Cho S là tập con của không gian vectơ định chuẩn F, v ∈ S và f : S → F là ánh xạ đi từ S vào F. Ta nói rằng f liên tục tại v nếu
x→vlimf(x) tồn tại và
x→vlimf(x) =f(v).
Hay nói cách khác, f liên tục tại v nếu cho , tồn tại δ sao cho |x−v| < δ ta có
|f(x)−f(v)| < .
Ta nói f liên tục trên S nếu nó liên tục tại mọi phần tử của S.
Chú thích: Giả sử f là liên tục trên S. δ xảy ra khi định nghĩa của liên tục phụ thuộc vào v. Nghĩa là, với mọi x ∈ S, tồn tại δ(v) sao cho nếu
|x−v| < δ(v) thì |f(x)−f(v)| < . Khi chúng ta chọn được δ mà không phụ thuộc vào v thì ánh xạ f được gọi là liên tục đều. Do đó, f được gọi là liên tục đều nếu cho , tồn tại δ sao cho bất kì x, y ∈ S và |x−y| < δ thì |f(x)−f(y)| < .
Từ tính chất của giới hạn ta nhận được tính chất tương tự của ánh xạ liên tục.
Tính chất 2.2.1. Tổng: Cho f, g : S → F là liên tục tại v thì f + g liên tục tại v.
Tớch: Cho E, F, G là khụng gian vectơ định chuẩn, EìF → G là tớch.
Nếu f : S → E và g : S → F liên tục tại v thì ánh xạ tích f g liên tục tại v.
Ánh xạ hợp: Cho S, T là tập con của không gian vectơ định chuẩn F. Cho
f : S → T và g : T →F
là ánh xạ, v ∈ S và w = f(v). Nếu f là liên tục tại v và g là liên tục tại w thì g ◦f là liên tục tại v.
Chứng minh. Tổng: ∀ > 0,∃δ >0 sao cho |x−v| < δ, ta có :
|f(x)−f(v)| < ,
|g(x)−g(v)| < . Khi đó,
|f(x) +f(v)−g(x)−g(v)| < |f(x)−f(v)|+|g(x)−g(v) < 2|
Suy ra, f(x) +g(x) liên tục tại v.
Tích: Cho , tồn tại δ sao cho khi |x−v| < δ, ta có
|f(x)−f(v)| <
2(|f(v)|+ 1),
|g(x)−g(v)| <
2(|g(v)|+ 1),
|f(x)| < |f(v)|+ 1.
|g(x)| < |g(v)|+ 1.
Ta có
|f(x)g(x)−f(v)g(v)| = |f(x)g(x)−f(x)g(v) + f(x)g(v)−f(v)g(v)|
= |f(x)(g(x)−g(v))|+|(f(x)−f(v))g(v)|
≤ |f(x)||g(x)−g(v)|+|f(x)−f(v)||g(v)|
<
2(|f(v)|+ 1) ã(|f(v)|+ 1)
+
2(|g(v)|+ 1) ã(|g(v)|+ 1)
= .
Ánh xạ hợp: Cho >0,∃δ > 0 sao cho khi |y −w| < thì
|g(y)−g(w)| < .
Với δ đã cho, tồn tại δ1 > 0 sao cho khi |x−v| < δ1 thì
|f(x)−f(v)| < . Suy ra, với mọi x ∈ S, nếu |x−v| < δ1 thì
|g(f(x))−g(f(v))| < .
Nếu f là ánh xạ liên tục và c là một số thì cf là ánh xạ liên tục. Do đó, tập của ánh xạ liên tục của S vào không gian vectơ định chuẩn F là không gian vectơ của chính nó và được kí hiệu là C◦(S, F).
Định lý 2.2.1. Cho S là tập con của không gian vectơ định chuẩn F, v ∈ S và f :S →F là một ánh xạ từ S vào F. Ánh xạ f là liên tục tại v nếu và chỉ nếu với mỗi dãy {xn} của các phần tử của S mà hội tụ đến v, ta có
n→∞lim f(xn) = f(v).
Chứng minh. Giả sửf liên tục tạiv. Cho, tồn tạiδ >0sao cho |x−v| < δ thì |f(x)−f(v)| < . Với δ đã cho, khi đó tồn tại N sao cho n ≥ N, ta có |xn −v| < 1/N, do đó |f(xn) −f(v)| < . Vậy ta có điều phải chứng minh.
Đảo lại, giả sử mỗi dãy {xn} hội tụ đến v. Nó đủ để chứng minh:
Cho , tồn tại N sao cho |x−v| < 1/N thì |f(x)−f(v)| < . Giả sử điều trên là sai, thì với mỗi , và số nguyên dương n, khi đó tồn tại xn ∈ S sao cho |xn−v| < 1/n nhưng |f(xn)−f(v)|> . Dãy {xn} hội tụ đến v mâu thuẫn với điều ta chứng minh. Do đó, F phải liên tục tại v.
Cho | |1,| |2 là các chuẩn tương đương trong không gian vectơ định chuẩn E,S là tập con của E vàf : S → F là ánh xạ từ S vào không gian vectơ định chuẩn F. Cho v ∈ E, v là điểm dính của S. Nếu f liên tục tại v lấy theo chuẩn | |1 thì f cũng liên tục tại v lấy theo chuẩn | |2.
Định lý tiếp theo sẽ đề cập đến ánh xạ vào không gian tích. Nếu F1, ..., Fk là khụng gian vectơ định chuẩn, ta cú F = F1 ì... ìFk theo chuẩn sup. Một ánh xạ f : S → F được cho bởi ánh xạ tọa độ f1, ..., fk sao cho f(x) = (f1(x), ..., fk(x)) và ánh xạ fi : S → Fi. Ta sẽ đặc biệt đề cập đến trường hợp khi F = Rk và fi được gọi là hàm tọa độ trên f. Định lý 2.2.2. Cho S là tập con của không gian vectơ định chuẩn,
f : S →F = F1 ì...ìFk.
là ánh xạ từ S vào tích của không gian vectơ định chuẩn và f = (f1, .., fk)
là ánh xạ tọa độ. Cho v là điểm dính của S, thì
x→vlimf(x) tồn tại nếu và chỉ nếu
x→vlimfi(x)
tồn tại với mọi i = 1,2, ..., k. Nếu đây là một trường hợp và w là giới hạn của f(x), w = (w1, ..., wk) với wi ∈ Fi, thì
wi = lim
x→vfi(x).
Chứng minh. Giả sử
x→vlimf(x) =w = (w1, ..., wk).
Cho , khi đó tồn tại δ sao cho nếu |x−v| < δ thì
|f(x)−w| < .
Đặtf(x) = y = (y1, ..., yk).Bằng định nghĩa, |yi−wi| < bất kì|x−v| <
δ, vì vậy
wi = lim
x→vfi(x).
Đảo lại, nếu
wi = lim
x→vfi(x), với mọi i = 1,2, ..., k, Khi đó, tồn tại δi sao cho bất kì |x−v| < δi, ta có
|fi(x)−wi| < . Đặt δ = minδi.
Bằng định nghĩa, khi|x−v| < δ, mỗi |fi(x)−wi| < với mọi i=1,...,k do đó |f(x)−w| < , vì vậy w là giới hạn của f(x) khi x → v. Định lý được chứng minh.
Hệ quả 2.2.1. Ánh xạ f là ánh xạ liên tục nếu và chỉ nếu mỗi ánh xạ tọa độ fi là liên tục, i = 1, ..., k.
Chứng minh. Vì f liên tục nên hình chiếu các ánh xạ tọa độ fi cũng liên tục. Hệ quả được chứng minh.