7.1. Điều khiển trở kháng
7.1.2. Phương pháp trở kháng tích cực Phương pháp điều khiển trở kháng tích cực sẽ giải quyết được những hạn
1. Mô hình hệ thống một bậc tự do đơn giản: Mô hình hệ thống một bậc tự do đơn giản trình bày trên hình 7.3a. Phương trình động lực học của hệ thống cơ khí có dạng:
mx+d,xX+k,x=fqy +f (71) J
với: m - khối lượng của vật thể; 7 f - ngoại lực tác dụng lên vật thể; ⁄ kf an fy
+ - lực cần thiét tac dung len vat 4_ xxx”
thể; †——— m
x - khoảng cách dịch chuyển của 222 >>>
vật thể so với vị trí cân bằng khi
f= fy; Hình 7.3. Mô hình cơ cấu một bậc tự do.
k, - hệ số lò xo và d, - hệ số giảm chấn.
Giả thiết trở kháng mong muốn của vật thể đối với ngoại lực tác dụng được biểu thị bởi phương trình sau:
m,yX+d4(X—-X,)+k,(x-x,)=f (7-2)
190
trong đó: mụ, dạ, kạ - tương ứng là khối lượng, hệ số giảm chấn và hằng số lò xo mong muốn; x, - vị trí đặt.
Để nhận được hệ thống kín có trở kháng mong muốn (7-2), luật điều khiển nhận được bằng thay phương trình (7-2) vào phương trình động lực học (7-1):
f„ =(m—m,)X +(đ, - d¿)x+(K, —kạ)x+dạX¿ + kaXc (7-3) Nếu thiết kế m = mụ, luật điều khiển (7-3) sẽ có dạng đơn giản sau:
f„ =(d, =dạ)k+(K, —k¿)x+dạ%¿ +KkạX, (7-4)
Vấn đề thiết kế luật điều khiển là xác định các tham s6 my, dy, ky cua phương trình luật điều khiển. Xét trường hợp đơn giản khi vật thể không tiếp xúc với môi trường, tức là lực f = 0, phương trình (7-2) được viết ở dạng sau:
myX+d,x+kyx =dyxy+kyx, (7-5)
Biến đổi Laplace phương trình (7-5) và nhận được quan hệ đại lượng dịch chuyển thực và đại lượng vị trí thực mô tả bởi hàm truyền:
X(p) _ 1/m, (1-6)
(dạX¿ + kaXa) p "`...
4 mạ my
Phương trình đặc tính của (7-6) có dạng phương trình khau dao động với tần số dao động œ„ và hệ số suy giảm Š được xác định theo các biểu thức sau:
Kẹ đụ
@œ, = |—— Và =———
" mạ : 2,/m,k,
Với các chỉ tiêu tần số dao động tự nhiên và hệ số suy giảm đặt ra, các tham số dụ, kạ có thể được xác định theo (7-7) khi gán mạ = m.
Trường hợp thứ hai, giả thiết vật thể có khối lượng m tiếp xúc với một vật thể E cố định như hình 7.4. Tác dụng
tương tác tại điểm tiếp xúc được mô tả bởi phương trình:
(7-7)
d.x+k,(x -x,)=-f (7-8) wf K
trong đú: x, - vị trớ cõn bằng khi f = 0 hỗ ` . Oo ơ . „ ẽ > . m YY CE
Khi bề mặt tiếp xúc của vật thể và E là d, T d,
S0PTIV IID OOP INIT TT DOE
X > >>
mềm, giá trị k, nhỏ, khi cả hai bể mặt
cứng, hệ số k, có giá trị lớn. Hệ số d, cũng phụ thuộc vào vật liệu hai vật Hình 7.4. Mô hình vật thể tiếp xúc với
thể. một vật thể cố định.
191 me!
Thay phương trình (7-8) vào phương trình (7-2), nhận được phương trình:
mụ„X+(d, +d,)*+(kạ+k,)x =dyx4+kgxy+k,x, (7-9)
Biến đổi Laplace phương trình (7-9) và nhận được quan hệ tín hiệu đặt và tín hiệu ra có dạng tương tự như (7-6):
X(p) _ 1/m,
(dyxq +k xy +k,x,) p+ d, +d, p+ ky +k,
M4 M4
(7-10)
Tần số dao động và hệ số tắt dần được xác định theo các biểu thức sau:
0, = k, +k, và E= d,+d,
mụ 2,/m,(ky+k,)
Nếu các hệ số k,, d, được xác định chính xác, sẽ đễ dàng xác định dugc m,, d, và kạ thỏa mãn các chỉ tiêu quá trình quá độ mong muốn (thông qua œ, và Š).
Tuy nhiên rất khó xác định các hệ số k, và d,, đặc biệt, nếu giá trị k, lớn hơn giá trị tính toán và d, có giá trị nhỏ hơn gía trị tính toán, hệ số suy giảm sẽ giảm và đáp ứng quá trình quá độ sẽ tăng với độ qúa điều chỉnh tăng. Vì vậy cần thiết phải chọn giá trị d, khá lớn. Nếu chọn kạ, m„ nhỏ, lực tiếp xúc sẽ nhỏ và vật thể m sẽ va chạm nhẹ nhàng với vật thể cố định E. Ưu điểm cuả phương pháp điều khiển trở kháng tích cực so với điều khiển trở kháng thụ động là có thể điều _ chỉnh trở kháng mong muốn bằng thay đổi gid tri my, k, va dy dam bdo chat
lượng quá trình quá độ đặt ra.
(7-11)
Ví dụ 7.I: Xét hệ thống được mô tả trên hình 7.3 có phương trình động lực học dạng sau:
X+0,lx =fy +f Vật thể m tiếp xúc với một vật thể khác ( hình 7.4) với hệ số d,„ k, có giá trị
sau: 0 <d,<25 va 600 <k, < 1800 Cần xác định trở kháng (phương trình 7.2) thoả mãn điều kiện tần số đao động tự nhiên trong quá trình tiếp xúc nằm trong khoảng 30 và 60 và hệ số suy giảm lớn hơn 0,5. Giá trị m¿ nên chọn gần bằng m và hệ số k, và d, nên nhỏ.
Từ phương trình (7.11) ta có:
30< = <60 k (7-12)
My
Sử dụng điều kiện về giá trị của k, ta có:
192
900. mụạ < kạ + 600 (7-13a)
k, + 1800 < 3600 m, (7-13b)
Sử dụng phương trình (7-11) đối với š:
dạ+d d € > 0,5
2./my(ky +k.)
Từ đó hệ số dy phải thoả mãn bất đẳng thức:
d, 2./m,(k, +k,) -d, (7-14)
Khi chon m, =1, hé s6 k, dugc xac dinh tir (7-13): ky = 500 Và giá trị nhỏ nhất của d „ xác định từ (7-14):
dmin = ¥1.(500 +~1800) —15 =32 Như vậy trở kháng mong muốn mô tả bởi phương trình:
X+32(x—x„)+500(x -x„) = Ê Luật điều khiển sẽ có dạng:
f„ = —32% — 500x +32x%„ + 500X,
2. Robot n bác tự do
Xét robot n bậc tự do như trên hình 7.5a. Các đại lượng phản hồi là độ dịch chuyển § và lực tác dụng lên tay robot. Hệ thống điều khiển sẽ phát các tín hiệu điều khiển các hệ truyền động khớp. Ta sẽ chọn luật điều khiển thích hợp để tạo ra cho robot các đặc tính động lực học như một robot có cơ cấu cơ khí lý tưởng minh hoạ hình 7.5b, đảm bảo tay robot luôn chuyển động theo quỹ đạo đặt trước mà không chịu bất kỳ ngoại lực nào.
Giả sử cơ cấu cơ khí lý tưởng của tay robot 6 bậc tự do được mô tả bởi _ phương trình:
H,s+D,§, +K,§,=""F (7-15)
trong đó: §, =§—5, - vectơ sai lệch dịch chuyển. Vectơ § biểu thị vị trí và định hướng của tay robot;
TSF - ngoai luc tác dụng lên tay robot;
H,, Dy, Ky - ma trận (6x6) tương ứng là ma trận quán tính, ma trận hệ số giảm chấn và ma trận độ cứng. Các ma trận này là các ma trận không âm đối xứng. Để đơn giản, có thể lựa chọn các ma trận H,, D„, K„ là các ma trận đường chéo.
193
Luật ĐK
Phan hồi
a) b)
Hình 7.5. Phương pháp điều khiển trở kháng tích cực.
Động lực học của robot được mô tả bởi phương trình (4-71):
M = H@)q + V(q,q) + G(q) (7-16)
Quan hệ giữa vectơ dịch chuyển ỏ toạ độ tay robot s và vectơ biến khớp q biểu diễn bởi phương trình động học thuận:
s=f.() (7-17)
Vị phân phương trình động học thuận (7-17) nhận được phương trình sau:
s=J,@)q (7-18)
trong đó: J, (q) = a - ma tran Jacobien.
Vecto momen cia cdc khép tuong duong véi ngoai luc ' F được xác định
bởi biểu thức (4-113):
M, =Ji(q)"°F (7-19)
Nhu vay phương trình động lực học của robot với tính đến ngoại lực Tự tác dụng lên tay robot sẽ có dạng như sau:
H(q)8 + V(,g) + G(q) =M+M, (7-20)
Thay (7-19) vào (7-20) ta có:
H(q)q + V@,q)+ Gq) =M+J) °F (7-21)
Giả sử JT không đơn nhất với moi q, nhân cả hai vế của (7-21) với J£” ta
có: J,H@q+J;`V(,8)+J,"G(@)=J,"M+°F 22)
Vị phân phương trình (7-18) ta được:
194
s=Ì,(q)8+1,@8 (7-23)
Rút q từ phương trình (7-23) và thay vào phương trình (7-22), sau một số
phép biến đổi, nhận được phương trình sau:
H,(@)s8+N,(q,q) =J;°M+"°F (7-24)
trongđó: — H,()=1J;'()H)I;') (7-25a)
N,(@)=1;'@|V@.8+G(@|-H,@i,)ủ Œ-25)
Từ (7-24) nhận được vectơ mômen của khớp có dạng:
M=1;[H,(š+N,(,g)~'°F] (7-26)
Bằng chọn luật điều khiển phản hồi vào-ra có dạng:
Mụ, =1;[H,()U +N,(4,8)-"F] (1-21)
sẽ nhận được hệ phương trình hệ kín có dạng tuyến tính độc lập:
s=U (7-28)
Để nhận được phương trình mong muốn (7-15), tức là:
§=H/'[-(D,š, +K,š,)+'°F] (7-29)
Chon: U =§ = H;'[-(D,8, + K,8,)+ °F] (7-30)
Như vậy luật điều khiển phản hồi có dạng:
Mx =1TÍN,(,ọ)—~H,()HĂ' 4)(D,š, + K„š,)+|H,(4)HĂ' @)— 1| E}
(7-31)
Thay các biểu thức (7-25) vào (7-31) nhận được:
Mạ, = V(q,ọ)+G(4)-H()1;'],q~ H()J,"H¿ (q)(D,3, +K„5,)