Vectơ V Vectơ V cũng có thể được biểu diễn ở đạng ma trận như sau
2.2.2. Phép biến đổi quay đơn
Giả sử khung toạ độ B (ù;, js,k;) đặt ở gốc khung toa độ gốc (x,y,z) và cú
các trục song song với khung toạ độ gốc. Điểm P (P,,Py,P,) trong khung toa gốc và có các toa độ Pp, spy ` p„ trong khung toạ độ B. Khung toạ độ B quay xung
quanh trục x một góc 6; điểm P sẽ quay cùng khung toạ độ B. Trước khi quay, toạ độ của P trong hai khung toạ độ như nhau; sau phép quay, toa độ điểm P trong khung toa dé B giữ nguyên, và toạ độ P trong khung toạ độ gốc sẽ thay đổi (xem hình 2.7).
34
Trên hình 2.8 biếu dién các toạ độ điểm P trong mặt phăng (y, 2z) trước và sau phép quay xung quanh trục x. Toạ độ điểm P trong khung toạ độ gốc sau khi quay 18 Pyns Pym> Pym Từ hình 2.8 nhận được các phương trình sau:
Pu„=ŸP, xm x
Pym =P, cos® —"P, sin® (2-13)
P„=°P,sin9 +”P, cosÔ
Hình 2.7. Toạ độ điểm P trong khung toa độ B trước và sau khi quay.
Phương trình (2-13) viết ở dạng ma
trận:
Pin 1 0 0 *p
Pym |=|0 cos@ —sin@} °P, | (2-14)
Pin 0 sin8 cos@ | ® P,
Từ (2-14) nhận được ma trận biểu diễn phép quay xung quanh trục x như
Pym Ÿ (2-15):
1 0 0 Hình 2.8. Toạ độ điểm P trong khung toạ độ Rot&)=|0 C8 -—$8
gốc và khung toạ độ quay nhìn từ trục quay x. (2-15)
0 §8Œ
trong đú: Cỉ ký hiệu của cosỉ; Sỉ ký hiệu của sin0. Tương tự, ma trận biểu diễn phép quay đơn xung quanh trục y va z:
ce 0 SO C0 -S0 0
Rot (y,6)=} 0 ¡! 0| và RotŒz0)=|S0 C9 0 (2-16)
S0 0 CÔ 0 0 1
35
Phương trình (2-14) có thể viết ở dạng chính tắc biểu thị mối quan hệ giữa các khung toạ độ khác nhau, bằng cách sử dụng các ký hiệu: “Tạ - phép biến đổi biểu diễn khung toạ độ R so với U (universe); ÈP - biểu diễn điểm P trong khung toạ độ R, và Up; - điểm P trong khung toạ độ U:.
Up=UT, 8p (2-17)
Vi dụ 2.4: Điểm P(2,3,4) trong khung toạ độ quay một góc 90” quanh trục x khung toạ độ gốc. Xác định vị trí điểm P sau phép quay so với khung toạ độ gốc và vẽ minh họa.
ô<<
Hình 2.9. Phép quay khung toạ độ so với khung toạ độ gốc. `
Giải: Áp dụng (2-14) có:
P„| [l1 0 0 1P, 10 0112| 12
P„„|=|0 CO 2 ?P,| =|0 0 -Il |3|=|-4 P„ | |0 50 C6J|ằp| |0 1 0||4| |3
Hình 2.9 minh họa các khung toạ độ và điểm P trước và sau khi biến đổi.
2.2.3. Phép biểu diễn kết hợp
Tổng quát, phép biến đổi có thể gồm một số phép biến đổi tịnh tiến và quay so với khung toạ độ cố định hoặc khung toạ độ đang chuyển động. Xét một . phép biến đổi kết hợp ba phép biến đổi đơn so với khung toạ độ gốc theo thứ tự
sau:
(1) Quay xung quanh trục x một géc a.
(2) Tịnh tiến đọc theo các trục lần lượt là a, b, c.
(3) Quay xung quanh trục y một góc j.
36
Một điểm P ở khung toạ độ B quay và tịnh tiến so với khung toạ độ gốc nên toạ độ của P sẽ dịch chuyển. Sau phép quay thứ nhất, toạ độ điểm P biểu diễn so với khung toạ độ gốc bởi phương trình sau:
U,, = Rot(x,a).?U, (2-18)
trong đó: t,,- vectơ biểu diễn điểm P sau phép biến đổi thứ nhất so với khung toạ độ gốc. Sau phép biến đổi thứ hai, toạ độ điểm P biểu thị bằng vectơ:
1p, = Trans(a,b,c)0;, = Trans(a, b,c).Rot(x, œ).” ; (2-19) Tương tự, sau phép biến đổi thứ ba, toạ độ điểm P được biểu diễn so với khung toạ độ chuẩn là:
1, = Rot(y,B)ũ,; = Rot(y,B)Trans(a, b,c).Rot(x,œ).”ữ; (2-20)
Theo (2-18) + (2-20), sau mỗi lần biến đổi, toạ độ điểm P nhận được bằng nhân phía trước ma trận của phép biến đổi. Như vậy trình tự viết ma trận trước vectơ ”1„ là ngược với trình tự của các phép biến đổi. Phép biến đổi kết hợp sẽ được viết ở dạng sau:
T = Rot(y,B)Trans(a,b,c)Rot(x,œ).
Ví dụ 2.5: Một điểm P [7,3,2]Ÿ đặt trong khung toạ độ B. Xác địnE toạ độ điểm P trong khung toạ độ gốc khi dịch chuyển khung toạ độ B bằng các phép biến đổi so với khung toạ độ gốc theo thứ tự sau:
1. Quay xung quanh trục z một góc 90”.
2. Quay xung quanh trục y một góc 90”.
3. Tịnh tiến theo các trục x,y,z tương ứng 4,-3,7 don vi.
Giải
Vectơ biểu diễn điểm P sau ba phép biến đổi trên là:
" Up, = Trans (4,-3,7).Rot(y,90° ).Rot(z,90° ).° Up
100 4 0 01 0l0 -! 0 0]171 |6
_l10 10 -3||10 1001 0 0013| |4
"l0 01 7|1|-I00 0l0 0 1 0|12|1 |10 000 1110 00 1|0 0 0 1||1] |1 Hình 2.10 minh họa thứ tự các phép biến đổi trên.
37
Hình 2.10. Minh họa phép biến đổi ví dụ 2.5:
a- Khung toạ độ ban đầu; c- Sau phép biển đổi thứ hai;
b- Sau phép biển đổi thứ nhất, d- Sau phép biển đổi thứ ba.