Dịch chuyển vi sai là những chuyển động nhỏ của các bộ phận của robot.
Dịch chuyển vi sai được sử dụng để xây dựng mới quan hệ tốc độ giữa các bộ
phận chuyển động khác nhau của robot.
Trong chương này sẽ trình bày các dịch chuyển vi sai của các khung toa độ tương đối so với khung toạ độ gốc, quan hệ dịch chuyển vi sai giữa các bộ phận của robot, ma trận Jacobien và quan hệ tốc độ của tay và các khớp robot.
3.1. Dịch chuyển vi sai của một khung toạ độ
Xét một khung toạ độ dịch chuyển nhỏ so với khung toạ độ chuẩn với hai trường hợp: không xét và có xét đến cơ cấu gây ra chuyển động. Khi không xét đến cơ cấu gây chuyển động, mục này sẽ trình bày dịch chuyển nhỏ của khung toạ độ tay và sự thay đổi của ma trận biểu diễn khung toạ độ tay (hình 3.1a).
Trong trường hợp thứ hai, sẽ nghiên cứu dịch chuyển vi sai của cơ cấu đã gây ra chuyển động và tìm mối quan hệ với dịch chuyển của khung toạ độ tay. Hình 3.1b minh họa chuyển động vi sai của khung toạ độ tay robot gây bởi các chuyển động vi sai của mỗi khớp robot. Khi nghiên cứu dịch chuyển nhỏ cần
Hình 3.1. Dịch chuyển nhỏ của khung toạ độ tay robot:
a- Dịch chuyển nhỏ của khung toạ độ tay không xét đến cơ cấu chuyển động khớp;
b- Dịch chuyển của khung toạ độ tay liên hệ với dịch chuyển của khớp robot.
76
phải gắn chuyển động của robot với chuyển động của khung toạ độ tay robot, vì các khớp robot dịch chuyển những lượng nhỏ sẽ gây ra dịch chuyển nhỏ của tay robot cùng với khung toa độ tay, ví dụ, một robot hàn hai vật với nhau chuyển động với tốc độ không đổi.
Chuyển động vi sai của một khung toạ độ có thể gồm các dịch chuyển tịnh tiến vi sai, quay vi sai và phép biến đổi vi sai (gồm tịnh tiến và quay).
3.1.1. Phép tịnh tiến vi sai
Phép tịnh tiến vi sai là tịnh tiến một khung toạ độ các lượng nhỏ, được biểu diễn bằng phép biến đổi:
1 0 0 dx 0 1 0 dy T rans (dx, dy, dz) dx, dy, dz) = 0 0 1 dz
000 1
3.1.2. Phép quay vi sai
Xét các phép quay xung quanh các trục x, y, z tương ứng một góc rất nhỏ 5x, dy, 5z. Do 8x, dy, 5z là các lượng rất nho nén cé6 thé coi sindx ~ 6x, cosdx ~
1. Phép biến đổi quay xung quanh các trục x, y, z với các góc rất nhỏ sẽ viết ở đạng sau:
10 0-0 1 0 ay 0
0 1 -ôx 0 0 10 0
Rot(x, 5x) = ot 3x)=]Q 5 gg ;Rot(y, dy) = PRUHOV=|_5 9 1 0
00 01 0001
1 -8z 0 0
socsa e|2 1° Of. an
ot(z, 6z) = 0 1 0Í
0 0 01
Nếu bỏ qua các tích vo cing bé: (8°x, 5x.dy, ...), dễ dàng nhận thấy rằng tích của ba phép biến đổi trên theo thứ tự bất kỳ là như nhau. Điều đó có nghĩa là nếu thực hiện ba phép biến đổi (3-1) theo thứ tự bất kỳ sẽ nhận được cùng kết
quả và bằng:
77
1 -8z sy 0
. _ 6z | -ôx 0 3-2
Rot(x,ôx).Rot(y,ôy).Rot(z, ðz) -dy & 1 0 0 0 0 1 c2
3.1.3. Phép quay vi sai xung quanh vectơ k tổng quát Với kết quả (3-2), có thể coi phép quay vi sai xung quanh vectơ k tổng quất sẽ gồm ba phép quay đơn theo các trục của hệ toạ độ theo thứ tự bất kỳ với các góc quay vi sai õx, dy, 6z. Do dé phép quay xung quanh vecto k mét géc vi sai được biểu diễn ở dang:
l -ðz ðy 0
= ỗ 1 -6&x 0
Rot(k, d®) = Rot(x, 5x).Rot(y, 5y).Rot(z, 6z) = 2 ~dy 8x i x 0 (3-3)
0 0 0 |
3.1.4. Phép biến đổi vi sai của một khung toa độ Phép biến đổi vi sai của một khung toạ độ là sự kết hợp một phép tịnh tiến vi Sai và một phép quay vi sai tổng quát:
Trans (dx, dy, dz). Rot (k, d6) Xét một khung toạ độ T và đT là dịch chuyển vị sai của khung toa do T.
Khi đó khung toạ độ T sau phép dịch chuyển vi sai so với khung toạ độ gốc sẽ ở vị trí mới và mô tả bằng ma trận:
T+ dT = [Trans (dx, dy, dz). Rot (K, đ6)]T hoặc: đT = [Trans (dx, dy, đz). Rot (K, d9) -I]T (3-4) trong đó: I là ma trận đơn vị (4x4), đT biểu thị sự biến đổi của khung toạ độ T sau phép biến đổi vi sai thực hiện so với khung toạ độ gốc.
Phương trình (3-4) được viết ở đạng rút gọn:
dT=A.T
với A = [Trans (dx, dy, dz). Rot ( K, dễ) -ẽ] - toỏn tử vi sai, Sử dụng các ma trận biểu diễn phép tịnh tiến vị sai và phép quay vi sai (3-3), toán tử vi sai được xác định như sau (3-6):
(3-5)
0 0 dx 1 ~8 sy 0
dy|} &z 1 -68x 0 1 0 0 -8 sy dx
1 0 0 ]
0 1 dz||-õy 8x 1 0 00
00 0 0
0 0 0 0| | ửz 0 -6x dy 1 Ol |-8y 8 0 dy
0 1
I 0 0 0 1 0 0 0 0
78
Cần lưu ý rằng, toán tử vi sai không phải là một ma trận phép biến đổi hay một khung toạ độ mà chỉ có ý nghĩa đơn thuần là một toán tử và gây ra sự thay đổi của một khung toạ độ.
Ví dụ 3.1: Xác định toán tử vi sai tương ứng với phép biến đổi vi sai sau:
dx = 0,5; dy =0,3; đz = 0,1 đơn vị và 6x = 0,02; dy = 0,04; 6z = 0,06 rad.
Sử dụng (3-6) có:
0_ -006 0,04 0,5 0,06 0 -0,02 0,3 -0,04 0,02 0 0,1
0 0 0 0
A=
Vi du 3.2: XAc dinh dich chuyén cia khung toa d6 B va khung toa do B 6 vi trí mới sau phép dịch chuyển vi sai gồm một phép quay xung quanh trục y một góc 0,1 rad và phép tịnh tiến vi sai Trans((0,1),0,(0,2)). Biết khung toa độ B là:
[0 0 1 10
100 5
P=“lg1043 0001 Toán tử vi sai được xác định từ các dịch chuyển vi sai:
F0 0 0 01 01 00 0
A=l oto 0 02
| 0 00 0
Dịch chuyển của khung toạ độ B được xác định bằng sử dụng (3-4):