết tổng – tỉ để giải.
Cách trình bày:
Tổng vận tốc của hai ô tô là:
180 : 2 = 90 (km/giờ) Tổng số phần bằng nhau:
2 + 3 = 5 (phần) Vận tốc của ô tô A là:
(90 : 5) x 2 = 36 (km/giờ)
Vận tốc của ô tô B là:
90 – 36 = 54 (km/giờ)
Đáp số: 36 km/giờ; 54 km/giờ b. Bài toán về hai động tử chuyển động cùng chiều đuổi nhau:
Bài toán 1 (bài 3/146): Một xe máy đi từ A lúc 8 giờ 37 phút với vận tốc 36 km/giờ. Đến 11 giờ 7 phút một ô tô cũng đi từ A đuổi theo xe máy với vận tốc 54 km/giờ. Hỏi ô tô đuổi kịp xe máy lúc mấy giờ ?
Phân tích:
+ Bài toán hỏi gì ? (thời gian ô tô đuổi kịp xe máy)
+ Bài toán cho gì ? (Thời gian và vận tốc của ô tô đuổi theo, thời gian và vận tốc đi của xe máy)
+ Bài toán thuộc dạng toán nào ? (Hai động tử chuyển động cùng chiều đuổi nhau)
+ Để biết ô tô đuổi kịp xe máy lúc mấy giờ ta cần biết các yếu tố nào?
(thời gian đuổi kịp và thời điểm ô tô xuất phát)
+ Để tính được thời gian đuổi kịp ta cần các yếu tố nào ? (Hiệu vận tốc, khoảng cách lúc đầu)
+ Muốn tính khoảng cách lúc đầu cần biết gì ? (vận tốc xe máy và thời gian xe máy đi trước)
+ Để tính thời gian đi trước của xe máy ta cần biết yêu tố nào ? (Thời gian xe máy xuất phát và thời gian ô tô xuất phát)
Hướng dẫn học sinh lập sơ đồ phân tích như sau: