robot điển hình
Giả sử một robot có cấu hình đã biết: độ dài các thanh nối và góc quay của các khớp hoặc độ dịch chuyển các khớp tịnh tiến. Bài toán động học thuận là tính toán vị trí và hướng của tay robot tương ứng với cấu hình robot xác định.
Ngược lại, động học ngược sẽ tính toán các góc quay của'các khớp hoặc độ dịch
45
chuyển của khớp tịnh tiến tương ứng với vị trí và hướng của tay robot. Nghĩa là, sẽ tính toán các giá trị biến khớp cần thiết để đặt tay robot ở vị trí và hướng mong muốn. Động học ngược đóng vai trò quan trọng cho điều khiển tay robot theo vị trí và hướng đã đặt trước.
Đối với bài toán động học thuận, sẽ xây dựng hệ phương trình mô tả động học cấu hình robot và sử dụng hệ phương trình này sẽ tính toán được vị trí và hướng của tay robot tương ứng với các biến khớp đã cho.
Để biểu diễn vị trí và hướng của một đối tượng trong không gian, gắn một
khung toạ độ lên đối tượng và mô tả vị trí và hướng khung toạ độ đó trong khung toạ độ gốc. Cần 6 tham số hoặc 6 bậc tự do để mô tả vị trí và hướng của vật thể. Tương tự đối với robot, để xác định vị trí và hướng tay robot, gắn một khung toa độ lên tay robot và tìm phép biến đổi biểu điễn khung toạ độ tay
trong khung toạ độ gốc. Từ đó sẽ xây
dựng được hệ phương trình động học Z n
thuận biểu diễn quan hệ giữa vị trí và hướng của tay so với các biến khớp.
Hinh 2.14 minh hoạ các khung toạ độ tay, khung toạ độ gốc. Phần nối giữa 2 khung toạ độ phụ thuộc vào cấu hình robot.
Trong mục này sẽ phân tích riêng biệt các phương trình mô tả vị trí và
phương trình mô tả hướng, sau đó sẽ X
kết hợp các phương trình đó thành Hình 2.14. Khung toa dé tay trong khung
một hệ phương trình. toạ độ chuẩn.
ĐịỊ
2.1.5. Phương trình động học vị trí thuận và ngược biểu diễn vị trí
Vị trí gốc khung toạ độ gắn lên vật thể có ba bậc tự do, do đó có thể sử dụng ba thông tin để xác định vị trí của vật thể đó. Bốn cấu hình ?!ến hình của
robot là: ch
- Toa dé Decac;
- Toạ độ hình trụ;
- Toa độ hình cầu;
- Toạ độ khớp nối.
46
1. Cấu hình toạ độ Decac:
Ở robot cấu hình toạ độ Đecac, tay robot có thể chuyển động tịnh tiến
theo ba trục x, y, z (hình 2.15). Tất cả các cơ cấu chấp hành là cơ cấu tịnh tiến; ví dụ Robot IM7565, và cơ cấu
robot toạ độ ĐÐecac không có chuyển động quay, ma trận biểu diễn chuyển động của điểm P là ma trận biến đổi tịnh tiến. Do đó ma trận biến đổi biểu
thị phương trình động học thuận của Hình 2.15. Cơ cấu toạ độ Đecac.
vị trí tay robot trong hệ toạ độ Đecac có đạng:
100 P,
Tox="Ty=]5 ọ : 5 › (2-24)
000 1
Ví dụ 2.10:
Tính toán các chuyển động trong toạ độ Đecac cần thiết để vị trí mong muốn của gốc khung toạ độ trong robot Đecac ở điểm PỊ3,4 7
Giai:
Sử dụng (2-24), phương trình động học thuận mô tả *T:, với điểm P là: 100 p,] [1 00 3
rp _/9 1 0 py|_|0 1 0 4 .
"10 01p,| |0017 : a=a
000 1] |0001
2. Cơ cấu toạ độ trụ Cơ cấu toạ độ trụ gồm hai chuyển động tịnh tiến và một chuyển động quay theo trình tự: tịnh tiến một đoạn r theo trục X, quay một góc œ xung quanh trục z và tịnh tiến một đoạn l„
theo trục z (hình 2.16). Tất cả các phép “x biển đổi thực hiện so với khung toạ độ chuẩn, do đó phép biến đổi biểu diễn Hình 2.16. Cơ cấu toạ độ trụ.
47
gốc của khung toạ độ tay trong khung toạ độ chuẩn được tính như sau:
ẰT;,= Tr„= Trans(0,0,1,). Rot(z, œ). Trans (r,0,0) (2-25a)
1 0 0 OfCa -Sa 0 OF 1 0 0 rj} [Ca -Sa 0 rCa
0 1 0 OFS C 0 6/0 1 0 0 S C 0 rS
Rr, = a Coa _|Sa Cơ rSœ (2-25b)
0 0 1 L0 0 1 070 01 0 0 0 1 z
000 1] 0 0 0 170 00 1 0 0 0 1
Ba cột đầu của ma trận (2-25b) biểu diễn hướng của khung toạ độ tay robot. luy nhiên, trong mục này chỉ quan tâm đến vị trí gốc của khung toạ độ tay, biểu diễn bằng cột thứ tư. Khi đó khung toạ độ sẽ có các trục song song với các trục của khung toa độ chuẩn và vị trí gốc khung toạ độ được xác định bằng cột thứ tư. Khung toạ độ đó nhận được bằng quay xung quanh trục ã một góc -œ được biểu diễn bằng ma trận:
Ca -Sa 0 rCœ]ẽ C(-a) -S(-a) 0 0 1 0 0 rCa RT _ Sa Ca 0 rSœơilS(G-oœ) C(-a) 0 0 _ 0 ! 0 rSơ (2-25c)
0 01 1 0 0 I 0Ị |0 0 1 4
0 00 1 0 0 0 1 000 1
Ví d„ 2.II: Tính toán các biến khớp của robot cơ cấu trụ để đặt vị trí của khung toa d6 tay ở vị trí [3,4,7]P
Giải: Sử dụng (2-25b) các thành phần của vectơ vị trí của khung toạ độ tay được tính như sau:
L, = 7; rCa = 3; rSa = 4;
Suy ra tga = 4/3 va a = 53,1°:
Từ đó tính được r = 5;
Vậy L=7;r=5;a=53,1°
4. Cơ cấu toạ độ cầu
Cơ cấu toạ độ cầu gồm một chuyển động tịnh tiến và hai chuyên động quay theo trình tự: tịnh tiến theo trục z một đoạn r, quay xung quanh trục y một góc B và quay xung quanh trục z một góc y (hình 2.17). Các phép biến đổi thực hiện so với khung toạ độ gốc. Do đó ma trận biểu diễn phép biến đổi kết hợp có dạng:
*Ti = Rot(z,y). Rot(y,B).Trans(0,0,r) (2-26a)
48
Cy -Ca Sy Sa
00 00
0[CB 0 SB 0
0J 0 0 0
Ta =RT cầu H = 0 0
1 1
~ SB 0
o-_ Oo & Q TR oo co S® CC & on Oo SO —"
0 l 0 0 0
CB.Cy -Sy SBCy rSÐ.Cy CB.Sy Cy * . rSB.Sy
T, = cau 0 0 rp (2 26b) -
0 0
Tương tự, như cơ cấu hình trụ, ba cột đầu của ma trận (2-2ób) mô tả hướng của khung toa độ tay; cột thứ tư
biểu diễn vị trí của gốc khung toạ độ. _
Nhu vậy ma trận biểu diễn vị trí của p 0
khung toa độ tay sẽ có dạng:
1 0 0 rSBCy Py
0 rSBW%|_ OB. _„... (2-26c) - _.~ằ‹... _ a
0 1 X
Hình 2.17. Cơ cấu toạ độ cầu.
N rp II ĐỊ
“S|
0 | Toa = cau 0 0
0 0
Ví dụ 2.12: Xác định các biến khớp để có thể đặt gốc của tay robot cầu ở vị trí [3,4,7]F.
Giải: Áp dụng ma trận (2-26c) có:
r.SB.Cy = 3;
r.SB.Sy = 4;
rCP =7.
Từ phương trình thứ ba, thấy rằng CB> 0 sử dụng phương trình đầu nhận được:
tgy=4/3 Nếu SB > 0 có: y = 53,1; Sy = 0,8; Cy = 0,6; r.SB = 3/ 0,6 = 5; r.CB = 7
=> B = 35,5°.
Nếu SB < 0 có: y = 233,1” Sy = - 0,8; Cy = - 0,6; r.SB = - 3/ 0,6 = - 5;
r.CpB=7=> B = - 35,5° var = 8,6.
49
2.5.2. Phương trình động học thuận và ngược biêu diên hướng 1. Géc Roll, Pitch, Yaw (RPY)
Định hướng tay robot bằng ba phép quay Xung quanh các trục hiện tại a,o,n của khung toạ độ định hướng tay robot. Nếu giả thiết, khung toa độ hiện tại của tay robot song song với khung toạ độ chuẩn, hướng của khung toa độ tay robot và khung toạ độ chuẩn sẽ như nhau trước khi tay robot chuyển động. Nếu ban đầu khung toa độ tay robot không song song với khung toạ độ chuẩn, định hướng cuối cùng của tay robot sẽ là kết hợp phép biến đổi định hướng ban đầu với phép biến đổi định hướng RPY bằng nhân phía sau phép biến đổi ban đầu với phép biến đổi RPY.
Trong trường hợp định hướng tay robot, tay robot đã được đặt ở vị trí cố định, phép biến đổi quay RPY sẽ được biểu diễn tương đối so với khung toạ độ hiện tại của tay robot.
Hình 2.18. Phép biển đổi quay RPY.
Phép biến đổi quay RPY được mô tả trên hình 2.18 gồm các phép quay sau:
® Quay xung quanh trục ã (trục z của khung toạ độ tay robot) một góc 6 - phép Roll.
_ © Quay xung quanh trục 6 (trục y của khung toạ độ tay robot) một góc Ô - phép Pitch.
* phộp Yaw. đ Quay xung quanh trục ủ (trục x của khung toạ độ tay robto) một gúc y -
*Ma trận biểu diễn phép biến đổi RPY có dạng:
RPYQ,9,W) = Rot(z,)).Rot(y,6). Rot(x,ự) (2-27a)
30
CộC0 Có.S0.Sự—SjCự Cộ.S9C+SÿSự 0 S¿CÔ Sj.S0Sự+CộCự S¿.S9CựT-CộSự 0 RPY(6,0,y) = (È.98.)=| _ so cosy - C9.Cự 0
0 0 0
Ma trận biểu diễn vị trí và hướng của tay robot trong hệ toạ độ gốc sẽ là
(2-27b)
tích của ma trận biểu diễn phép tịnh tiến và quay RPY: